點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

精品文檔-下載后可編輯點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、高中空間點(diǎn)線面之間位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)DCBA第二章直線與平面的位置關(guān)系1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系11平面含義：平面是無限延展的2平面的畫法及表示（平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如圖）（平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

2、3三個(gè)公理：（公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號(hào)表示為L(zhǎng)AALBL=LAB公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)CBA（公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

3、符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=有且只有一個(gè)平面，使A、B、C。

公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。

4、（公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。

5、PL符號(hào)表示為：P=L，且PL公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)同一條直線的兩條直線互相平行。

符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線=acab。

6、2公理4：平行于cb強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

7、3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4注意點(diǎn)：a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上；兩條異面直線所成的角(0，)；當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab；兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

8、4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系直線與平面有三種位置關(guān)系：（直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（直線在平面平行沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a來表示aa=Aa直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1直線與平面平行的判定直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。

符號(hào)表示：ab=aab2平面與平面平行的判定兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

符號(hào)表示：abab=Pab判斷兩平面平行的方法有三種：（用定義；（判定定理；（垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。

符號(hào)表示：aaab=b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

符號(hào)表示：=aab=b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1直線與平面垂直的判定定義如果直線L與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面互相垂直，記作L，直線L叫做平面的垂線，平面叫做直線L的垂面。

如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。

Lp判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2平面與平面垂直的判定二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形A梭lB二面角的記法：二面角-l-或-AB-兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。

4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

異面直線所成的角是指經(jīng)過空間任意一點(diǎn)作兩條分別和異面的兩條直線平行的直線所成的銳角（或直角）.一般通過平移后轉(zhuǎn)化到三角形中求角，注意角的范圍.例1在正方體ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分別是棱DD、DC的中點(diǎn)，則直線OM().A.是AC和MN的公垂線.B.垂直于AC但不垂直于MN.C.垂直于MN，但不垂直于AC.D.與AC、MN都不垂直.錯(cuò)解:B.錯(cuò)因：學(xué)生觀察能力較差，找不出三垂線定理中的射影.正解：A.例2如圖，已知在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn)，G,H分別是BC,CD上的點(diǎn),且,求證:直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn).錯(cuò)解：證明：、F分別是AB,AD的中點(diǎn),BD,EF=BD,又,GHBD,GH=BD,四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,F分別是AD.AC與FH交于一點(diǎn).直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)正解：證明：、F分別是AB,AD的中點(diǎn),BD,EF=BD,又,GHBD,GH=BD,四邊形EFGH是梯形，設(shè)兩腰EG,FH相交于一點(diǎn)T,平面ABC,FH平面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,直線EG,FH,AC相交于一點(diǎn)T.例3在立方體ABCDA1B1C1D1中，（找出平面AC的斜線BD1在平面AC內(nèi)的射影；（直線BD1和直線AC的位置關(guān)系如何？（直線BD1和直線AC所成的角是多少度？解：(連結(jié)BD,交AC于點(diǎn)O.(BD1和AC是異面直線.(過O作BD1的平行線交DD1于點(diǎn)M，連結(jié)MA、MC，則MOA或其補(bǔ)角即為異面直線AC和BD1所成的角.不難得到MAMC，而O為AC的中點(diǎn)，因此MOAC，即MOA90，異面直線BD1與AC所成的角為例4a和b為異面直線，則過a與b垂直的平面().A有且只有一個(gè)B一個(gè)面或無數(shù)個(gè)C可能不存在D可能有無數(shù)個(gè)錯(cuò)解：A.錯(cuò)因：過a與b垂直的平面條件不清.正解：C.例5在正方體A1B1C1D1ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中點(diǎn)求證：EF垂直平面BB1O證明：如圖,連接AC、BD，則O為AC和BD的交點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF是ABC的中位線，EFACB1B平面ABCD,AC平面ABCDACB1B，由正方形ABCD知：ACBO，又BO與BB1是平面BB1O上的兩條相交直線，AC平面BB1O(線面垂直判定定理)ACEF，EF平面BB1O例6如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中點(diǎn)，O是底面正方形ABCD的中心，求證：OE平面ACD1分析：本題考查的是線面垂直的判定方法根據(jù)線面垂直的判定方法，要證明OE平面ACD1，只要在平面ACD1內(nèi)找兩條相交直線與OE垂直證明：連結(jié)B1D、A!D、BD，在B1BD中，E,O分別是B1B和DB的中點(diǎn)，EOB1DB1A1面AA1D1D，DA1為DB1在面AA1D1D內(nèi)的射影又AD1A1D，AD1DB1同理可證B1DD1C又AD1，AD1,D1C面ACD1，B1D平面ACD1B1DOE，OE平面ACD1點(diǎn)評(píng)：要證線面垂直可找線線垂直，這是立體幾何證明線面垂直時(shí)常用的轉(zhuǎn)化方法在證明線線垂直時(shí)既要注意三垂線定理及其逆定理的應(yīng)用，也要注意有時(shí)是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用例7如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)N在BD上,點(diǎn)M在B1C上,且CM=DN,求證:MN平面AA1B1B.證明：證法一.如圖,作MEBC,交BB1于E,作NFAD,交AB于F,連EF則EF平面AA1B1B.ME=NF又MEBCADNF,MEFN為平行四邊形,MNEF.MN平面AA1B1B.證法二.如圖,連接并延長(zhǎng)CN交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連B1P,則B1P平面AA1B1B.,又CM=DN,B1C=BD,B1P.B1P平面AA1B1B,MN平面AA1B1B.證法三.如圖,作MPBB1,交BC于點(diǎn)P,連NP.MPBB1,BD=B1C,DN=CM,NPCDAB.面MNP面AA1B1B.MN平面AA1B1B.點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系單元測(cè)試第1題.下列命題正確的是（）經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面四邊形確定一個(gè)平面兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面答案：第2題.如圖，空間四邊形中，分別是，的中點(diǎn)求證：四邊形是平行四邊形答案：證明：連接因?yàn)槭堑闹形痪€，所以，且同理，且因?yàn)?，且所以四邊形為平行四邊形?題.如圖，已知長(zhǎng)方體中，（）和所成的角是多少度？（）和所成的角是多少度？答案：（）；（）第4題.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)A123答案：第5題.若直線不平行于平面，且，則下列結(jié)論成立的是（）內(nèi)的所有直線與異面內(nèi)不存在與平行的直線內(nèi)存在唯一的直線與平行內(nèi)的直線與都相交答案：第6題.已知，是三條直線，角，且與的夾角為，那么與夾角為答案：第7題.如圖，是長(zhǎng)方體的一條棱，這個(gè)長(zhǎng)方體中與垂直的棱共條答案：8條第8題.如果，是異面直線，直線與，都相交，那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有個(gè)答案：2個(gè)第9題.已知兩條相交直線，則與的位置關(guān)系是答案：，或與相交第10題.如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每?jī)蓷l確定一個(gè)平面，一共可以確定幾個(gè)平面？如果三條直線相交于一點(diǎn)，它們最多可以確定幾個(gè)平面？答案：3個(gè)，3個(gè)第11題.如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中：與平行與是異面直線與成角與垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（），答案：第12題.下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為（）兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行；平行移動(dòng)兩條異面直線中的任何一條，它們所成的角不變；過空間四邊形的頂點(diǎn)引的平行線段，則是異面直線與所成的角；四邊相等，且四個(gè)角也相等的四邊形是正方形0123答案：第13題.在空間四邊形中，分別是，的中點(diǎn)，則與的大小關(guān)系是答案：第14題.已知是一對(duì)異面直線，且成角，為空間一定點(diǎn)，則在過點(diǎn)的直線中與所成的角都為的直線有條答案：第15題.已知平面，是平面外的一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與平面分別交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與平面分別交于兩點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為答案：第16題.空間四邊形中，分別是，的中點(diǎn)，若，且與所成的角為，則四邊形的面積是答案：第17題.已知正方體中，分別為，的中點(diǎn)，求證：（），四點(diǎn)共面；（）若交平面于點(diǎn)，則，三點(diǎn)共線答案：證明：如圖（）是的中位線，在正方體中，確定一個(gè)平面，即，四點(diǎn)共面（）正方體中，設(shè)確定的平面為，又設(shè)平面為，又，則是與的公共點(diǎn)，又，則故，三點(diǎn)共線第18題.已知下列四個(gè)命題：很平的桌面是一個(gè)平面；一個(gè)平面的面積可以是m；平面是矩形或平行四邊形；兩個(gè)平面疊在一起比一個(gè)平面厚其中正確的命題有（）個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)答案：第19題.給出下列命題：和直線都相交的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)；三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)；有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；兩兩平行的三條直線確定三個(gè)平面其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）答案：第20題.直線，在上取點(diǎn)，上取點(diǎn)，由這點(diǎn)能確定的平面有（）個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)答案：第21題.三條直線相交于一點(diǎn)，可能確定的平面有（）個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)或個(gè)答案：第22題.下列命題中，不正確的是（）一條直線和兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；每?jī)蓷l都相交但不共點(diǎn)的四條直線一定共面；兩條相交直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；兩條互相垂直的直線共面與與與與答案：第23題.分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是（）異面直線相交直線不相交直線不平行直線答案：第24題.在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別是四邊形，的對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別是四邊形，的對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別是四邊形，的對(duì)角線的交點(diǎn)求證：答案：證明：如圖，連結(jié)，由三角形中位線定理可知，又，同理可證由等角定理可得第25題.若，是異面直線，也是異面直線，則與的位置關(guān)系是（）異面相交或平行平行或異面相交或