天津市2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-試題選編5-數(shù)列-理-新人教A版

天津市2023屆高三理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題選編5：數(shù)列一、選擇題AUTONUM\*Arabic．（天津市薊縣二中2023屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）在正項(xiàng)等比數(shù)列中,,,數(shù)列滿足,則數(shù)列的前6項(xiàng)和是 （）A．0 B．2 C．3 D．5【答案】CAUTONUM\*Arabic．（2023年高考（天津理））已知為等差數(shù)列,其公差為-2,且是與的等比中項(xiàng),為的前項(xiàng)和,,則的值為 （）A．-110 B．-90 C．90 D．110【答案】【命題立意】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式和等比中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí),熟練運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算.D【解析】由已知得即解得,所以,所以AUTONUM\*Arabic．（2023年高考（天津理））已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,是的前n項(xiàng)和,且,則數(shù)列的前5項(xiàng)和為 （）A．或5 B．或5 C． D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．（天津市六校2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題（WORD版））已知等差數(shù)列中,a7+a9=16,S11=,則a12的值是 （）A．15 B．30 C．31 D．64【答案】AAUTONUM\*Arabic．（天津市新華中學(xué)2023屆高三第三次月考理科數(shù)學(xué)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為 （）A．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，即，解得。若存在兩?xiàng)，有，即，，即，所以，即。所以，當(dāng)且僅當(dāng)即取等號(hào)，此時(shí)，所以時(shí)取最小值，所以最小值為，選A．AUTONUM\*Arabic．（天津耀華中學(xué)2023屆高三年級(jí)第三次月考理科數(shù)學(xué)試卷）已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,若成等差數(shù)列,則數(shù)列的前5項(xiàng)和為 （）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列,所以,即,所以,即,所以,所以,所以的前5項(xiàng)和,選 （）A．AUTONUM\*Arabic．（2023高考(天津理)）設(shè)若的最小值為 （）A．8 B．4 C．1 D．【答案】BAUTONUM\*Arabic．（2023屆天津市高考?jí)狠S卷理科數(shù)學(xué)）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且成等比數(shù)列,則等于 （）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,即,即,所以,選 C．AUTONUM\*Arabic．（天津市新華中學(xué)2023屆高三第三次月考理科數(shù)學(xué)）設(shè)是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則的值為 （）A．【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津市五區(qū)縣2023屆高三質(zhì)量檢查（一）數(shù)學(xué)（理）試題）在等比數(shù)列中,,則 （）A．±9 B．9 C．±3 D．3【答案】CAUTONUM\*Arabic．（天津市新華中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第二次月考理科數(shù)學(xué)）等差數(shù)列{a}中，如果，，數(shù)列{a}前9項(xiàng)的和為 （）A．297 B．144 C．99 D．66【答案】C【解析】由，得。由，德。所以，選 C．AUTONUM\*Arabic．（天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三畢業(yè)班聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)數(shù)列滿足,且是單調(diào)遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （）A． B． C． D．【答案】CAUTONUM\*Arabic．（天津市天津一中2023屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)理試題）若?ABC的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列,三邊成等比數(shù)列,則?ABC是 （）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形【答案】C解:設(shè)三個(gè)內(nèi)角為等差數(shù)列,則,所以.又為等比數(shù)列,所以,即,即,所以,所以三角形為等邊三角形,選 C．AUTONUM\*Arabic．（天津南開中學(xué)2023屆高三第四次月考數(shù)學(xué)理試卷）數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則數(shù)列的前50項(xiàng)的和為 （）A．49 B．50 C．99 D．100【答案】AAUTONUM\*Arabic．（天津市新華中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第二次月考理科數(shù)學(xué)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a}滿足：，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為 （）A． B． C． D．不存在【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，即，解得。若存在兩?xiàng)，有，即，，即，所以，即。所以，當(dāng)且僅當(dāng)即取等號(hào)，此時(shí)，所以時(shí)取最小值，所以最小值為，選 （）A．AUTONUM\*Arabic．（天津市十二校2023屆高三第二次模擬聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）已知等差數(shù)列的公差,且成等比數(shù)列,若是數(shù)列的前項(xiàng)的和,則的最小值為 （）A．4 B．3 C． D．【答案】A二、填空題AUTONUM\*Arabic．（天津市薊縣二中2023屆高三第六次月考數(shù)學(xué)（理）試題）正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，則等于______.【答案】16【解析】在等比數(shù)列中，，所以由，得，即。AUTONUM\*Arabic．（天津市新華中學(xué)2023屆高三寒假復(fù)習(xí)質(zhì)量反饋數(shù)學(xué)（理）試題）某公園設(shè)計(jì)節(jié)日鮮花擺放方案,其中一個(gè)花壇由一批花盆堆成六角垛,頂層一個(gè),以下各層均堆成正六邊形,且逐層每邊增加一個(gè)花盆(如圖).設(shè)第層共有花盆的個(gè)數(shù)為,則的表達(dá)式為_____________________.【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津市新華中學(xué)2023屆高三第三次月考理科數(shù)學(xué)）在數(shù)列中，，則數(shù)列中的最大項(xiàng)是第項(xiàng)?！敬鸢浮緼UTONUM\*Arabic．（天津市新華中學(xué)2023屆高三第三次月考理科數(shù)學(xué)）若，則.【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津耀華中學(xué)2023屆高三年級(jí)第三次月考理科數(shù)學(xué)試卷）對(duì)于各數(shù)互不相等的整數(shù)數(shù)組(n是不小于3的正整數(shù)),若對(duì)任意的p,,當(dāng)時(shí)有,則稱是該數(shù)組的一個(gè)“逆序”.一個(gè)數(shù)組中所有“逆序”的個(gè)數(shù)稱為該數(shù)組的“逆序數(shù)”,如數(shù)組(2,3,1)的逆序數(shù)等于2.若數(shù)組的逆序數(shù)為n,則數(shù)組的逆序數(shù)為_________;【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津市天津一中2023屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)理試題）等差數(shù)列{an}中,,在等比數(shù)列{bn}中,則滿足的最小正整數(shù)n是____.【答案】6解:在等差數(shù)列中,,所以,.所以在等比數(shù)列中,即.所以,.則由,得,即,所以的最小值為6.AUTONUM\*Arabic．（天津市紅橋區(qū)2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題（Word版含答案））等比數(shù)列中,,前三項(xiàng)和,則公比的值為_________.【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津耀華中學(xué)2023屆高三年級(jí)第三次月考理科數(shù)學(xué)試卷）設(shè){an}是等比數(shù)列,公比,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.記,,設(shè)為數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng),則n0=__________;【答案】4【解析】設(shè)首項(xiàng)為,則,,,所以,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號(hào),此時(shí),有最大值,所以.AUTONUM\*Arabic．（天津市新華中學(xué)2023屆高三第三次月考理科數(shù)學(xué)）設(shè)數(shù)列滿足，(n∈N﹡)，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津市新華中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第二次月考理科數(shù)學(xué)）數(shù)列{a}中，若a=1，（n≥1），則該數(shù)列的通項(xiàng)a=________?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)?，所以，即?shù)列是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)。所以三、解答題AUTONUM\*Arabic．（天津市紅橋區(qū)2023屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理試題（word版））已知等比數(shù)列{an}的公比q≠1,a1=3,且3a2、2a3、a4成等差數(shù)列.(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn},b1=q,bn=3an-1+rbn-1(n≥2,n∈N*)(r為常數(shù),且qr≠0,r≠3).①寫出b2,b3,b4;②試推測(cè)出bn用q,r,n表示的公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你推測(cè)的結(jié)論.【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津南開中學(xué)2023屆高三第四次月考數(shù)學(xué)理試卷）已知數(shù)列滿足,(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且對(duì)任意,有成立,求【答案】解:(1)由可得,是以2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列(2)時(shí),時(shí),設(shè)則綜上,AUTONUM\*Arabic．（天津市新華中學(xué)2023屆高三寒假復(fù)習(xí)質(zhì)量反饋數(shù)學(xué)（理）試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和(為正整數(shù))(Ⅰ)令,求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)令,試比較與的大小,并予以證明【答案】解:(I)在中,令n=1,可得,即當(dāng)時(shí),,..又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.于是.(II)由(I)得,所以①②由①-②得于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小由可猜想當(dāng)證明如下:證法1:(1)當(dāng)n=3時(shí),由上述驗(yàn)算顯示成立.(2)假設(shè)時(shí)所以當(dāng)時(shí)猜想也成立綜合(1)(2)可知,對(duì)一切的正整數(shù),都有證法2:當(dāng)時(shí),綜上所述,當(dāng),當(dāng)時(shí)AUTONUM\*Arabic．（天津市新華中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第二次月考理科數(shù)學(xué)）設(shè)數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，且滿足S=2-a，n=1，2，3，…（1）求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式；（4分）（2）若數(shù)列滿足b=1，且b=b+a，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（6分）（3）設(shè)C=n（3-b），求數(shù)列{C}的前n項(xiàng)和T。（6分）【答案】（1）a=S=1 1分n≥2時(shí)，S=2-a 1分S=2-a 1分a=a+a2a=a∵a=1= 1分∴a=() 1分（2）b-b=（) 1分 1分∴b-b=()+……+（)= 1分=2-∴b=3- 1分∵b=1 成立 1分∴b=3-（)（3）C=n（) 1分T=1×（)+2（)+……+n（)T=1×（)+……+(n-1)（)+n（)=2+-n（)=2+2-（)-n（)∴T=8--=8-AUTONUM\*Arabic．（天津市薊縣二中2023屆高三第六次月考數(shù)學(xué)（理）試題）已知A(,)，B(,)是函數(shù)的圖象上的任意兩點(diǎn)（可以重合），點(diǎn)M在

直線上，且.

（1）求+的值及+的值

（2）已知，當(dāng)時(shí)，+++，求；

（3）在（2）的條件下，設(shè)=，為數(shù)列{}的前項(xiàng)和，若存在正整數(shù)、，

使得不等式成立，求和的值.

【答案】解：（Ⅰ）∵點(diǎn)M在直線x=上，設(shè)M.

又＝，即，，

∴+=1.

①當(dāng)=時(shí)，=，+=；

②當(dāng)時(shí)，，

+=+===

綜合①②得，+.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)+=1時(shí),+∴，k=.

n≥2時(shí)，+++，①，②①＋②得，2=-2(n-1),則=1-n.

當(dāng)n=1時(shí)，=0滿足=1-n.∴=1-n.

（Ⅲ）==，=1++=.

.

=2-，=-2+=2-，

∴，、m為正整數(shù)，∴c=1，

當(dāng)c=1時(shí)，，

∴1<<3，

∴m=1.AUTONUM\*Arabic．（2023年高考（天津理））在數(shù)列中,,且對(duì)任意.,,成等差數(shù)列,其公差為?(Ⅰ)若=,證明,,成等比數(shù)列()(Ⅱ)若對(duì)任意,,,成等比數(shù)列,其公比為?(i)設(shè)1.證明是等差數(shù)列;(ii)若,證明【答案】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法?(Ⅰ)證明:由題設(shè),可得?所以==2k(k+1)由=0,得于是?所以成等比數(shù)列?(Ⅱ)證法一:(i)證明:由成等差數(shù)列,及成等比數(shù)列,得當(dāng)≠1時(shí),可知≠1,k從而所以是等差數(shù)列,公差為1?(Ⅱ)證明:,,可得,從而=1.由(Ⅰ)有所以因此,以下分兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),設(shè)n=2m()若m=1,則.若m≥2,則+所以(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)n=2m+1()所以從而···綜合(1)(2)可知,對(duì)任意,,有證法二:(i)證明:由題設(shè),可得所以由可知?可得,所以是等差數(shù)列,公差為1?(ii)證明:因?yàn)樗?所以,從而,?于是,由(i)可知所以是公差為1的等差數(shù)列?由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得=,故?從而?所以,由,可得?于是,由(i)可知以下同證法一?AUTONUM\*Arabic．（天津市寶坻區(qū)2023屆高三綜合模擬數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,是等差數(shù)列,且,(Ⅰ)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】解:(Ⅰ)設(shè)數(shù)列的公比為數(shù)列的公差為依題意得:∵∴,將代入得∴(Ⅱ)由題意得令①則②①-②得:∴又∴AUTONUM\*Arabic．（2023屆天津市高考?jí)狠S卷理科數(shù)學(xué)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且是與2的等差中項(xiàng),數(shù)列中,,點(diǎn)在直線上.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式和;(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】解:(Ⅰ)∵是與2的等差中項(xiàng),∴①∴②由①-②得再由得∴.∴(Ⅱ)①.②①-②得:,即:,∴AUTONUM\*Arabic．（天津市六校2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題（WORD版））已知數(shù)列{an}中,a1=1,若2an+1-an=,bn=an-(1)求證:{bn}為等比數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式;(2)若Cn=nbn+,且其前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn<3.【答案】解:(1)----6{bn}為等比數(shù)列,又b1=,q=---------------------7(2)由(1)可知------------------------13AUTONUM\*Arabic．（天津市天津一中2023屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)理試題）數(shù)列{an}滿足4a1=1,an-1=[(-1)nan-1-2]an(n≥2),(1)試判斷數(shù)列{1/an+(-1)n}是否為等比數(shù)列,并證明;(2)設(shè)an2?bn=1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【答案】解:(1)由即另:是首項(xiàng)為3公比為-2的等比數(shù)列(2)由=AUTONUM\*Arabic．（天津市薊縣二中2023屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,通項(xiàng)滿足(是常數(shù),且).(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明;(Ⅲ)設(shè)函數(shù),是否存在正整數(shù),使對(duì)都成立?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】所以所以AUTONUM\*Arabic．（天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三畢業(yè)班聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)在與之間插入個(gè)數(shù),使這個(gè)數(shù)組成公差為的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,證明:.【答案】設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)在與之間插入個(gè)數(shù),使這個(gè)數(shù)組成公差為的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,證明:.【D】18．解(Ⅰ)由N*)得N*,),兩式相減得:,即N*,),∵是等比數(shù)列,所以,又則,∴,∴(Ⅱ)由(1)知,∵,∴,令,則+①②①-②得AUTONUM\*Arabic．（2023年天津市濱海新區(qū)五所重點(diǎn)學(xué)校高三畢業(yè)班聯(lián)考理科數(shù)學(xué)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,數(shù)列滿足,且點(diǎn)在直線上.(Ⅰ)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)求數(shù)列的前項(xiàng)和;(Ⅲ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】【解】(Ⅰ)當(dāng),當(dāng)時(shí),∴,∴是等比數(shù)列,公比為2,首項(xiàng)∴又點(diǎn)在直線上,∴,∴是等差數(shù)列,公差為2,首項(xiàng),∴(Ⅱ)∴∴①②①—②得(Ⅲ)AUTONUM\*Arabic．（天津市五區(qū)縣2023屆高三質(zhì)量檢查（一）數(shù)學(xué)（理）試題）已知數(shù)列中,數(shù)列中.其中.(I)求證:數(shù)列是等差數(shù)列:(Ⅱ)設(shè)最是數(shù)列的前n項(xiàng)和,求;(Ⅲ)設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和,求證:.【答案】(Ⅰ),而,∴.∴{}是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,于是=故有=6Ⅲ證明:由(Ⅰ)可知?jiǎng)t則++,∴AUTONUM\*Arabic．（天津市天津一中2023屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)理試題）對(duì)n∈N?不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,把Dn內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排成點(diǎn)列(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),求xn,yn;(2)數(shù)列{an}滿足a1=x1,且n≥2時(shí)an=yn2證明:當(dāng)n≥2時(shí),;(3)在(2)的條件下,試比較與4的大小關(guān)系.【答案】解:(1)當(dāng)n=1時(shí),(x1,y1)=(1,1)n=2時(shí),(x2,y2)=(1,2)(x3,y3)=(1,3)n=3時(shí),(x4,y4)=(1,4)n時(shí)(xn,yn)=(1,n)(2)由(3)當(dāng)n=1時(shí),時(shí),成立由(2)知當(dāng)n≥3時(shí),即====得證AUTONUM\*Arabic．（天津市紅橋區(qū)2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題（Word版含答案））(本小題滿分l3分)已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)為和,點(diǎn)()在直線上.數(shù)列{}滿足,且b1=5,{}前10項(xiàng)和為185.(I)求數(shù)列{}、{}的通項(xiàng)公式;(II)設(shè),數(shù)列的前n和為Tn,求證:.【答案】AUTONUM\*Arabic．（天津市河北區(qū)2023屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)（理）試題）若數(shù)列{An}滿足,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(diǎn)(an,an+1)在二次函數(shù)的圖像上,其中.(I)證明數(shù)列{2an+l}是“平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+l)}為等比數(shù)列;(Ⅱ)設(shè)(I)中“平方遞推數(shù)列”{2an+l}的前n項(xiàng)之積為Tn,即,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)及Tn關(guān)于n的表達(dá)式;(Ⅲ)記,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【答案】AUTONUM\*Arabic．（2023-2023-2天津一中高三年級(jí)數(shù)學(xué)第四次月考檢測(cè)試卷（理））設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【答案】解：（Ⅰ）由題意，，則當(dāng)時(shí)，.兩式相減，得（）.……………2分又因?yàn)?，，，…………?分所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，……5分所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）.………………6分（Ⅱ）因?yàn)?，所以，…?分兩式相減得，，………11分整理得，().………………13分AUTONUM\*Arabic．（天津市天津一中2023屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)理試題）已知,點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,其中(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列;(2)設(shè),求及數(shù)列的通項(xiàng);(3)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(Ⅰ)由已知, ,兩邊取對(duì)數(shù)得,即是公比為2的等比數(shù)列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知(*)=由(*)式得(Ⅲ)又.AUTONUM\*Arabic．（天津耀華中學(xué)2023屆高三年級(jí)第三次月考理科數(shù)學(xué)試卷）（本小題滿分14分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，數(shù)列{bn}滿足.（1）求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，證明：且時(shí)，；（3）設(shè)數(shù)列{cn}滿足（為非零常數(shù)，），問是否存在整數(shù)，使得對(duì)任意，都有.【答案】解：（1）在中，令n=1，可得，即當(dāng)時(shí)，，∴，∴，即.∵，∴，即當(dāng)時(shí)，.又，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.于是，∴.（2）由（1）得，所以①②由①－②得∴于是確定Tn與的大小關(guān)系等價(jià)于比較與2n+1的大小由可猜想當(dāng)時(shí)，.證明如下：證法1：①當(dāng)n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立.②假設(shè)n=k+1時(shí)所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立綜合①②可知，對(duì)一切的正整數(shù)，都有.證法2：當(dāng)時(shí)綜上所述，當(dāng)n=1,2時(shí)，當(dāng)時(shí)（3）∵∴∴①當(dāng)n=2k－1，k=1,2,3,……時(shí)，①式即為②依題意，②式對(duì)k=1,2,3……都成立，∴當(dāng)n=2k,k=1,2,3,……時(shí)，①式即為③依題意，③式對(duì)k=1,2,3……都成立，∴∴，又∴存在整數(shù)，使得對(duì)任意有.AUTONUM\*Arabic．（2023天津高考數(shù)學(xué)（理））已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.【答案】本題考查等差數(shù)列的概念,等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式,數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí).考查分類討論的思想,考查運(yùn)算能力、分析問題和解決問題的能力.(Ⅰ)解:設(shè)等比數(shù)列的公比為,因?yàn)槌傻炔顢?shù)列,所以,即,于是.又不是遞減數(shù)列且,所以.故等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)解:由(Ⅰ)