選修4-5-不等式選講

選修4-5不等式選講依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，本專題介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學(xué)歸納法和它的簡潔應(yīng)用。本專題的內(nèi)容是在初中階段駕馭了不等式的基本概念，學(xué)會了一元一次不等式、一元一次不等式組的解法，多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)必修課五個模塊的基礎(chǔ)上綻開的．作為一個選修專題，教科書在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對的完整性．本專題應(yīng)當(dāng)強調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學(xué)生對這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維實力和分析解決問題的實力多從數(shù)的運算的角度引出問題降低難度限制范圍一、教學(xué)目標(biāo)

依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，通過本專題的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)達到以下的教學(xué)目標(biāo)：1．回顧和復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)和基本不等式。2．理解確定值的幾何意義，并能利用確定值不等式的幾何意義證明以下不等式：（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；（3）會利用確定值的幾何意義求解以下類型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。3．相識柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。（1）證明柯西不等式的向量形式|α||β|≥|α·β|。（2）證明：（a2+b2）(c2+d2)≥(ac+bd)2。（3）證明：二維形式的三角形不等式。4．用參數(shù)配方法探討柯西不等式的一般狀況.5．用向量遞歸方法探討排序不等式。6．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其運用范圍，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡潔問題。7．會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：(1＋x)n＞1＋nx（x＞-1,n為正整數(shù)）。了解當(dāng)n為實數(shù)時貝努利不等式也成立。8．會用上述不等式證明一些簡潔問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。9．通過一些簡潔問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。本專題內(nèi)容分成四講，結(jié)構(gòu)如下圖所示：二、內(nèi)容支配

本專題教學(xué)約需18課時，具體安排如下第一講不等式和確定值不等式5課時一、不等式(約３課時)二、確定值不等式(約２課時)其次講證明不等式的基本方法4一、比較法(約1課時)二、綜合法與分析法(約2課時)三、反證法與放縮法(約1課時)第三講柯西不等式與排序不等式4一、二維形式的柯西不等式(約1課時)二、一般形式的柯西不等式(約1課時)三、排序不等式(約2課時)第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4一、數(shù)學(xué)歸納法(約2課時)二、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(約2課時)學(xué)習(xí)總結(jié)報告(約1課時)第一講是“不等式和確定值不等式”，它是本專題的最基本內(nèi)容，也是其余三講的基礎(chǔ)本講的第一部分類比等式的基本性質(zhì)，先探討不等式的基本性質(zhì)，這是關(guān)于不等式在運算方面的一些最基本法則．接著探討基本不等式，介紹了基本不等式的一個幾何說明：“直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高”，并把基本不等式推廣到三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式．對于一般形式的均值不等式，則只作簡潔介紹，不給出證明．在此基礎(chǔ)上，介紹了它們在解決實際問題中的一些應(yīng)用，如簡潔的極值問題等。案例：強調(diào)如何提出不等式的基本性質(zhì)P2-3數(shù)軸、與0比較（標(biāo)桿）從數(shù)的運算角度幾何角度“不等式性質(zhì)”教學(xué)中的提問等式有“等式兩邊同加（減）一個數(shù)，等式仍舊成立”“等式兩邊同乘（除）一個數(shù)，等式仍舊成立”等基本性質(zhì)，類似的，不等式有哪些基本性質(zhì)呢？類比不等式基本性質(zhì)的得出過程，你認(rèn)為可以怎樣提出關(guān)于確定值不等式性質(zhì)的猜想？其次部分探討了有關(guān)確定值不等式的性質(zhì)及確定值不等式的解法．確定值是與實數(shù)有關(guān)的一個基本而重要的概念，探討關(guān)于確定值的不等式具有重要的意義．確定值三角不等式是一個基本的結(jié)論，教科書首先引導(dǎo)學(xué)生借助于實數(shù)在數(shù)軸上的表示和確定值的幾何意義，探究歸納出確定值三角不等式，接著聯(lián)系向量形式的三角不等式，得到確定值三角不等式的幾何說明，最終用代數(shù)方法給出證明．這樣，數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生多角度相識這個不等式，逐步深化對它的理解．利用確定值三角不等式可以解決一種特殊形式的函數(shù)的極值問題，教科書支配了一個這樣的實際問題。對于解含有確定值的不等式，教科書只探討了兩種特殊類型不等式的解法，而不是系統(tǒng)地對這個問題進行探討。學(xué)生通過這兩類含有確定值的不等式能夠基本學(xué)到解含有確定值的不等式的一般思想和方法。案例：P16∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a其次講是“證明不等式的基本方法”．對于不等式的深化探討必需首先駕馭一些基本的方法，所以本講內(nèi)容也是本專題的一個基礎(chǔ)內(nèi)容。本講通過一些比較簡潔的問題，介紹了證明不等式的幾種常用而基本的方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法．本講的教學(xué)內(nèi)容中，用放縮法證明不等式是新的課程標(biāo)準(zhǔn)才引入到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的內(nèi)容，確定要限制難度。第三講是“柯西不等式和排序不等式”本講介紹兩個基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它們的簡潔應(yīng)用．柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他很多不等式的基礎(chǔ)，有著廣泛的應(yīng)用．教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來相識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應(yīng)用。排序不等式也是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡捷的證明。教科書在探討排序不等式時，展示了一個“探究——猜想——證明——應(yīng)用”的探討過程，目的是引導(dǎo)學(xué)生通過自己的數(shù)學(xué)活動，初步相識排序不等式的數(shù)學(xué)意義、證明方法和簡潔應(yīng)用?？挛鞑坏仁?、三角不等式和排序不等式也是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)正式引入到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的。第四講是“數(shù)學(xué)歸納法證明不等式”．本講介紹了數(shù)學(xué)歸納法及其在證明不等式中的應(yīng)用．對于某些不等式，必需借助于數(shù)學(xué)歸納法證明，所以在不等式選講的專題中支配這個內(nèi)容是很有必要的。教科書首先結(jié)合具體例子，提出找尋一種用有限步驟處理無限多個對象的方法的問題．然后，類比多米諾骨牌游戲，引入用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的方法，并分析了數(shù)學(xué)歸納法的基本結(jié)構(gòu)和用它證明命題時應(yīng)留意的問題（兩個步驟缺一不行）．接著舉例說明數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式中的應(yīng)用，特殊地，證明白貝努利不等式。案例：P46本專題的教學(xué)難點：三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式及其應(yīng)用、確定值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式；三、編寫中考慮的幾個問題依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，本專題應(yīng)當(dāng)強調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學(xué)生對這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維實力和分析解決問題的實力，我們在教科書的編寫中努力去實現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的思想。歸納起來，教科書有以下特點：(一)重視呈現(xiàn)不等式的幾何背景，力求讓學(xué)生對重要不等式有直觀理解

數(shù)量關(guān)系和空間形式是數(shù)學(xué)探討的兩個重要方面，不等式則是從數(shù)量關(guān)系的角度來刻畫現(xiàn)實世界的。我們一般借助于代數(shù)方法證明不等式。代數(shù)證明要經(jīng)過一系列的變形，人們常常不能很干脆地看出其中的數(shù)量關(guān)系。而借助于幾何的方法，把不等式中的有關(guān)量適當(dāng)?shù)赜脠D形中的幾何量表示出來，則往往能很好地指明不等關(guān)系，使學(xué)生從幾何背景的角度，直觀地，從而也是干脆地理解不等式。本專題中的重要不等式都有明顯的幾何背景，教科書留意呈現(xiàn)不等式的幾何背景，幫助學(xué)生理解不等式的幾何本質(zhì)。如借助于面積關(guān)系揭示一些重要不等式，確定值三角不等式是借助于向量和三角形中的邊長關(guān)系，柯西不等式是借助于向量運算，排序不等式是借助于三角形的面積。這樣，漸漸引導(dǎo)學(xué)生在面對一個數(shù)學(xué)問題時能從幾何角度去思索問題，找到解決問題的途徑。(二)重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

數(shù)學(xué)思想是對于數(shù)學(xué)學(xué)問（數(shù)學(xué)中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本質(zhì)的、高度抽象和概括的相識，帶有普遍的指導(dǎo)意義，蘊涵于運用數(shù)學(xué)方法分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的過程之中。數(shù)學(xué)方法是探討或解決數(shù)學(xué)問題并使之達到目的的手段、方式、途徑或程序。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深對于具體數(shù)學(xué)學(xué)問的理解和駕馭。本專題的內(nèi)容包涵了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如應(yīng)用重要不等式解決實際問題中體現(xiàn)出來的優(yōu)化思想，在重要不等式的呈現(xiàn)過程中的數(shù)形結(jié)合思想，在解不等式中體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化的思想，函數(shù)思想，以及證明不等式的比較法、綜合法與分析法、放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法，在證明柯西不等式中的配方法等，對于這些數(shù)學(xué)思想和方法，教科書都剛好作歸納和總結(jié)，使學(xué)生能夠結(jié)合具體的問題加以理解和體會。(三)重視引導(dǎo)學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式的改進

在目前的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐仍存在一些問題，就學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，比較突出的就是被動的接受式的學(xué)習(xí)，老師則偏重于灌輸式的教學(xué)，啟發(fā)式的教學(xué)原則做得不夠。學(xué)生的問題意識不強，不能發(fā)覺新狀況新情景中的新問題，從而不能很好地解決問題。針對這種狀況，教科書重視引導(dǎo)學(xué)生提出問題，教科書設(shè)置了很多探究欄目，激勵學(xué)生主動探究，引導(dǎo)學(xué)生對于問題作左右類比，對于數(shù)學(xué)結(jié)論進行特殊化、作推廣。例如，在講解并描述了基本不等式以后，教科書就提出了一個思索問題：“對于三個正數(shù)會有怎樣的的不等式成立呢？”在證明白關(guān)于三個正數(shù)的均值不等式以后，又干脆給出了一般的均值不等式；在證明白二維和三維的柯西不等式以后，就設(shè)置了一個探究性問題“對比二維形式和三維形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式嗎？”；再如“一般形式的三角不等式應(yīng)當(dāng)是怎樣的？如何應(yīng)用一般形式的柯西不等式證明它？請同學(xué)自己探究?！钡鹊?，這樣的探究性問題在教科書中到處可見。(四)留意發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識

重要不等式在很多實際問題中可以得到應(yīng)用，在實際工作中常常能起到節(jié)約能源，降低成本，提高效率，加快速度等作用。在本專題中，教科書留意體現(xiàn)數(shù)學(xué)在實際工作中的廣泛應(yīng)用，編寫了一些體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的例、習(xí)題。如經(jīng)典的等周問題、盒子體積問題、施工隊臨時生活區(qū)選點問題、關(guān)于面積和體積的最值問題。通過這些簡潔的應(yīng)用問題，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)在實踐中的作用。四、對教學(xué)的幾個建議(一)留意把握教學(xué)要求無論是不等式還是數(shù)學(xué)歸納法，都已經(jīng)發(fā)展成為內(nèi)容特別豐富的初等數(shù)學(xué)分支，也出版了一些特地的論著，老師們對于這些內(nèi)容一般都有豐富的教學(xué)閱歷，很簡潔把這些內(nèi)容作一些拓展和補充。所以，在這個專題的教學(xué)中，要特殊留意把握好教學(xué)要求，不要隨意提高教學(xué)要求，而應(yīng)當(dāng)依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求來限制教學(xué)的深廣度。課程標(biāo)準(zhǔn)對于本專題的幾個教學(xué)內(nèi)容都明確的教學(xué)要求，如：對于解含有確定值的不等式，只要求能解幾種特殊類型的不等式，不要求學(xué)生會解各種類型的含有確定值的不等式。對于數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的要求也只要求會證明一些簡潔問題。只要求通過一些簡潔問題了解證明不等式的基本方法，會利用所學(xué)的不等式證明一些簡潔不等式，等等。另外，在不等式和數(shù)學(xué)歸納法的很多問題中，常常須要一些技巧性比較強的恒等變形，在本專題的教學(xué)中則要限制這方面的教學(xué)要求，不要使教學(xué)陷于過于形式化和困難的恒等變形的技巧之中，教學(xué)中不要補充一些代數(shù)恒等變形過于困難或過于技巧化的問題和習(xí)題，以免沖淡對于基本思想方法的理解，也不要引入一些過于專業(yè)和形式化、抽象化的數(shù)學(xué)符號語言，對于數(shù)學(xué)歸納法的理解，不必要求學(xué)生對于方法的理解水平提高到專業(yè)數(shù)學(xué)工作者才須要的數(shù)