2020-2021高中數(shù)學(xué)第一冊學(xué)案：第2章 2.2 2.2.1 第1課時(shí)不等關(guān)系與不等式含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教B版必修第一冊學(xué)案：第2章2.22.2.1第1課時(shí)不等關(guān)系與不等式含解析2.2不等式2.2。1第1課時(shí)不等關(guān)系與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。會用不等式（組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系．(難點(diǎn)）2．會用比較法比較兩實(shí)數(shù)的大?。ㄖ攸c(diǎn)）1。借助實(shí)際問題表示不等式，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2.通過大小比較，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．如圖,在日常生活中，我們經(jīng)?？吹较铝袠?biāo)志:其含義分別為①最低限速:限制行駛速度v不得低于50km/h②限制質(zhì)量:裝載總質(zhì)量m不得超過10t;③限制高度：裝載高度h不得超過3.5m④限制寬度：裝載寬度a不得超過3m你能用數(shù)學(xué)式子表示上述關(guān)系嗎？1．不等式的定義我們用數(shù)學(xué)符號“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，稱為不等式．2．不等式a≤b和a≥b的含義（1)不等式a≤b應(yīng)讀作“a小于或者等于b”，其含義是指“a＜b，或者a＝b”，等價(jià)于“a不大于b”,即若a＜b與a＝b之中有一個(gè)正確，則a≤b正確．（2)不等式a≥b應(yīng)讀作“a大于或者等于b”,其含義是指“a＞b，或者a＝b”，等價(jià)于“a不小于b”，即若a＞b與a＝b之中有一個(gè)正確，則a≥b正確．3．實(shí)數(shù)大小比較的依據(jù)我們已經(jīng)知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．一般地，如果點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為x，則稱x為點(diǎn)P的坐標(biāo),并記作P（x)．另外，數(shù)軸上的點(diǎn)往數(shù)軸的正方向運(yùn)動時(shí)，它所對應(yīng)的實(shí)數(shù)會變大，這就是說，兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的相對位置決定了這兩個(gè)數(shù)的大?。鐖D所示的數(shù)軸中，A(a)，B(b），不難看出b>1〉0>a。此外，我們也知道，一個(gè)數(shù)加上一個(gè)正數(shù),相當(dāng)于數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)向正方向移動了一段距離;一個(gè)數(shù)減去一個(gè)正數(shù)（即加上一個(gè)負(fù)數(shù)）,相當(dāng)于數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)向負(fù)方向移動了一段距離．由此可以看出，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b的大小,只要考察a－b與0的相對大小就可以了，即a－b＜0?a＜b，a－b＝0?a＝b,a－b＞0?a＞b。上面等價(jià)符號的左式反映的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，右式反映的則是實(shí)數(shù)的大小順序，合起來就成為實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系．它是不等式的理論基礎(chǔ)，也是不等式性質(zhì)的證明、證明不等式和解不等式的主要依據(jù)．1．思考辨析（正確的打“√”,錯誤的打“×"）(1）不等式x≥2的含義是指x不小于2. ()（2)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a＞b，a＝b，a<b三種關(guān)系中的一種． （)(3)若a＞b，則ac2＞bc2。 （)(4)若a＋c＞b＋d，則a＞b，c＞d。 (）［答案](1)√（2)√(3）×（4)×2．某高速公路要求行駛的車輛的速度v的最大值為120km/h，同一車道上的車間距d不得小于10m,A．v≤120km/h且d≥10B．v≤120km/h或d≥10C．v≤120km/hD．d≥10mA[v的最大值為120km/h,即v≤120km/h,車間距d不得小于10m，即d≥103．雷電的溫度大約是28000℃，比太陽表面溫度的4。5倍還要高．設(shè)太陽表面溫度為t℃，那么t4。5t<28000[由題意得，太陽表面溫度的4.5倍小于雷電的溫度,即4。5t〈28000。]4．設(shè)M＝a2，N＝－a－1，則M,N的大小關(guān)系為________．M＞N［M－N＝a2＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a＋\f(1，2)）)eq\s\up12（2）＋eq\f（3，4)＞0,∴M＞N。]用不等式(組)表示不等關(guān)系【例1】京滬線上，復(fù)興號列車跑出了350km/h的速度,這個(gè)速度的2倍再加上100km/h，不超過民航飛機(jī)的最低時(shí)速，可這個(gè)速度已經(jīng)超過了普通客車的3倍,[解]設(shè)復(fù)興號列車速度為v1，民航飛機(jī)速度為v2,普通客車速度為v3。v1,v2的關(guān)系：2v1＋100≤v2，v1，v3的關(guān)系:v1＞3v3。在用不等式(組)表示不等關(guān)系時(shí)，要進(jìn)行比較的各量必須具有相同性質(zhì)，沒有可比性的兩個(gè)(或幾個(gè)）量之間不可用不等式(組)來表示．另外，在用不等式(組）表示實(shí)際問題時(shí)，一定要注意單位的統(tǒng)一．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．用一段長為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，要求菜園的面積不小于216m2，靠墻的一邊長為［解］由于矩形菜園靠墻的一邊長為xm，而墻長為18m，所以0<x≤18這時(shí)菜園的另一條邊長為eq\f(30－x，2)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(15－\f（x，2)）)（m）.因此菜園面積S＝x·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（15－\f（x,2））)，依題意有S≥216，即xeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x，2)))≥216,故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(0〈x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2）))≥216.))比較兩數(shù)（式)的大小【例2】（教材P60例1改編）已知x≤1，比較3x3與3x2－x＋1的大?。劢鈃3x3－(3x2－x＋1)＝（3x3－3x2)＋（x－1)＝3x2（x－1）＋(x－1）＝(3x2＋1)（x－1）.∵x≤1，∴x－1≤0，而3x2＋1＞0,∴(3x2＋1）(x－1）≤0，∴3x3≤3x2－x＋1。把本例中“x≤1”改為“x∈R”,再比較3x3與3x2－x＋1的大?。甗解]3x3－（3x2－x＋1）＝(3x3－3x2）＋(x－1）＝（3x2＋1)(x－1)?！?x2＋1＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；當(dāng)x＝1時(shí)，x－1＝0,∴3x3＝3x2－x＋1;當(dāng)x＜1時(shí)，x－1＜0,∴3x3＜3x2－x＋1.作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的基本步驟eq\a\vs4\al(［跟進(jìn)訓(xùn)練]）2．比較2x2＋5x＋3與x2＋4x＋2的大?。劢猓荩?x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2）＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（1,2)）)eq\s\up12(2）＋eq\f(3，4）?！遝q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,2））)eq\s\up12(2）≥0，∴eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f(1，2)））eq\s\up12(2）＋eq\f（3，4)≥eq\f（3，4)＞0?！啵?x2＋5x＋3）－（x2＋4x＋2)＞0，∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.不等關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用【例3】某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊(duì)說：“如果領(lǐng)隊(duì)買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”．乙車隊(duì)說：“你們屬團(tuán)體票,按原價(jià)的8折優(yōu)惠”．這兩車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠．［解]設(shè)該單位職工有n人(n∈N＊），全票價(jià)為x元,坐甲車需花y1元,坐乙車需花y2元，則y1＝x＋eq\f（3，4）x(n－1）＝eq\f(1，4)x＋eq\f（3,4)xn，y2＝eq\f(4，5)nx。因?yàn)閥1－y2＝eq\f(1，4)x＋eq\f(3,4)xn－eq\f（4,5)nx＝eq\f(1,4)x－eq\f(1,20）nx＝eq\f（1，4）xeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（n，5）)），當(dāng)n＝5時(shí)，y1＝y(tǒng)2；當(dāng)n＞5時(shí),y1＜y2；當(dāng)0＜n＜5時(shí)，y1＞y2。因此當(dāng)單位去的人數(shù)為5人時(shí),兩車隊(duì)收費(fèi)相同；多于5人時(shí)，選甲車隊(duì)更優(yōu)惠;少于5人時(shí)，選乙車隊(duì)更優(yōu)惠．解決決策優(yōu)化型應(yīng)用題，首先要確定制約著決策優(yōu)化的關(guān)鍵量是哪一個(gè)，然后再用作差法比較它們的大小即可．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練]）3．甲、乙兩家旅行社對家庭旅游提出優(yōu)惠方案．甲旅行社提出：如果戶主買全票一張,其余人可享受五五折優(yōu)惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集體票,按七五折優(yōu)惠．如果這兩家旅行社的原價(jià)相同，那么哪家旅行社價(jià)格更優(yōu)惠？[解]設(shè)該家庭除戶主外,還有x人參加旅游，甲、乙兩旅行社收費(fèi)總額分別為y甲、y乙,一張全票價(jià)為a元，則y甲＝a＋0。55ax,y乙＝0.75(x＋1)a.y甲－y乙＝（a＋0.55ax)－0.75（x＋1)a＝0.2a（1.25－x)當(dāng)x＞1。25(x∈N）時(shí)，y甲＜y乙；當(dāng)x＜1.25(x∈N)時(shí),即x＝1時(shí),y甲＞y乙．因此兩口之家，乙旅行社較優(yōu)惠,三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社較優(yōu)惠．知識：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要求出它們的差就可以了．a(chǎn)－b〉0?a>b;a－b＝0?a＝b;a－b<0?a<b。方法：作差法比較大小的一般步驟第一步:作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“和”或“積”;第三步：定號，就是確定是大于0，等于0,還是小于0(不確定的要分情況討論);最后得結(jié)論．概括為“三步一結(jié)論”，這里的“定號"是目的，“變形”是關(guān)鍵．1．如圖,在一個(gè)面積為200m2的矩形地基上建造一個(gè)倉庫，四周是綠地，倉庫的長a大于寬b的4倍A．a(chǎn)＞4b B．(a＋4）（b＋4）＝200C．eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（a＞4b,（a＋4）（b＋4)＝200）) D．eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a＞4b,4ab＝200）)C[∵倉庫的長a大于寬b的4倍，∴a＞4b。又矩形地基的面積為200m2，∴(a＋4)(b＋4)＝200,故選2．下面表示“a與b的差是非負(fù)數(shù)"的不等關(guān)系的是（）A．a(chǎn)－b＞0 B．a(chǎn)－b＜0C．a(chǎn)－b≥0 D．a(chǎn)－b≤0[答案]C3．設(shè)M＝（a＋1）（a－3），N＝2a(a－2）,A．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤NC[N－M＝2a(a－2）－（a＋1）(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3）＝a2－2a＋3＝（a－1）2＋2＞0,即M＜4．若實(shí)數(shù)a>b，則a2－ab________ba－b2.(填“〉"或“〈”）〉[因?yàn)椋╝2－ab)－（ba