數(shù)學(xué)小升初拓展分類(lèi)講解牛吃草問(wèn)題全國(guó)通用

第十二講牛吃草問(wèn)題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)：一、定義偉大的科學(xué)家牛頓著的《普通算術(shù)》一書(shū)中有這樣一道題：“12頭牛4周吃牧草格爾，同樣的牧草，21頭牛9周吃10格爾。問(wèn)24格爾牧草多少牛吃18周吃完?！保ǜ駹枴翀?chǎng)面積單位），以后人們稱(chēng)這類(lèi)問(wèn)題為“牛頓問(wèn)題”的牛吃草問(wèn)題。二、特點(diǎn)在“牛吃草”問(wèn)題中，因?yàn)椴菝刻於荚谏L(zhǎng)，草的數(shù)量在不斷變化，也就是說(shuō)這類(lèi)問(wèn)題的工作總量是不固定的，一直在均勻變化。【典例剖析】例1牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天都勻速生長(zhǎng)。這片牧場(chǎng)可供27頭牛吃6天或23頭牛吃9天。問(wèn)可供21頭牛吃幾天？【分析】這片牧場(chǎng)上的牧草的數(shù)量每天在變化。解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量——即原來(lái)的牧草數(shù)量。因?yàn)榭偛萘靠梢苑殖蓛刹糠郑涸械牟菖c新長(zhǎng)出的草。新長(zhǎng)出的草雖然在變，但應(yīng)注意到它是勻速生長(zhǎng)的，因而這片牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)出飛草的數(shù)量也是不變的?！窘狻考僭O(shè)1頭牛每天吃1份草27頭牛6天吃草：27×6×1=162(份)（原有草+6天長(zhǎng)的新草）23頭牛9天吃草：23×9×1=207（份）（原有草+9天長(zhǎng)的新草）3天長(zhǎng)的新草：207-162=45（份）每天就長(zhǎng)新草45÷3=15（份）原有草：162-6×15=72（份）設(shè)可供21頭牛吃天，則有72+15=21解得：=12答：可供21頭牛吃12天。反饋練習(xí)1、一片牧場(chǎng)可供24頭牛吃6周，20頭牛吃10周，這片牧場(chǎng)可供18頭牛吃幾周？例2因天氣寒冷，牧場(chǎng)上的草不僅不生長(zhǎng)，反而每天以均勻的速度在減少。已知牧場(chǎng)上的草可供33頭牛吃5天，可供24頭牛吃6天，照此計(jì)算，這個(gè)牧場(chǎng)可供多少頭牛吃10天?【分析】與例1不同的是，不但沒(méi)有新長(zhǎng)出的草，而且原有的草還在勻速減少，但是，我們同樣可以用類(lèi)似的方法求出每天減少的草量和原來(lái)的草的總量【解】假設(shè)1頭牛每天吃1份草33頭牛5天吃：33×1×5=165（份）（原有草-5天減少的草）24頭牛6天吃：24×1×6=144（份）（原有草-6天減少的草）1天減少的草：165-144=21（份）原有草：165+5×21=270（份）設(shè)可供頭牛吃10天，則：270-10×21=10解得=6答：供6頭牛吃10天.反饋練習(xí)2、由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10天？例3自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小麗從扶梯上樓，已知小明每分鐘走25級(jí)臺(tái)階，小麗每分鐘走20級(jí)臺(tái)階，結(jié)果小明用了5分鐘，小麗用了6分鐘分別到達(dá)樓上。該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階？【分析】在這道題中，“總的草量”變成了“扶梯的臺(tái)階總級(jí)數(shù)”，“草”變成了“臺(tái)階”，“?！弊兂闪恕八俣取?所以也可以看成是“牛吃草”問(wèn)題來(lái)解答?！窘狻考僭O(shè)樓梯每分鐘上個(gè)臺(tái)階，（相當(dāng)于每天長(zhǎng)的新草）5×25+5=6×20+6解得：=5扶梯總數(shù)：5×25+5×5=150答：扶梯共有150個(gè)臺(tái)階。反饋練習(xí)3、自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走15級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6分鐘到達(dá)樓上。問(wèn)：該扶梯共有多少級(jí)？例4一條船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度漏進(jìn)船內(nèi)，待發(fā)現(xiàn)時(shí)船艙內(nèi)已進(jìn)了一些水。如果用12人舀水，3小時(shí)舀完。如果只有5個(gè)人舀水，要10小時(shí)才能舀完?，F(xiàn)在要想在2小時(shí)舀完，需要多少人？【分析】典型的“牛吃草”問(wèn)題，找出“?！焙汀安荨笔墙忸}的關(guān)鍵【解】設(shè)1個(gè)人1小時(shí)舀1份水12人3小時(shí)舀的水：12×1×3=36份5人10小時(shí)舀的水：5×1×10=50份則，7小時(shí)進(jìn)水14份，每小時(shí)進(jìn)水2份原有水：36-3×2=30份則需要：（30+2×7）÷2=22人答：需要22人。反饋練習(xí)4、－只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已進(jìn)了－些水，現(xiàn)在水勻速進(jìn)入船內(nèi)，如果lO人舀水，3小時(shí)可舀完；5人舀水8小時(shí)可舀完．如果要求2小時(shí)舀完，要安排多少人舀水?例5有一牧場(chǎng)長(zhǎng)滿牧草，牧草每天勻速生長(zhǎng)，這個(gè)牧場(chǎng)可供17頭牛吃30天，可供19頭牛吃24天，現(xiàn)在有若干頭牛在吃草，6天后，4頭牛死亡，余下的牛吃了2天將草吃完，問(wèn)原來(lái)有牛多少頭？【分析】“牛吃草”問(wèn)題的特點(diǎn)是隨時(shí)間的增長(zhǎng)，所研究的量也等量地增加。解答時(shí)，要抓住這個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，也就是要求出原來(lái)的量和每天增加的量各是多少?！窘狻考僭O(shè)1頭牛1天吃1份草17頭牛30天吃的草：17×1×30=510（份）原來(lái)草+30天長(zhǎng)的新草19頭牛24天吃的草：191×1×24=456（份）原來(lái)草+24天長(zhǎng)的新草所以6天長(zhǎng)的新草：510-456=54(份)每天張新草：54÷6=9（份）原來(lái)的草：510-9×30=240（份）設(shè)共有頭牛，6天后還有（-4）頭，活著的牛吃了8天，共吃：（-4）×8死去的4頭牛吃了6天，共吃：4×6則有：（-4）×8+4×6=240+8×9解得：=40答：原來(lái)有牛40頭.反饋練習(xí)5、－片草地如果9頭牛吃。12天吃完所有的草，如果8頭牛吃，16天吃完所有的草．現(xiàn)在開(kāi)始只有4頭牛，從第7天起又增加了．若干頭牛，再6天吃完所有草．問(wèn)增加了多少頭牛?【過(guò)關(guān)練習(xí)】1、一片草地，每天都勻速長(zhǎng)出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天，那么可供18頭牛吃幾天？2、一個(gè)牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿青草，牛在吃草而草又在不斷生長(zhǎng)，這片青草可供58頭牛吃7周，或供48頭牛吃9周，那么，可供多少頭牛吃5周？3、由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天以固定的速度在減少，經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供多少頭牛吃8天？4、由于天氣逐漸冷起來(lái)，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而在勻速地在減少，已知某塊地上的草可供21頭牛吃10天，或可供30頭牛吃8天，照此計(jì)算，可供45頭牛吃多少天？5、用2臺(tái)同樣的抽水機(jī)抽干一個(gè)有泉水的水庫(kù)需40小時(shí)，用3臺(tái)這樣的抽水機(jī)抽干這個(gè)水庫(kù)需24小時(shí)，試問(wèn)，若要8小時(shí)抽干這個(gè)水庫(kù)，需要這樣的抽水機(jī)多少臺(tái)？(泉水均勻地向水庫(kù)滲水)6、一牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周。那么可供21頭牛吃多少周？7、有一片牧場(chǎng)，24頭牛6天可以將草吃完，或21頭牛8天可以吃完。要使牧草永遠(yuǎn)吃不完，至多可以放牧幾頭牛？8、禁毒圖片展8點(diǎn)開(kāi)門(mén)，但很早便有人排隊(duì)等候入場(chǎng)。從第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)起，每分鐘來(lái)的觀眾人數(shù)一樣多。如果開(kāi)3個(gè)入場(chǎng)口，8點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)；如果開(kāi)5個(gè)入場(chǎng)口，8點(diǎn)5分就沒(méi)有人排隊(duì)。第一個(gè)觀眾到達(dá)時(shí)距離8點(diǎn)還有多少分鐘？【提高練習(xí)】1、自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓，已知男孩子每分鐘走16級(jí)樓梯，女孩子每分鐘走12級(jí)樓梯，結(jié)果男孩子用5分鐘到達(dá)樓上，女孩子用6分鐘到達(dá)樓上，該扶梯共有多少級(jí)？2、某車(chē)站在檢票前若干分鐘就開(kāi)始排隊(duì)，每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一樣多。從開(kāi)始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開(kāi)4個(gè)檢票口需30分鐘，同時(shí)開(kāi)5個(gè)檢票口需20分鐘。如果同時(shí)打開(kāi)7個(gè)檢票口，那么需多少分鐘？3、有一片草地，每天都在勻速生長(zhǎng)，這片草可供16頭牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？4、某水庫(kù)建有10個(gè)泄洪閘，現(xiàn)在水庫(kù)的水位已經(jīng)超過(guò)安全警戒線，上游的河水還在按一不變的速度增加。為了防洪，需開(kāi)閘泄洪。假設(shè)每個(gè)閘門(mén)泄洪的速度相同，經(jīng)測(cè)算，若打開(kāi)一個(gè)泄洪閘，30小時(shí)水位降到安全線，若打開(kāi)兩個(gè)泄洪閘，10小時(shí)水位降到安全線?，F(xiàn)在抗洪指揮部要求在5.5小時(shí)內(nèi)使水位降到安全線，問(wèn)：至少要同時(shí)打開(kāi)幾個(gè)閘門(mén)？5、某碼頭剖不斷有貨輪卸下貨物，又不斷用汽車(chē)把貨物運(yùn)走，如用9輛汽車(chē)，12小時(shí)可以把它們運(yùn)完，如果用8輛汽車(chē)，16小時(shí)可以把它們運(yùn)完。如果開(kāi)始只用3輛汽車(chē)，10小時(shí)后增加若干輛，再過(guò)4小時(shí)也能運(yùn)完，那么后來(lái)增加了多少輛汽車(chē)？6、天山草場(chǎng)，假設(shè)每天草都均勻生長(zhǎng)。這片草場(chǎng)