量子力學期末考試試卷及答案集

PAGEPAGE10/10量子力學試題集量子力學期末試題及答案（A)選擇題（每題3分共36分)1A.黑體在紫外線部分輻射無限大的能量B。黑體在紫外線部分不輻射能量；C.經(jīng)典電磁場理論不適用于黑體輻射公式;D。黑體輻射在紫外線部分才適用于經(jīng)典電磁場理論。2．關(guān)于波函數(shù)Ψ的含義，正確的是：B。Ψ代表微觀粒子的幾率密度；B.Ψ歸一化后，代表微觀粒子出現(xiàn)的幾率密度；C。Ψ一定是實數(shù)；D。Ψ一定不連續(xù)。對于偏振光通過偏振片，量子論的解釋是:DA.偏振光子的一部分通過偏振片；B。偏振光子先改變偏振方向，再通過偏振片;C.偏振光子通過偏振片的幾率是不可知的;D.每個光子以一定的幾率通過偏振片.4．對于一維的薛定諤方程，如果Ψ一定也是該方程的一個解；一定不是該方程的解；Ψ與一定等價；D。無任何結(jié)論。5粒子在勢壘中有確定的軌跡；B。粒子在勢壘中有負的動能;C。粒子以一定的幾率穿過勢壘；D粒子不能穿過勢壘。如果以表示角動量算符,則對易運算為：BihB。ihC。iD.h=A。一定不是的本征態(tài)；一定是的本征態(tài)；一定是的本征態(tài)；∣Ψ∣一定是的本征態(tài)。如果一個力學量與對易，則意味著：CB。一定不處于本征態(tài);C.一定守恒；D。其本征值出現(xiàn)的幾率會變化。9．與空間平移對稱性相對應的是：BA。能量守恒；B。動量守恒；CD.宇稱守恒。n=2-3.4ev，則n=5A.-1.51ev;B.—0.85ev;D.-0.544evl=N-2n(N+）h下，簡并度為：BA。;；C。N（N+1）;D。(N+1)（n+2）12。自旋單態(tài)；B.自旋反對稱態(tài);C。自旋三態(tài)；D二填空題（每題4分共24分）如果已知氫原子的電子能量為，則電子由n=5躍遷到n=4能級時，發(fā)出的光子能量為：-———-——————，光的波長為———-———-—-——。=———-——-—————-—，任意時刻的波函數(shù)為————————--—-.在一維勢阱(或勢壘）中，在x=x點波函數(shù)—————-——（連續(xù)或不連續(xù)--————-——（連續(xù)或不連續(xù))。如果選用的函數(shù)空間基矢為,Dirac符號表示為——--—--—-符在態(tài)中的平均值的表示為————————-—.5．在量子力學中，波函數(shù)在算符操作下具有對稱性,含義是-—————————--—--————-—-—，與對應的守恒量一定是————-———--算符.6．金屬鈉光譜的雙線結(jié)構(gòu)是——-—-————-——————————，產(chǎn)生的原因是—-—-————-—-————-—.三計算題（40分）設粒子在一維無限深勢阱中，該勢阱為:V（x)=0,0≤x≤a，V（x）=∞,x〈0x>0，求粒子的能量和波函數(shù)。（10分）（10分）（10分）4。4個玻色子占據(jù)3個單態(tài)，,把所有滿足對稱性要求的態(tài)寫出來。（10分）B卷（25分)1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特點？（4分)2、什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡并態(tài)和偶宇稱態(tài)?(6分）3、全同玻色子的波函數(shù)有什么特點？并寫出兩個玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)。（4分）4、在一維情況下，求宇稱算符和坐標的共同本征函數(shù)。(6分)5（5分（15分),且,求1、在A表象中算符、的矩陣表示；2、在A表象中算符的本征值和本征函數(shù)；3ABS三、(15分）線性諧振子在時處于狀態(tài)，其中，求1、在時體系能量的取值幾率和平均值.2（15分）當為一小量時,利用微擾論求矩陣的本征值至的二次項,本征矢至的一次項.（10分）.態(tài).一、1、厄密算符的本征值是實數(shù),本征矢是正交、歸一和完備的。2、在無窮遠處為零的狀態(tài)為束縛態(tài);坐標變量改變符號，若得到的新函數(shù)與原來的波函數(shù)相同，則稱該波函數(shù)具有偶宇稱。3、全同玻色子的波函數(shù)是對稱波函數(shù)。兩個玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)為：4、宇稱算符和坐標的對易關(guān)系是:，將其代入測不準關(guān)系知，只有當時的狀態(tài)才可能使和同時具有確定值,由知，波函數(shù)滿足上述要求，所以是算符和的共同本征函數(shù)。5、設和的對易關(guān)系，是一個算符或普通的數(shù).以、和依次表示、和在態(tài)中的平均值,令，則有，這個關(guān)系式稱為測不準關(guān)系.時間和能量之間的測不準關(guān)系為：二、1、由于，所以算符的本征值是，因為在A表象中，算符的矩陣是對角矩陣，所以，在A表象中算符的矩陣是：A表象中算符的矩陣是，利用得:;由于，所以，;令，(為任意實常數(shù)）A表象中的矩陣表示式為：2、在A表象中算符的本征方程為:即 和不同時為零的條件是上述方程的系數(shù)行列式為零，對有，對有:所以，在A表象中算符的本征值是，本征函數(shù)為和3ABA三、解:1、的情況：已知線諧振子的能量本征解為：，當時有:，于是時的波函數(shù)可寫成:，容易驗證它是歸一化的波函數(shù)，于是時的能量取值幾率為:,能量的平均值為：2、時體系波函數(shù)顯然,結(jié)果完全相同。能量的零級近似為：,，，，所以體系近似到二級的能量為:，1、23，,利用波函數(shù)的一級修正公式，可求出波函數(shù)的一級修正為，五、解：由玻色子組成的全同粒子體系，體系的波函數(shù)應是對稱函數(shù)。以表示第個粒子的坐標，根據(jù)題設，體系可能的狀態(tài)有以下四個：1)（2）（3)；(4)一、(20分）已知氫原子在時處于狀態(tài)其中，為該氫原子的第個能量本征態(tài)求能量及自旋分量的取值概率與平均值寫出時的波函數(shù)解已知氫原子的本征值為將時的波函數(shù)寫成矩陣形式利用歸一化條件于是,歸一化后的波函數(shù)為能量的可能取值為，相應的取值幾率為能量平均值為自旋分量的可能取值為,相應的取值幾率為自旋分量的平均值為時的波函數(shù)二。（20分)質(zhì)量為的粒子在如下一維勢阱中運動

, （1）（2）（3）（4）(5）（6）（7）(8）（9)解對于的情況，三個區(qū)域中的波函數(shù)分別為其中，利用波函數(shù)再處的連接條件知，，。在處，利用波函數(shù)及其一階導數(shù)連續(xù)的條件

（1）(2）(3)得到于是有此即能量滿足的超越方程。當時，由于

(6）

(4)（5）故最后得到勢阱的寬度（20分）（1）任意角動量算符滿足。證明對分量有

(8）

（7)同理可知，對與分量亦有相應的結(jié)果，故欲證之式成立。證明在任意的兩個狀態(tài)與之下，投影算符的矩陣元為而投影算符的共軛算符的矩陣元為顯然,兩者的矩陣元是相同的，由與的任意性可知投影算符是厄米算符。利用證明，其中，為任意正交歸一完備本征函數(shù)系.證明四（20分) 在與表象中在軌道角動量量子數(shù)的子空間中分別計算算符與的矩陣元進而求它們的本征值與相應的本征矢。解由于在自身表象中，故是對角矩陣，且其對角元為相應的本征值,于是有相應的本征解為對于算符、而言，需要用到升降算符,即而當時,顯然，算符、的對角元皆為零，并且，

(1）（2）（3）（4）只有當量子數(shù)相差時矩陣元才不為零，即于是得到算符、的矩陣形式如下滿足的本征方程為相應的久期方程為將其化為得到三個本征值分別為將它們分別代回本征方程，得到相應的本征矢為滿足的本征方程為相應的久期方程為將其化為得到三個本征值分別為將它們分別代回本征方程，得到相應的本征矢為

（5）（6）(7）（8）（9）（12)（13）（14）（15）(16)（17）五(20分) 由兩個質(zhì)量皆為、角頻率皆為的線諧振子構(gòu)成的體加上微擾項（分別為兩個線諧子的坐標后，用微擾論求體系基態(tài)能量至二級修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級修正。提示：線諧振子基底之下坐標算符的矩陣元為式中,。解體系的哈密頓算符為其中已知的解為其中

（1）(2）（3）（4）將前三個能量與波函數(shù)具體寫出來利用公式

（5）可知顯然,求和號中不為零的矩陣元只有于是得到基態(tài)能量的二級修正為第二激發(fā)態(tài)為三度簡并，能量一級修正滿足的久期方程為其中將上式代入（10）式得到整理之,滿足于是得到第二激發(fā)態(tài)能量的一級修正為

（6）(7）(8)（9）（10）（12）（13）（14）微觀粒子具有波粒 二象性.德布羅意關(guān)系是粒子能量、動量P與頻率、波之間的關(guān)系，其表達式為： E=, p=.x—dx量子力學中力學量用厄米 算符表示。坐標的分量算符和動量的分量算符的對易關(guān)系為：。量子力學關(guān)于測量的假設認為：當體系處于波函數(shù)（x）所描寫的狀態(tài)時，測量某力學量F所得數(shù)值,必定是算符的本征值 。定態(tài)波函數(shù)的形式為：。一個力學量為守恒量的條件是：不顯含時間,且與哈密頓算符對易 。根據(jù)全同性原理,_反對稱的 ，玻色子體系的波函數(shù)_對稱的 _。每個電子具有自旋角動量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值為： 。1（10分）利用坐標和動量算符的對易關(guān)系，證明軌道角動量算符的對易關(guān)系：證明：2（10分）Schr?dinger證明幾率守恒：其中幾率密度幾率流密度證明:考慮Schr?dinger方程及其共軛式：在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：1（10分)設氫原子處于狀態(tài)E、角動量平方L2ZLZ解:在此狀態(tài)中，氫原子能量有確定值，幾率為1角動量平方有確定值為角動量Z分量的可能值為其相應的幾率分別為

，幾率為1，2（10分）求角動量z分量 的本征值和本征函數(shù)解：波函數(shù)單值條件，要求當φ轉(zhuǎn)過2π角回到原位時波函數(shù)值相等,即：求歸一化系數(shù)最后，得Lz

的本征函數(shù)3（20）某量子體系Hamiltonc〈<1，應用微擾論求H10級和微擾HamiltonH是對角矩陣，是HamiltonH在自身表象中的形式。所以能量的0級近似為:0 0E1（0)=1E2(0）=3E3（0）=—2由非簡并微擾公式得能量一級修正：能量二級修正為：二級近似下能量本征值為：量子力學期末試題及答案（B）一、填空題：1、波函數(shù)的標準條件：單值、連續(xù)性、有限性。2、|Ψ(r，t)|^2的物理意義：t時刻粒子出現(xiàn)在r處的概率密度.3、一個量的本征值對應多個本征態(tài)，這樣的態(tài)稱為簡并.4、兩個力學量對應的算符對易，它們具有共同的確定值。二、簡答題：1、簡述力學量對應的算符必須是線性厄米的。答：力學量的觀測值應為實數(shù)，力學量在任何狀態(tài)下的觀測值就是在該狀態(tài)下的平均滿足態(tài)疊加原理,而要滿足態(tài)疊加原理，算符必須是線性算符.綜上所述,在量子力學中，能和可觀測的力學量相對應的算符必然是線性厄米算符。2、一個量子態(tài)分為本征態(tài)和非本征態(tài),這種說法確切嗎？（應算符為B）就不是它的本征態(tài)，它們有各自的本征值,只有兩個算符彼此對易,才有共同的本征態(tài)。3、輻射譜線的位置和譜線的強度各決定于什么因素?答：某一單色光輻射的話可能吸收，也可能受激躍遷。譜線的位置決定于躍遷的頻率和躍遷的速度；譜線強度取決于始末態(tài)的能量差。三、證明題。2、證明概率流密度J不顯含時間。四、計算題。1、第二題：如果類氫原子的核不是點電荷，而是半徑為、電荷均勻分布的小球，計算這種效應對類氫原子基態(tài)能量的一級修正。解:這種分布只對的區(qū)域有影響，對的區(qū)域無影響。據(jù)題意知其中是不考慮這種效應的勢能分布，即為考慮這種效應后的勢能分布，在區(qū)域，在區(qū)域，可由下式得出，由于很小，所以，可視為一種微擾,由它引起一級修正為（基態(tài)）∵,故?！嗟谌}其相應的久期方程：即：由歸一化條件得：量子力學期末試題及答案(C）一、填空題1、黑體輻射揭示了經(jīng)典物理學的局限性。2、索末非提出的廣義量子化條件是3、一粒子有波函數(shù)由描寫,則=4、粒子在勢場U（r）中運動,則粒子的哈密頓算符為5、量子力學中，態(tài)和力學量的具體表示方式稱為表象。6、氫原子的一級斯塔克效應中，對于n=2的能級由原來的一個能級分裂為３個子能級。7、1925年，烏論貝克（Uhlenbeck）和歌德斯密脫（Goudsmit）提出每個電子具有自旋角動量S，它在任何方向的投影只能取兩個數(shù)值,即8、Pauli算符的反對易關(guān)系式是9、如果全同粒子體系的波函數(shù)是反對稱的,則組成該體系的全同粒子一定是費米子10、在兩個電子的對稱自旋態(tài)中，的本征值是二、選擇題A6、么正矩陣S的定義是為（Ａ)ABC D7、在與時間有關(guān)的微擾理論問題中，體系的哈密頓算符由兩部分組成，即，其中和應滿足的條件是（Ｂ）A與時間無關(guān)，與時間無關(guān) B與時間無與時間有關(guān)C與時間有關(guān)與時間有關(guān) D與時間有與時間無關(guān)8、自旋量子數(shù)S的值為（)A 1/4 B 3/4C /2 D 1/2B 19、Pauli算符的x分量的平方的本征值為（Ｂ）B 1A 0C i D 2i10、電子自旋角動量的幺分量,算符表象中的矩陣表示為（Ｃ）A BCDC三、證明題求系