2010-2011年廣東各地高考數(shù)學模擬題和答案

2010-2011年廣東各地高考數(shù)學模擬題和答案LtD廣東省茂名市2010年第二次高考模擬考試數(shù)學試題（理科）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分?？荚嚂r間120分鐘。注意事項： 1．答卷前，考生要務必填寫答題卷上的有關項目。 2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案填在答題卡相應的位置上。 3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4．考生必須保持答題卷的整潔，考試結束后，凈答題卷交回。 5．參考公式：表示的軌跡是 （） A．線段O1O52的中垂線 B．過兩圓內(nèi)公切線交點且垂直線段O1O2的直線 C．兩圓公共弦所在的直線 D．一條直線且該直線上的點到兩圓的切線長相等8．設，則對任意實數(shù)是的 （） A．充分必要條件 B．充分而非必要條件 C．必要而非充分條件 D．既非充分也非必要條件第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：（本大題共7小題，第14、15小題任選一題作答，多選的按第14小題給分，共30分）9．為虛數(shù)單位，若復數(shù)滿足，則。10．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為。11．關于的方程的解集是，則實數(shù)。12．已知函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是。13．設，，若，則的取值范圍是。選做題：以下兩題任選一道作答，兩題都答的按第14題正誤給分。14．（極坐標與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的極坐標方程是，以極點為平在直角坐標系的原點，極軸為的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程是為參數(shù)），則直線與曲線C相交所得的弦的弦長為。15．（幾何證明選講選做題）如右圖所示，AC和AB分別是圓O的切線，且OC=3，AB+4，延長AO到D點，則的面積是。三、解答題：（本大題共6小題，共80分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)的最大值為2。（1）求的值及的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間。17．（本小題滿分12分）第16屆亞運會將于2010年11月12日至27日在中國廣州進行，為了搞好接待工作，組委會招募了16名男志愿者和14名女志愿者，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女志愿者中分別有10人和6人喜愛運動，其余不喜愛。（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表：喜愛運動不喜愛運動總計男1016女614總計30（2）根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為性別與喜愛運動有關？（3）從女志原者中抽取2人參加接待工作，若其中喜愛運動的人數(shù)為，求的分布列和均值。 參考公式：，其中 參考數(shù)據(jù)：0.40100.7081.3232.7066.63518．（本小題滿分14分）已知四棱錐P—ABCD的三視圖如下右圖所示，其中正（主）視圖與側（左）視為直角三角形，俯視圖為正方形。（1）求四棱錐P—ABCD的體積；（2）若E是側棱上的動點。問：不論點E在PA的任何位置上，是否都有？請證明你的結論？（3）求二面角D—PA—B的余弦值。19．（本題滿分14分）已知是的導函數(shù)，，且函數(shù)的圖象過點（0，-2）。（1）求函數(shù)的表達式；（2）設，若在定義域內(nèi)恒成立，求實數(shù)的取值范圍。20．（本小題滿分14分）如圖所示，橢圓的離心率為，且A（0，1）是橢圓C的頂點。（1）求橢圓C的方程；（2）過點A作斜率為1的直線，在直線上求一點M，使得以橢圓C的焦點為焦點，且過點M的雙曲線E的實軸最長，并求此雙曲線E的方程。21．（本小題滿分14分）已知數(shù)列的相鄰兩項是關于的方程的兩實根，且（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設是數(shù)列的前項和，求；（3）問是否存在常數(shù)，使得對都成立，若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由。參考答案一、選擇題（每小題5分，共40分）1—4CBDC5—8BADA二、填空題（每題5分，共30分）9．10．411．12．13．14．415．三、解答題：（本大題共6小題，共80分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）16．解：（1） 4分 當=1時， 取得最大值， 又的最大值為2， ，即5分 的最小正周期為6分（2）由（1）得7分 8分 得 10分 的單調(diào)增區(qū)間為和12分17．解：（1）喜愛運動不喜愛運動總計男10616女6814總計161430……2分（2）假設：是否喜愛運動與性別無關，由已知數(shù)據(jù)可求得： 因此，在犯錯的概率不超過0.10的前提下不能判斷喜愛運動與性別有關6分（3）喜愛運動的人數(shù)為的取值分別為：0，1，2，其概率分別為： 8分 喜愛運動的人數(shù)為的分布列為：012P ……10分 所以喜愛運動的人數(shù)的值為： 12分18．解：（1）由三視圖可知，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為1的正方形， 側棱底面ABCD，且PC=2 4分（2）不論點E在何位置，都有5分 證明：連結AC， 是正方形， 底面ABCD，且平面ABCD， 6分 又，平面PAC7分 不論點E在何位置，都有平面PAC。 不論點E在何位置，都有BDCE。9分（3）在平面DAP過點D作DFPA于F，連結BF ，AD=AB=1， 又AF=AF，AB=AD 從而， 為二面角D—AP—B的平面角12分 在中， 故在中， 又，在中， 由余弦定理得： 所以二面角D—PA—B的余弦值為14分19．解：（1）由已知得1分 又 3分 5分（2）由（1）得定義域為（-1，+∞），7分 令8分 ①當時， 且在區(qū)間上， 在區(qū)上 處取得極小值，也是最小值。 10分 由得 11分 ②當， 在區(qū)間（-1，+∞）上，恒成立。 在區(qū)間（-1，+∞）上單調(diào)遞減，沒有最值13分 綜上得，的取值范圍是14分20．解：（1）由題意可知，1分 即3分 所以橢圓C的方程為：4分（2）設橢圓C的焦點為F1，F(xiàn)2， 則可知F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0）， 直線方程為：6分 因為M在雙曲線E上，所以要使雙曲線E的實軸最長， 只需最大。 又關于直線的對稱點為 則直線F2F1′與直線的交點即為所求的點M9分 直線F2F1′的斜率為，其方程為： 解得 12分 又 ，此時 故所求的雙曲線方程為14分21．解：（1）證明：是關于的方程的兩實根， 2分 故數(shù)列是首項為， 公比為-1的等比數(shù)列。4分（2）由（1）得， 即 8分（3）由（2）得 要使，對都成立， 即（*）10分 ①當為正奇數(shù)時，由（*）式得： 即 對任意正奇數(shù)都成立， 故為奇數(shù)）的最小值為1。 12分 ②當為正偶數(shù)時，由（*）式得： 即 對任意正偶數(shù)都成立， 故為偶數(shù)）的最小值為 綜上所述得，存在常數(shù)，使得對都成立， 的取值范圍為（-∞，1）。14分2011年佛山市普通高中高三教學質(zhì)量檢測（二）數(shù)學(理科)2011.4本試卷共4頁,21小題,滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前,考生要務必填寫答題卷上的有關項目.2.選擇題每小題選出答案后，用黑色字跡的鋼筆或簽字筆把答案代號填在答題卷對應的空格內(nèi).3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卷的整潔.考試結束后，將答題卷和答題卡交回.一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1．已知全集，集合，則A．B.C.D.2．若將復數(shù)表示為，是虛數(shù)單位)的形式,則的值為A．2B．C．2D．3．在正項等比數(shù)列中，若，，則A.B.C.D.4．已知，則的最小值為A.B.C.D.5．已知，為的反函數(shù).若，那么與在同一坐標系內(nèi)的圖像可能是ABCD6．設滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值是A．B．C．D．7．設△的三邊長分別為，，（），則“”是“，，成等差數(shù)列”的A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充分必要條件D．既非充分又非必要條件8．如圖，某地一天從～時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)：．則中午12點時最接近的溫度為A．B．C．D．二、填空題:本大共7小題,考生作答6小題,每小題5分，滿分30分）(一)必做題(9～13題)9.已知，則．10.某品牌平板電腦的采購商指導價為每臺2000元，若一次采購數(shù)量達到一定量，還可享受折扣.右圖為某位采購商根據(jù)折扣情況設計的算法程序框圖，若一次采購85臺該平板電腦，則元.11.某射擊愛好者一次擊中目標的概率為，在某次射擊訓練中向目標射擊次，記為擊中目標的次數(shù)，且，則________.12.已知雙曲線的一條漸近線與曲線相切，則的值為___.13.如右數(shù)表，為一組等式：某學生猜測，老師回答正確，則．(二)選做題(14～15題,考生只能從中選做一題)14.（坐標系與參數(shù)方程）已知⊙的方程為（為參數(shù)），則⊙上的點到直線（為參數(shù)）的距離的最大值為．15.（幾何證明選講）如圖，已知是圓的切線，切點為，直線交圓于兩點，,，則圓的面積為．三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16．（本題滿分12分）（第一問5分，第二問7分）已知平面直角坐標系上的三點，，（），且與共線.（1）求；（2）求的值.17．（本題滿分12分）（第一問5分，第二問5分，第三問2分）為提高廣東中小學生的健康素質(zhì)和體能水平，廣東省教育廳要求廣東各級各類中小學每年都要在體育教學中實施“體能素質(zhì)測試”，測試總成績滿分為分.根據(jù)廣東省標準，體能素質(zhì)測試成績在之間為優(yōu)秀;在之間為良好；在之間為合格；在之間，體能素質(zhì)為不合格.現(xiàn)從佛山市某校高一年級的900名學生中隨機抽取30名學生的測試成績?nèi)缦?65,65,84,76,70,56,81,87,83,91,75,81,88,80,82,93,85,90,77,86,81,83,82,82,64,79,86,68,71,89,96.（1）在答題卷上完成頻率分布表和頻率分布直方圖,并估計該校高一年級體能素質(zhì)為優(yōu)秀的學生人數(shù)；（2）在上述抽取的30名學生中任取2名，設為體能素質(zhì)為優(yōu)秀的學生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望（結果用分數(shù)表示）；（3）請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述廣東省標準，對該校高一學生的體能素質(zhì)給出一個簡短評價.18．（本題滿分14分）（第一問8分，第二問6分）如圖，已知幾何體的下部是一個底面是邊長為2的正六邊形、側面全為正方形的棱柱，上部是一個側面全為等腰三角形的棱錐，其側棱長都為．（1）證明：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值．19．（本題滿分14分）（第一問5分，第二問9分）已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）為橢圓的左右頂點，點是橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點.證明：以線段為直徑的圓恒過軸上的定點.20．（本題滿分14分）（第一問5分，第二問4分，第三問5分）已知數(shù)列，中，對任何正整數(shù)都有：．（1）若數(shù)列是首項為和公比為的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是否為等比數(shù)列？若是，請求出通項公式，若不是，請說明理由；（3）求證：．21．（本題滿分14分）（第一小題8分，第二小題6分）（1）定理：若函數(shù)的圖像在區(qū)間上連續(xù)，且在內(nèi)可導，則至少存在一點，使得成立.應用上述定理證明：①；②.（2）設.若對任意的實數(shù)，恒成立，求所有可能的值.2011年佛山市普通高中高三教學質(zhì)量檢測（二）數(shù)學試題（理科）參考答案和評分標準一、選擇題：（每題5分，共40分）題號12345678選項BAADCBCB二、填空題（每題5分，共30分）9．10．11．12．或（注：正確寫出兩個才得滿分）13．14．15．三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16．（本題滿分12分）解：（1）解法1：由題意得：，，……………2分∵，∴，……………4分∴.……………5分解法2：由題意得：，，……………2分∵，∴，∴，……………4分∴……………5分解法3：由題意知，點為單元圓上的點，如圖所示，∵，∴，則，………………3分∴；……………5分（2）∵，，∴，由，解得，，……………8分∴；；…………10分∴．…………12分17．（本題滿分12分）解：(1)分組分組頻數(shù)頻率26評分說明：正確填表2分；正確完成頻率分布直方圖2分.說明：頻率分布表對1個、2個、3個給1分；對4個給2分.頻率分布直方圖對一個給1分；對2個給2分.根據(jù)抽樣,估計該校高一學生中體能素質(zhì)為優(yōu)秀的有人………5分(2)的可能取值為.…………6分…………8分（上述3個對一個給1分）分布列為：………9分所以，數(shù)學期望.……10分（3）答對下述三條中的一條即可給分：①估計該校高一學生中體能素質(zhì)為優(yōu)秀有人，占總人數(shù)的，體能素質(zhì)為良好的有人，占總人數(shù)的，體能素質(zhì)為優(yōu)秀或良好的共有人，占總人數(shù)的，說明該校高一學生體能素質(zhì)良好.②估計該校高一學生中體能素質(zhì)為不合格的有人，占總人數(shù)的，體能素質(zhì)僅為合格的有人，占總人數(shù)的，體能素質(zhì)為不合格或僅為合格的共有人，占總人數(shù)的，說明該校高一學生體能素質(zhì)有待進一步提高，需積極參加體育鍛煉.③根據(jù)抽樣,估計該校高一學生中體能素質(zhì)為優(yōu)秀有人，占總人數(shù)的，體能素質(zhì)為良好的有人，占總人數(shù)的，體能素質(zhì)為優(yōu)秀或良好的共有人，占總人數(shù)的，但體能素質(zhì)為不合格或僅為合格的共有人，占總人數(shù)的，說明該校高一學生體能素質(zhì)良好,但仍有待進一步提高，還需積極參加體育鍛煉.18．（本題滿分14分）解：（1）∵側面全為矩形，∴；在正六邊形中，，………1分又，∴平面；…………2分∵，∴平面；又平面，∴；……………5分（注：也可以由勾股定理得到，利用勾股定理求得垂直關系2分）在中，，，∴，又；∴在平面中，如圖所示，，∴，故；……………7分又，∴平面．……………8分（說明1：在上述證明線面垂直的過程中，如果缺了，平面，三個條件中的任意兩個本問扣掉3分，如果三個條件都缺，則本題最多只能得分）（2）解法1：∵在正六邊形中，∴異面直線與所成角為（或其補角）；……………10分在中，，，，……………11分∴，……………13分∴異面直線與所成角的余弦值為．……………14分解法2：以底面正六邊形的中心為坐標原點，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．∵，，，，∴，，………………11分設異面直線與所成角為，則，∴，……………13分∴異面直線與所成角的余弦值為．……………14分（說明1：坐標法，建系1分，寫出四個坐標共2分，錯一個或2個扣1分）19．（本題滿分14分）解：（1）由題意可知，，……………1分而，……………2分且.……………3分解得，……………4分所以，橢圓的方程為.……………5分（2）由題可得.設，……………6分直線的方程為，……………7分令，則，即；……………8分直線的方程為，……………9分令，則，即；……………10分證法一：設點在以線段為直徑的圓上，則，……………11分即，……………12分，（資料來源：數(shù)學驛站）而，即，，或.……………13分所以以線段為直徑的圓必過軸上的定點或.……………14分證法二：以線段為直徑的圓為……………11分令，得，……………12分∴，而，即，∴，或.……………13分所以以線段為直徑的圓必過軸上的定點或.……………14分解法3：令，則，令，得……………6分同理，.……………7分∴以為直徑的圓為……………8分當時，或.∴圓過……………9分令，直線的方程為，令，則，即；……………10分直線的方程為，令，則，即；……………11分∵……………13分∴在以為直徑的圓上.同理，可知也在為直徑的圓上.∴定點為……………14分20．（本題滿分14分）解：方法一、（1）依題意，數(shù)列的通項公式為，……………1分由，可得，兩式相減可得，即.……………3分當，從而對一切，都有.……………4分所以數(shù)列的通項公式是.……………5分方法二、（猜想歸納法）求出……………1分猜想出……………2分正確使用數(shù)學歸納法證明……………5分（2）法1：設等差數(shù)列的首項為，公差為，則.由（1）得，……………6分……………7分要使是一個與無關的常數(shù)，當且僅當……………8分即：當?shù)炔顢?shù)列的滿足時，數(shù)列是等比數(shù)列，其通項公式是；當?shù)炔顢?shù)列的滿足時，數(shù)列不是等比數(shù)列．……………9分法2：設等差數(shù)列的首項為，公差為，則.由（1）得，……………6分若數(shù)列是等比數(shù)列，則……………7分要使上述比值是一個與無關的常數(shù)，須且只需.即：當?shù)炔顢?shù)列的滿足時，數(shù)列是等比數(shù)列，其通項公式是；…………8分當?shù)炔顢?shù)列的滿足時，數(shù)列不是等比數(shù)列．……………9分（3）證法1：由（1）知.……………12分……………13分……………14分證法2：證明其加強命題：……………11分證明：①時，左邊=1，右邊=1，不等式成立；②假設時，不等式成立.則時，；……………13分由①②知，對一切正整數(shù)，不等式成立.綜上，知……………14分證法3：由（1）知.當時，，∴……………11分∴∴當時，.……………13分又當時，，當時，，綜上，對一切自然數(shù)，都有.……14分21．（本題滿分14分）證明：①，……1分（注1：只要構造出函數(shù)即給1分）故又…………2分即……3分②證明：由式可得……6分上述不等式相加，得……8分（注：能給出疊加式中的任何一個即給1分，能給出一般式，給出2分）（2）解法一、當時，顯然成立.………9分當時，.……10分下證當時，等式不恒成立.（注：能猜出時等式不恒成立即給1分）不妨設.設.則………11分………13分所以函數(shù)單調(diào)在上單調(diào)遞增，所以，即不恒為零.故的所有可能值為和.………14分解法二、當時，顯然成立.………9分當時，.………10分下證當時，等式不恒成立.不妨設，則已知條件化為：………11分當時，………13分因此，時方程無解.故的所有可能值為和.………14分2010年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學（理科）2010．3本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必用2B鉛筆在“考生號”處填涂考生號，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在的市、縣/區(qū)、學校，以及自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題（或題組號）對應的信息點，再作答．漏涂、錯涂、多涂的，答案無效．5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．參考公式：球的體積公式，其中是球的半徑．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．復數(shù)的共軛復數(shù)是A． B． C． D．2．設一地球儀的球心為空間直角坐標系的原點﹐球面上有兩個點，的坐標分別為，，則A． B．12 C． D．3．已知集合，，若，則實數(shù)的所有可能取值的集合為A． B． C． D．4．若關于的不等式的解集為，則實數(shù)的值為A．2 B．1 C． D．5．已知：直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，：直線與平面垂直．則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．根據(jù)《中華人民共和國道路交通安全法》規(guī)定：車輛駕駛員血液酒精濃度在20—80mg/100ml（不含80）之間，屬于酒后駕車，處暫扣一個月以上三個月以下駕駛證，并處200元以上500元以下罰款；血液酒精濃度在80mg/100ml（含80）以上時，屬醉酒駕車，處十五日以下拘留和暫扣三個月以上六個月以下駕駛證，并處500元以上2000元以下罰款．203040506070802030405060708090100酒精含量頻率組距（mg/100ml）0.0150.010.0050.02圖1月28日，全國查處酒后駕車和醉酒駕車共28800人，如圖1是對這28800人酒后駕車血液中酒精含量進行檢測所得結果的頻率分布直方圖，則屬于醉酒駕車的人數(shù)約為A．2160B．2880C．4320D．86407．在中，點在上，且，點是的中點，若，，則A． B． C． D．………圖2它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第行有個數(shù)且兩端的數(shù)均為，每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如，，，…，則第10行第4個數(shù)（從左往右數(shù)）為A． B．C． D．圖3圖3開始結束輸入否是輸出二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．（一）必做題（9～13題）9．在等比數(shù)列中，，公比，若前項和，則的值為．10．某算法的程序框如圖3所示，若輸出結果為，則輸入的實數(shù)的值是________．（注：框圖中的賦值符號“=”也可以寫成“←”或“：=”）11．有一個底面半徑為1、高為2的圓柱，點為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點，則點到點的距離大于1的概率為．12．已知函數(shù)若在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為．13．如圖4，點為正方體的中心，點為面的中心，點為的中點，則空間四邊形在該正方體的面上的正投影可能是（填出所有可能的序號）．①①②③④圖4ABCDEFOAAA圖5ABCDO圖5ABCDO14．（幾何證明選講選做題）如圖5,是半圓的直徑,點在半圓上,，垂足為，且,設,則的值為.15．（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，已知兩點、的極坐標分別為，，則△（其中為極點）的面積為．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（其中，）．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若函數(shù)的圖像關于直線對稱，求的值．17．（本小題滿分12分）某公司為慶祝元旦舉辦了一個抽獎活動，現(xiàn)場準備的抽獎箱里放置了分別標有數(shù)字1000、800﹑600、0的四個球（球的大小相同）．參與者隨機從抽獎箱里摸取一球（取后即放回），公司即贈送與此球上所標數(shù)字等額的獎金（元），并規(guī)定摸到標有數(shù)字0的球時可以再摸一次﹐但是所得獎金減半（若再摸到標有數(shù)字0的球就沒有第三次摸球機會），求一個參與抽獎活動的人可得獎金的期望值是多少元．18．（本小題滿分14分）如圖6，正方形所在平面與圓所在平面相交于，線段為圓的弦，垂直于圓所在平面，垂足是圓上異于、的點，，圓的直徑為9．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的平面角的正切值．19．（本小題滿分14分）已知，函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）是否存在實數(shù)，使曲線在點處的切線與軸垂直?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．20．（本小題滿分14分）已知點，直線：，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且．（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知圓過定點，圓心在軌跡上運動，且圓與軸交于、兩點，設，，求的最大值．21．（本小題滿分14分）設數(shù)列的前項和為，且對任意的，都有，．（1）求，的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）證明：．2010年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學（理科）試題參考答案及評分標準說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數(shù)．2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)．4．只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．題號12345678答案ACDABCBB二、填空題：本大題查基本知識和基本運算，體現(xiàn)選擇性．共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．9．710．11．12．13．①②③14．15．3三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（本小題滿分12分）（本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的基本關系等知識，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及運算求解能力）（1）解：∵，∴函數(shù)的最小正周期為．（2）解：∵函數(shù)，又的圖像的對稱軸為（），令，將代入，得（）．∵，∴．17．（本小題滿分12分）（本小題主要考查隨機變量的分布列、數(shù)學期望等知識，考查或然與必然的數(shù)學思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力和應用意識）解：設表示摸球后所得的獎金數(shù)，由于參與者摸取的球上標有數(shù)字1000，800，600，0，當摸到球上標有數(shù)字0時，可以再摸一次，但獎金數(shù)減半，即分別為500，400，300，0．則的所有可能取值為1000，800，600，500，400，300，0．依題意得:數(shù)學驛站，，則的分布列為獎金10008006005004003000概率所以所求期望值為元．答：一個參與抽獎活動的人可得獎金的期望值是675元．18．（本小題滿分14分）（本小題主要考查空間線面關系、空間向量及坐標運算等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）（1）證明：∵垂直于圓所在平面，在圓所在平面上，∴．在正方形中，，∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．（2）解法1：∵平面，平面，∴．∴為圓的直徑，即．設正方形的邊長為，在△中，，在△中，，由，解得，．∴．過點作于點，作交于點，連結，GF由于平面，平面，GF∴．數(shù)學驛站∵，∴平面．∵平面，∴．∵，，∴平面．∵平面，∴．∴是二面角的平面角．在△中，，，，∵，∴．在△中，，∴．故二面角的平面角的正切值為．解法2：∵平面，平面，∴．數(shù)學驛站∴為圓的直徑，即．設正方形的邊長為，在△中，，在△中，，由，解得，．∴．xyz以為坐標原點，分別以、所在的直線為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，xyz．設平面的法向量為，則即取，則是平面的一個法向量．設平面的法向量為，則即取，則是平面的一個法向量．∵，∴．∴．故二面角的平面角的正切值為．19．（本小題滿分14分）（本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)等知識，考查分類討論，化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）（1）解：∵，∴．令，得．數(shù)學驛站=1\*GB3①若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無最小值．=2\*GB3②若，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值．=3\*GB3③若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最小值．綜上可知，當時，函數(shù)在區(qū)間上無最小值；當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．（2）解：∵，，∴．由（1）可知，當時，．此時在區(qū)間上的最小值為，即．當，，，∴．曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數(shù)解．而，即方程無實數(shù)解．數(shù)學驛站故不存在，使曲線在點處的切線與軸垂直．20．（本小題滿分14分）（本小題主要考查圓、拋物線、基本不等式等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）（1）解：設，則，∵，∴．即，即，所以動點的軌跡的方程．（2）解：設圓的圓心坐標為，則．①圓的半徑為．圓的方程為．令，則，整理得，．②由①、②解得，．不妨設，，數(shù)學驛站∴，．∴，③當時，由③得，．當且僅當時，等號成立．數(shù)學驛站當時，由③得，．故當時，的最大值為．21．（本小題滿分14分）（本小題主要考查數(shù)列、不等式、二項式定理等知識，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識）（1）解：當時，有，由于，所以．當時，有，即，將代入上式，由于，所以．（2）解：由，得，①則有．②②－①，得，由于，所以．③同樣有，④③－④，得．所以．數(shù)學驛站由于，即當時都有，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．故．（3）證明1：由于，，所以．即．令，則有．即，即故．數(shù)學驛站證明2：要證，只需證，只需證，只需證．由于．因此原不等式成立．2010年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）數(shù)學（理科）選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)i為實數(shù)，則實數(shù)的值為A．B．C．D．不確定2.已知全集中有m個元素，中有n個元素．若非空，則的元素個數(shù)為A．B．C．D．3.已知向量,向量,則的最大值為A.B.C.D.4.若是互不相同的空間直線,是平面,則下列命題中正確的是A.若,則B.若,則開始輸入輸出結束是否C.若,則D.若開始輸入輸出結束是否5.在如圖1所示的算法流程圖,若,則的值為(注:框圖中的賦值符號“=”也可以寫成“”或“：=”)A.B.C.D.6.已知點的坐標滿足為坐標原點,則的最小值為A.B.圖1C.D.7.已知函數(shù),若且,則下列不等式中正確的是A.B.C.D.8.一個人以6米/秒的勻速度去追趕停在交通燈前的汽車,當他離汽車25米時交通燈由紅變綠,汽車開始作變速直線行駛(汽車與人的前進方向相同),汽車在時刻的速度為米/秒,那么,此人A.可在7秒內(nèi)追上汽車B.可在9秒內(nèi)追上汽車C.不能追上汽車,但其間最近距離為14米D.不能追上汽車,但其間最近距離為7米二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．（一）必做題（9～13題）9．若函數(shù)的最小正周期為,則的值為.10.已知橢圓的離心率,且它的焦點與雙曲線的焦點重合,則橢圓的方程為.11．甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)廢品數(shù)分別是兩個隨機變量、，其分布列分別為：010.10若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術較好的是.12.圖2是一個有層的六邊形點陣.它的中心是一個點,算作第一層,第2層每邊有2個點,第3層每邊有3個點,…,第層每邊有個點,則這個點陣的點數(shù)共有個.13.已知的展開式中第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)比為56︰3,則該展開式中的系數(shù)為.圖2（二）選做題（14~15題，考生只能從中選做一題）14.(坐標系與參數(shù)方程選做題)已知直線的參數(shù)方程為(參數(shù)R),圓的參數(shù)方程為(參數(shù)),則直線被圓所截得的弦長為.15.(幾何證明選講選做題)如圖3,半徑為5的圓的兩條弦和相交于點,為的中點,,則弦的長度為.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟，16.（本小題滿分12分）已知.(1)求的值;(2)求的值.17.（本小題滿分12分）如圖4,在直角梯形中,,把△沿對角線折起后如圖5所示(點記為點),點在平面上的正投影落在線段上,連接.(1)求直線與平面所成的角的大小;求二面角的大小的余弦值.圖4圖518.（本小題滿分14分）一射擊運動員進行飛碟射擊訓練,每一次射擊命中飛碟的概率與運動員離飛碟的距離(米)成反比,每一個飛碟飛出后離運動員的距離(米)與飛行時間(秒)滿足,每個飛碟允許該運動員射擊兩次(若第一次射擊命中,則不再進行第二次射擊).該運動員在每一個飛碟飛出0.5秒時進行第一次射擊,命中的概率為,當?shù)谝淮紊鋼魶]有命中飛碟,則在第一次射擊后0.5秒進行第二次射擊,子彈的飛行時間忽略不計.(1)在第一個飛碟的射擊訓練時,若該運動員第一次射擊沒有命中,求他第二次射擊命中飛碟的概率;(2)求第一個飛碟被該運動員命中的概率;(3)若該運動員進行三個飛碟的射擊訓練(每個飛碟是否被命中互不影響),求他至少命中兩個飛碟的概率.19.已知拋物線:的焦點為,、是拋物線上異于坐標原點的不同兩點，拋物線在點、處的切線分別為、，且，與相交于點.(1)求點的縱坐標；(2)證明：、、三點共線；(3)假設點的坐標為，問是否存在經(jīng)過、兩點且與、都相切的圓，若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由.20.已知函數(shù)(R)的一個極值點為.方程的兩個實根為,函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的.(1)求的值和的取值范圍;(2)若,證明:.21.已知數(shù)列和滿足,且對任意N都有,.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)證明:.2010年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（二）數(shù)學（理科）試題參考答案及評分標準說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數(shù)．2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．3．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)．4．只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．題號12345678答案ACCCBBDD二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．9．110.11.乙12.13.18014．15.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16．（本小題滿分12分）(本小題主要考查兩角和與差的三角公式等知識,考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法和運算求解能力)（1）解法1：∵，∴.…2分∴.解得.…4分解法2：∵，∴…2分.…4分（2）解:…6分…8分…10分.…12分17.（本小題滿分12分）(本小題主要考查空間線面關系、空間角等知識,考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力)方法一:(1)解:在圖4中,∵∴,,.∵,∴△為等邊三角形.∴.…2分在圖5中,∵點為點在平面上的正投影,∴平面.∵平面,∴.∵,圖4∴.∵平面,平面,∴平面.（數(shù)學驛站）∴為直線與平面所成的角.…4分在Rt△中,,∴.∵,∴.∴直線與平面所成的角為.…6分(2)解:取的中點,連接,.∵,∴.∵平面,平面,∴.∵平面,平面,∴平面.∵平面,∴.∴為二面角的平面角.…8分在Rt△中,,∴,.在Rt△中,.在Rt△中，.∴二面角的大小的余弦值為.…12分方法二:解:在圖4中,∵∴,,.∵,∴△為等邊三角形.∴.…2分在圖5中,（數(shù)學驛站）∵點為點在平面上的射影,∴平面.∵平面,∴.∵,圖4∴.∵平面,平面,∴平面.…4分連接,在Rt△和Rt△中,,∴Rt△Rt△.∴.∴.∴.在Rt△中，.∴.在Rt△中，.…6分以點為原點,所在直線為軸,與平行的直線為軸,所在直線為軸,建立空間直角坐標系,則,,,,.∴,,,.(1)∵,∴.∴直線與平面所成的角為.…9分(2)設平面的法向量為n,由得令,得,.∴n為平面的一個法向量.∵為平面的一個法向量,∴.∵二面角的平面角為銳角,∴二面角的平面角的余弦值為.…12分18.（本小題滿分14分）(本小題主要考查古典概型、二項分布等知識,考查或然與必然的數(shù)學思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力和應用意識)(1)解:依題意設為常數(shù),由于,∴.…2分當時,,則,解得.∴.…4分當時,.∴該運動員第二次射擊命中飛碟的概率為.…6分解:設“該運動員第一次射擊命中飛碟”為事件，“該運動員第二次射擊命中飛碟”為事件，則“第一個飛碟被該運動員命中”為事件：.…7分∵，∴.∴第一個飛碟被該運動員命中的概率為.…10分解:設該運動員進行三個飛碟的射擊訓練時命中飛碟的個數(shù)為,則.∴至少命中兩個飛碟的概率為…12分C+C.…14分19.（本小題滿分14分）(本小題主要考查直線、圓、拋物線、曲線的切線等知識,考查數(shù)形結合、化歸與轉化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力)(1)解:設點、的坐標分別為、，∵、分別是拋物線在點、處的切線，∴直線的斜率，直線的斜率.∵,（數(shù)學驛站）∴,得.①…2分∵、是拋物線上的點,∴∴直線的方程為,直線的方程為.由解得∴點的縱坐標為.…4分(2)證法1：∵為拋物線的焦點，∴.∴直線的斜率為，直線的斜率為.∵…6分.∴.∴、、三點共線.…8分證法2：∵為拋物線的焦點，∴.∴，.∵,…6分∴.∴、、三點共線.…8分證法3：設線段的中點為,則的坐標為.拋物線的準線為.作,垂足分別為.∵由(1)知點的坐標為,∴.∴是直角梯形的中位線.∴.…6分根據(jù)拋物線的定義得:,∴.∵,為線段的中點,∴.∴,即.∴、、三點共線.…8分(3)解:不存在.證明如下：假設存在符合題意的圓，設該圓的圓心為，依題意得，且，由，得.∴四邊形是正方形.∴.…10分∵點的坐標為，∴,得.把點的坐標代入直線,得解得或,∴點的坐標為或.同理可求得點的坐標為或.由于、是拋物線上的不同兩點，不妨令,.∴,.…13分∴,這與矛盾.∴經(jīng)過、兩點且與、都相切的圓不存在.…14分20.（本小題滿分14分）(本小題主要考查函數(shù)和方程、函數(shù)導數(shù)、不等式等知識,考查函數(shù)與方程、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力和運算求解能力)(1)解:∵,∴.∵的一個極值點為,∴.∴.…2分∴,當時,;當時,;當時,;∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.∵方程的兩個實根為,即的兩根為,∴.∴,.…4分∵函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的,∴區(qū)間只能是區(qū)間,,之一的子區(qū)間.由于,故.若,則,與矛盾.∴.∴方程的兩根都在區(qū)間上.…6分令,的對稱軸為,則解得.∴實數(shù)的取值范圍為.…8分說明:6分至8分的得分點也可以用下面的方法.∵且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的,∴.由即…6分解得.∴實數(shù)的取值范圍為.…8分(2)證明:由(1)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,∴函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.∵,∴.…10分令,則,.設,則.∵,∴.∴.∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.…12分∴.∴.…14分21.（本小題滿分14分）(本小題主要考查導數(shù)及其應用、數(shù)列、不等式等知識,考查化歸與轉化、分類與整合的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識)(1)解:∵對任意N都有,,∴.∴,即.…2分∴數(shù)列是首項為,公差為1的等差數(shù)列.∵,且,∴.∴.…4分∴,.…6分(2)證明:∵,,∴.∴所證不等式,即.①先證右邊不等式:.令,則.當時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.∴當時,,即.…8分分別取.得.即.也即.即.…10分②再證左邊不等式:.令,則.當時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴當時,,即.…12分分別取.得.即.也即.即.∴.…14分2010年深圳市高三年級第二次調(diào)研考試數(shù)學（理科）參考答案及評分標準說明：1、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制訂相應的評分細則．2、對于計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．3、解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)．4、只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分數(shù)．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．題號12345678答案DBCAABCC二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．（一）必做題（9～13題）9．2．10．．11．．12．(填也算對)．13．．（二）選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）14．．15．．三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（本小題滿分12分）(本題考查向量的數(shù)量積、兩角和的正弦公式、三角形的面積公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等知識，考查化歸轉化的數(shù)學思想和運算求角能力)解：由已知可知.……………分（1）的最小正周期是.…………分由()，解得().所以的單調(diào)遞增區(qū)間是().…………分（2）∵，即，∴，∵是銳角三角形.∴，∴，∴，∴.…………分而，………分∴.…………分.(本小題滿分分)(本題主要考查頻率分布表、直方圖、分層抽樣、分布列、期望等統(tǒng)計概率知識，考查學生運用所學知識解決實際應用問題的能力)202530354045年齡歲202530354045年齡歲解：（1）①處填20，②處填0.35；507個畫師中年齡在的人數(shù)為人……………3分補全頻率分布直方圖如圖所示.…………6分（2）用分層抽樣的方法，從中選取20人,則其中“年齡低于30歲”的有5人，“年齡不低于30歲”的有15人。……7分故ξ的可能取值為0，1，2；…10分所以ξ的分布列為ξ012P…………11分所以：…………12分.(本小題滿分分)(本題考查空間的線面關系、二面角、空間向量及坐標運算、圓柱的側面積、余弦定理等知識，考查數(shù)形結合、化歸轉化的數(shù)學思想和方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力)解:（1）(解法一)：由題意可知，解得，…………分在中，，…………分∴，又∵是的中點，∴.①…………分∵為圓的直徑，∴.由已知知，∴，∴.…………分yzxOQDyzxOQDBCAGP．∴由①②可知：，∴.…………分（2）由（1）知：，∴，，∴是二面角的平面角.…………分,,.∴..………分(解法二)：建立如圖所示的直角坐標系，由題意可知.解得.則，，，，∵是的中點，∴可求得.…………分（1），，∴.∵，∴.…………分（2）由（1）知,，，，.∵，.∴是平面的法向量.…………分設是平面的法向量，由，，解得…………分.所以二面角的平面角的余弦值.…………分19．（本小題滿分14分）(考查函數(shù)和方程、函數(shù)與導數(shù)、不等式的求解等知識，考查化歸與轉化、分類與整合、函數(shù)與方程的數(shù)學思想和方法、推理論證能力和運算求解能力)解:（1）∵，∵在上是減函數(shù)，∴在恒成立.…………分又∵當時，，∴不等式在時恒成立，即在時恒成立，…………分設，，則，∴.…………分（2）∵，令，解得:,,由于，∴，，∴,，…………分①當即時,在上；在上，∴當時，函數(shù)在上取最小值.……分②當即時,在上，∴當時，函數(shù)在上取最小值.由①②可知，當時,函數(shù)在時取最小值;當時,函數(shù)在時取最小值.…………分20．（本小題滿分14分）(考查橢圓、拋物線、直線、定積分等知識，考查數(shù)形結合、化歸轉化等數(shù)學思想、以及推理論證能力和運算求解能力)解：（1）設橢圓的方程為，半焦距為.由已知條件，得，∴解得.所以橢圓的方程為：.