因式分解的多種方法

因式分解的多種方法編者按：很多同學(xué)在做因式分解的題目時，會覺得無從入手。而面臨競賽題目時，更加摸不著頭腦。在此介紹幾種因式分解的方法。其實，因式分解沒有想象中的那么難。1】提取公因式這種方法比較常規(guī)、簡單，必須掌握。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一：2xA2-3x=0解：x(2x-3)=0x1=0,x2=3/2這是一類利用因式分解的方程。總結(jié)：要發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律就是：當(dāng)一個方程有一個解x=a時，該式分解后必有一個(x-a)因式這對我們后面的學(xué)習(xí)有幫助。2】公式法將式子利用公式來分解，也是比較簡單的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建議先提取公因式。例二：xA2-4分解因式分析：此題較為簡單，可以看出4=22,適用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)2解：原式=(x+2)(x-2)3】十字相乘法是做競賽題的基本方法，做平時的題目掌握了這個也會很輕松。注意：它不難。這種方法的關(guān)鍵是把二次項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1,a2的積a1-a2，把常數(shù)項c分解成兩個因數(shù)c1,c2的積c1-c2，并使a1c2+a2c1正好是一次項b，那么可以直接寫成結(jié)果例三：把2xA2-7x+3分解因式.分析：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù).分解二次項系數(shù)(只取正因數(shù))：2=1x2=2x1；分解常數(shù)項：3=1x3=3x1=(-3)x(-1)=(-1)x(-3).用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：11X231x3+2x1=5TOC\o"1-5"\h\z3X11x1+2x3=7-1X-31x(-3)+2x(-1)=-5-3X-11x(-1)+2x(-3)=-7經(jīng)過觀察，第四種情況是正確的，這是因為交叉相乘后，兩項代數(shù)和恰等于一次項系數(shù)一7.解原式=(x-3)(2x-1).總結(jié)：對于二次三項式ax”2+bx+c(a手0)，如果二次項系數(shù)a可以分解成兩個因數(shù)之積，即a=a1a2，常數(shù)項c可以分解成兩個因數(shù)之積，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1c1Xa2c2a1c2+a2c1按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三項式ax2+bx+c的一次項系數(shù)b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).這種方法要多實驗，多做，多練。它可以包括前兩者方法。4】分組分解法也是比較常規(guī)的方法。一般是把式子里的各個部分分開分解，再合起來需要可持續(xù)性！例四：xA2+4x+4yA2-yA2可以看出，前面三項可以組成平方，結(jié)合后面的負平方，可以用平方差公式解：原式=(x+2)A2-yA2=(x+2+y)(x+2-y)總結(jié)：分組分解法需要前面的方法作基礎(chǔ)，可見前面方法的重要性。5】換元法整體代入，免去繁瑣的麻煩，亦是建立的之前的基礎(chǔ)上例五：(x+y)A2-2(x+y)+1分解因式考慮到x+y是以整體出現(xiàn)，展開是十分繁瑣的，用a代替x+y那么原式=aA2-2a+1=(a-1)A2回代原式=(x+y-1)A26】主元法這種方法要難一些，多練即可即把一個字母作為主要的未知數(shù)，另一個作為常數(shù)例六：因式分解16y+2xA2(y+1)A2+(y-1)A2xA4分析：本題尚且屬于簡單例用，只是稍加難度，以y為主元會使原式極其煩瑣，而以x為主元的話，原式的難度就大大降低了。原式=(y-1)A2xA4+2(y+1)A2xA2+16y【主元法】=(xA2yA2-2xA2y+xA2+8y)(xA2+2)【十字相乘法】可見，十字相乘十分重要。7】雙十字相乘法難度較之前的方法要提升許多。是用來分解形如axA2+bxy+cyA2+dx+ey+f的二次六項式在草稿紙上，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d，即第1,2列和第2,3列都滿足十字相乘規(guī)則。則原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)要訣：把缺少的一項當(dāng)作系數(shù)為0,0乘任何數(shù)得0,例七：ab+bA2+a—b—2分解因式解：原式=0x1xaA2+ab+bA2+a—b—2=(0xa+b+1)(a+b—2)=(b+1)(a+b—2)8】待定系數(shù)法將式子看成方程，將方程的解代入這時就要用到1】中提到的知識點了當(dāng)一個方程有一個解x=a時，該式分解后必有一個(x-a)因式例八：xA2+x-2該題可以用十字相乘來做，這里介紹一種待定系數(shù)法我們可以把它當(dāng)方程做，xA2+x-2=0一眼看出，該方程有一根為x=1那么必有一因式為(x-1)結(jié)合多項式展開原理，另一因式的常數(shù)必為2(因為乘-1要為-2)一次項系數(shù)必為1(因為與1相乘要為1)所以另一因式為(x+2)分解為(x-1)(x+2)9】列豎式讓人拍案叫絕的方法。原理和小學(xué)的除法差不多。要建立在待定系數(shù)法的方程法上不足的項要用0補除的時候，一定要讓第一項抵消例九：3xA3+5xA2-2分解因式提示：x=-1可以使該式=0，有因式(x+1).XF+l,3ka3+5xa2-2'3x^343^：224-Zji-2x-2cT'那么該式分解為(x+1)(3xA2+2x-2)因式分解有9種方法，這么多？其實是不止的，還有很多很多。不過了解這些，初中的因式分解是不會有問題了。考慮到每種方法只有一個例題，下面提供一些題目，供大家練習(xí)。(ab+b)A2-(a+b)A2(aA2-xA2)A2-4ax(x-a)A23aA3bA2c—6aA2bA2cA2+9abA2cA3xy+6—2x—3y(3a-b)A2-4(3a-b)(a+3b)+4(a+3b)A2(x+2)(x-3)+(x+2)(x+4)12xA2-29x+15x(y+2)-x—y—14xA2+4xy+yA2-4x-2y-32xA4+13xA3+20xA2+11x+22xA2-7xy-22yA2-5x+35y-34mA2+8mn+