自動控制原理第二章數(shù)學(xué)模型

自動控制原理第二章數(shù)學(xué)模型1第一頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§

2-2系統(tǒng)微分方程的建立§2-3非線性微分方程的線性化§

2-4傳遞函數(shù)(TransferFunction)§

2-7系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖§

2-6典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)§

2-8信號流圖和梅遜公式基本要求§

2-1引言第二頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 基本要求1.了解建立系統(tǒng)動態(tài)微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏變換的基本法則及典型函數(shù)的拉氏變換形式。3.掌握用拉氏變換求解微分方程的方法。4.掌握傳遞函數(shù)的概念及性質(zhì)。5.掌握典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)形式。返回子目錄第三頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型6.掌握由系統(tǒng)微分方程組建立動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的方法。7.掌握用動態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換求傳遞函數(shù)和用梅森公式求傳遞函數(shù)的方法。8.掌握系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)，對參考輸入和對干擾的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)及誤差傳遞函數(shù)的概念。返回子目錄第四頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型返回子目錄分析和設(shè)計任何一個控制系統(tǒng)，首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各中間變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。建立數(shù)學(xué)模型的方法分為解析法和實驗法§2.1引言§2.1.1系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建模原則第五頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日§2.1引言返回子目錄解析法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并實驗驗證。實驗法：對系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號（階躍信號、單位脈沖信號、正弦信號等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。解析方法適用于簡單、典型、常見的系統(tǒng)，而實驗方法適用于復(fù)雜、非常見的系統(tǒng)。實際上常常是把這兩種方法結(jié)合起來建立數(shù)學(xué)模型更為有效。第六頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日§2.1引言返回子目錄§2.1.2系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的特點（1）相似性 任何類型的系統(tǒng)都可具有相同的數(shù)學(xué)模型。（2）簡化性和準(zhǔn)確性 同一物理系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型不是唯一的。由于精度和應(yīng)用條件的不同，可以用不同復(fù)雜程度的數(shù)學(xué)模型來表達(dá)。（3）動態(tài)模型 描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。（4）靜態(tài)模型 在靜態(tài)條件下，描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。第七頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日§2.1引言返回子目錄§2.1.3數(shù)學(xué)模型的類型時域中，有微分方程、差分方程和狀態(tài)方程復(fù)數(shù)域中，有傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖；各類數(shù)學(xué)模型都有一套相應(yīng)的分析方法，各有所長。微分方程是基礎(chǔ)，其他模型都是從微分方程導(dǎo)出的。但求解高階微分方程比較復(fù)雜。頻域中，有頻率特性。第八頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日基本步驟：分析各元件的工作原理，明確輸入、輸出量和中間變量。做出合乎實際的假設(shè)，簡化問題。列出各部分原始方程，建立輸入、輸出量的動態(tài)聯(lián)系。消去中間變量。標(biāo)準(zhǔn)化微分方程。返回子目錄§2.2系統(tǒng)微分方程的建立§2.2.1列寫微分方程的一般步驟第九頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄§2.2.2機械系統(tǒng)舉例例2.1設(shè)有一彈簧質(zhì)量阻尼動力系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)將產(chǎn)生運動，試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移y(t)之間的動態(tài)方程。其中彈簧的彈性系數(shù)為k，阻尼器的阻尼系數(shù)為f，質(zhì)量塊的質(zhì)量為m?！?.2系統(tǒng)微分方程的建立第十頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日化簡可得：解：分析質(zhì)量塊m受力，有外力F,彈簧恢復(fù)力阻尼力由牛頓第二定律有第十一頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日式中：y——m的位移（m）；

f——阻尼系數(shù)（N·s/m);

K——彈簧剛度（N/m)。將式(2-1)的微分方程標(biāo)準(zhǔn)化第十二頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日T稱為時間常數(shù)，為阻尼比。顯然，上式描述了m－K－f系統(tǒng)的動態(tài)關(guān)系，它是一個二階線性定常微分方程。令，即，則式可寫成第十三頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄§2.2.3電路系統(tǒng)舉例例2.2列寫如圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程。RCuruci§2.2系統(tǒng)微分方程的建立第十四頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日解：由基爾霍夫定律得:式中:i為流經(jīng)電阻R和電容C的電流,消去中間變量i,可得:令（時間常數(shù)），則微分方程為：第十五頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄§2.2.3電路系統(tǒng)舉例例2.3列寫如圖所示RLC網(wǎng)絡(luò)的微分方程?！?.2系統(tǒng)微分方程的建立第十六頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日§2.2.4電樞控制直流電動機舉例§2.2系統(tǒng)微分方程的建立電磁力矩：

—安培定律電樞反電勢：

—楞次定律電樞回路：

—基爾霍夫力矩平衡：

—牛頓定律例2.4求如圖所示電樞控制直流電動機的微分方程。要求取電樞電壓ua(t)(V)為輸入量，電動機轉(zhuǎn)速wm(t)(rad/s)為輸出量，列寫微分方程。圖中Ra(Ω)、La(H)分別是電樞電路的電阻和電感，Mc(N·M)是折合到電動機軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)距。激磁磁通為常值。第十七頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄電機時間常數(shù)電機傳遞系數(shù)消去中間變量ia,Mm

,Ea可得：其中(V/rad/s)為反電勢系數(shù)，(N?rad/s)為電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)。在工程應(yīng)用中，由于電樞電感La很小，通常忽略不計。則：第十八頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄§2.2.5實際物理系統(tǒng)線性微分方程的一般特征§2.2系統(tǒng)微分方程的建立線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式（1）方程的系數(shù) 、 為實常數(shù)。（2）方程左端導(dǎo)數(shù)階次高于方程右端。這是由于系統(tǒng)中含有質(zhì)量、慣性或滯后的儲能元件。（n大于等于m）。（3）方程兩端各項的量綱是一致的。相似系統(tǒng)——任何系統(tǒng)，只要他們的微分方程具有相同的形式 就是相似系統(tǒng)。在微分方程中占據(jù)相同位置的物 理量叫做相似量。第十九頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄§2.3非線性微分方程的線性化在實際工程中，構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度的非線性，如下圖所示。第二十頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日于是，建立的動態(tài)方程就是非線性微分方程，對其求解有諸多困難，因此，對非線性問題做線性化處理確有必要。(1)對弱非線性的線性化如上圖（a），當(dāng)輸入信號很小時，忽略非線性影響，近似為放大特性。對（b）和（c），當(dāng)死區(qū)或間隙很小時（相對于輸入信號）同樣忽略其影響，也近似為線性放大特性，如圖中虛線所示。(2)平衡位置附近的小偏差線性化輸入和輸出關(guān)系具有如下圖所示的非線性特性。§2.3非線性微分方程的線性化第二十一頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日在平衡點A（x0，y0）處，當(dāng)系統(tǒng)受到干擾，y只在A附近變化，則可對A處的輸出—輸入關(guān)系函數(shù)按泰勒級數(shù)展開，由數(shù)學(xué)關(guān)系可知，當(dāng)很小時，可用A處的切線方程代替曲線方程（非線性），即小偏差線性化。§2.3非線性微分方程的線性化第二十二頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日可得，簡記為y=kx若非線性函數(shù)由兩個自變量，如z＝f（x,y），則在平衡點處可展成（忽略高次項）經(jīng)過上述線性化后，就把非線性關(guān)系變成了線性關(guān)系，從而使問題大大簡化。但對于如圖（d）所示為強非線性，只能采用第七章的非線性理論來分析對于線性系統(tǒng)，可采用疊加原理來分析系統(tǒng)?！?.3非線性微分方程的線性化第二十三頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日疊加原理疊加原理含有兩重含義，即可疊加性和均勻性（或叫齊次性）。例:設(shè)線性微分方程式為若時，方程有解，而時，方程有解，分別代入上式且將兩式相加，則顯然有，當(dāng)＋時，必存在解為，即為可疊加性?！?.3非線性微分方程的線性化第二十四頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日

上述結(jié)果表明，兩個外作用同時加于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)等于各個外作用單獨作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)之和，而且外作用增強若干倍，系統(tǒng)響應(yīng)也增強若干倍，這就是疊加原理。若時，為實數(shù)，則方程解為，這就是齊次性。§2.3非線性微分方程的線性化第二十五頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄§2.4.1線性常系數(shù)微分方程的求解第二十六頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日§2.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）一、Laplace變換

1、Laplace變換變換是數(shù)學(xué)上經(jīng)常運用的一種技術(shù)手段。如：初等數(shù)學(xué)中的對數(shù)求解方法設(shè)：令：求得：反對數(shù)：第二十七頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日一、Laplace變換Laplace變換是一種函數(shù)變換拉普拉斯變換的定義：設(shè)函數(shù)若滿足：（1）當(dāng)時，（2）當(dāng)時，實函數(shù)的積分在s的某一域內(nèi)收斂，則定義的拉普拉斯變換為并記作，其中算子s是一復(fù)數(shù).第二十八頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日一、Laplace變換稱為的像函數(shù)；稱為的原函數(shù).2.Laplace反變換記為：第二十九頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日一、Laplace變換2.常用函數(shù)的拉氏變換式A）階躍函數(shù)

反變換：B）指數(shù)函數(shù)反變換：

第三十頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日一、Laplace變換C）正弦函數(shù)和余弦函數(shù)根據(jù)尢拉公式可將正弦化成指數(shù)函數(shù)形式，即第三十一頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日一、Laplace變換D）t的冪函數(shù)當(dāng)n=1時，其它見p441附表

第三十二頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日一、Laplace變換3.Laplace變換的主要運算定理A)疊加定理兩個函數(shù)之和的拉氏變換等于兩個函數(shù)的拉氏變換式之和.即若則或?qū)懗傻谌摚惨话倭屙摚?022年，8月28日一、Laplace變換B)比例定理若則C)微分定理若則一般情況下：初始條件=0時第三十四頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日一、Laplace變換D）延遲定理若，則該定理說明如果時域函數(shù)平移，則相當(dāng)于復(fù)域中的像函數(shù)乘以。第三十五頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日一、Laplace變換E）終值定理若函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，則的終值為因此，利用終值定理可以從像函數(shù)直接求出原函數(shù)在時的穩(wěn)態(tài)值。說明的穩(wěn)態(tài)性質(zhì)同的臨域內(nèi)的性質(zhì)一樣。第三十六頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日一、Laplace變換F）初值定理若函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，則的初值為證明從略。第三十七頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）試湊法系數(shù)比較法留數(shù)法例2.5已知，求解.二、Laplace反變換第三十八頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日二、Laplace反變換a.F(s)有不相同的極點式中，是常值，為極點處的留數(shù)。值可用乘方程式（1）的兩邊，并令來求出，即注意到

第三十九頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日二、Laplace反變換于是得到的如下形式第四十頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日二、Laplace反變換例1：求的拉氏反變換。解：求于是第四十一頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日二、Laplace反變換b.F(s)含有共軛復(fù)極點例2解：第四十二頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄二、Laplace反變換例3已知，求解一.解二：第四十三頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄二、Laplace反變換例4已知，求解.第四十四頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄§2.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）拉氏變換回顧1拉氏變換的定義

（2）單位階躍2常見函數(shù)L變換（5）指數(shù)函數(shù)（1）單位脈沖（3）單位斜坡（4）單位加速度（6）正弦函數(shù)（7）余弦函數(shù)第四十五頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄§2.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）拉氏變換回顧（2）微分定理3L變換重要定理（5）復(fù)位移定理（1）線性性質(zhì)（3）積分定理（4）實位移定理（6）初值定理（7）終值定理第四十六頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄§2.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）例2.8R-C電路計算第四十七頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄§2.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）傳遞函數(shù)的概念與定義

線性定常系統(tǒng)在輸入、輸出初始條件均為零

的條件下，輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。§2.4.2傳遞函數(shù)的定義和實際物理意義第四十八頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日這里，“初始條件為零”有兩方面含義：一指輸入作用是t＝0后才加于系統(tǒng)的，因此輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)，在t=時的值為零。二指輸入信號作用于系統(tǒng)之前系統(tǒng)是靜止的，即t=時，系統(tǒng)的輸出量及各階導(dǎo)數(shù)為零。許多情況下傳遞函數(shù)是能完全反映系統(tǒng)的動態(tài)性能的?！?.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）第四十九頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日一、傳遞函數(shù)的概念與定義G(s)Ur(s)Uc(s))s(U)s(U)s(Grc=§2.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）第五十頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日線性定常微分方程一般形式：拉氏變換(零初始條件下)：傳遞函數(shù)：⑴首1標(biāo)準(zhǔn)型：⑵尾1標(biāo)準(zhǔn)型：

零極點標(biāo)準(zhǔn)型時間常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)型傳遞系數(shù)或根軌跡增益?zhèn)鬟f系數(shù)或靜態(tài)增益§2.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）第五十一頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日傳遞函數(shù)是關(guān)于復(fù)變量s的有理真分式，它的分子，分母的階次滿足：。二、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明1、傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)，否則無法用拉氏變換導(dǎo)出；2、傳遞函數(shù)完全取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而與輸入、輸出無關(guān)；3、傳遞函數(shù)只表明一個特定的輸入、輸出關(guān)系，對于多輸入、多輸出系統(tǒng)來說沒有統(tǒng)一的傳遞函數(shù)；（可定義傳遞函數(shù)矩陣）§2.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）第五十二頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日傳遞函數(shù)的拉氏反變換為該系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，因為當(dāng)時，，所以，一定的傳遞函數(shù)有一定的零、極點分布圖與之對應(yīng)。這將在第四章根軌跡中詳述。傳遞函數(shù)是在零初始條件下建立的，因此，它只是系統(tǒng)的零狀態(tài)模型，有一定的局限性，但它有現(xiàn)實意義，而且容易實現(xiàn)?！?.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）第五十三頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日三、傳遞函數(shù)舉例說明例1.

如圖所示的RLC無源網(wǎng)絡(luò)，圖中電感為L（亨利），電阻為R（歐姆），電容為C（法），試求輸入電壓ui(t)與輸出電壓uo(t)之間的傳遞函數(shù)?！?.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）第五十四頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日解：為了改善系統(tǒng)的性能，常引入圖示的無源網(wǎng)絡(luò)作為校正元件。無源網(wǎng)絡(luò)通常由電阻、電容、電感組成，利用電路理論可方便地求出其動態(tài)方程，對其進(jìn)行拉氏變換即可求出傳遞函數(shù)。這里用直接求的方法。因為電阻、電容、電感的復(fù)阻抗分別為R、1∕Cs、Ls，它們的串并聯(lián)運算關(guān)系類同電阻。則傳遞函數(shù)為§2.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）第五十五頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日四、零極點和傳遞系數(shù)對系統(tǒng)性能的影響一個控制系統(tǒng)的性能是否滿足要求，要通過其解的特征來評價。傳遞函數(shù)是一個函數(shù)，可以利用解的對應(yīng)關(guān)系，在s域進(jìn)行評價系統(tǒng)的性能。當(dāng)傳遞函數(shù)是有理函數(shù)時，其全部信息又都集中表現(xiàn)為它的極點、零點及傳遞系數(shù)。零極點不僅唯一確定傳遞函數(shù)的形式，而且對系統(tǒng)的三大性能指標(biāo)均有決定作用。例設(shè)某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有三個極點：一個零點傳遞系數(shù) 則傳遞函數(shù)即可完全確定：§2.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）第五十六頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日1.極點決定系統(tǒng)的固有運動屬性

傳遞函數(shù)的極點就是微分方程的特征根，是系統(tǒng)的固有參數(shù)。它們決定了方程解的結(jié)構(gòu)中暫態(tài)分量的組成成分。（1）強迫運動（零狀態(tài)響應(yīng)）上例中，令輸入為： 可得輸出為：C(t)的第一項與輸入r(t)的模態(tài)相同，后三項是由傳函的極點所決定的固有運動模態(tài)。其運動形式不隨激勵信號變化，只要有任何輸入量一激發(fā)，就會自動地產(chǎn)生出來，其模式是一種自由運動?！?.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）第五十七頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日（2）自由運動（零輸入響應(yīng)）傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而不能求解非零初始條件下的運動方程。所以需要先轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的微分方程形式，再用拉氏變換法代入初始條件，求齊次微分方程的解。其相應(yīng)的微分方程為：自由運動C(t)的三項是完全由傳遞函數(shù)的極點所決定的，與強迫運動中由傳函三個極點決定的三項模態(tài)完全一致。因而，系統(tǒng)的自由模態(tài)是系統(tǒng)的固有運動模態(tài)。無論是初始條件還是輸入信號，都可激發(fā)出來。§2.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）第五十八頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日如果微分方程特征根沒有重根，則把函數(shù)：定義為該微分方程所描述的運動的模態(tài)。如 中有共軛復(fù)數(shù) ，則其相應(yīng)的復(fù)模態(tài)可寫成實函數(shù) 。若特征根有多重根，則模態(tài)具有 等形式。2.極點位置決定模態(tài)的斂散性（即穩(wěn)定性和快速性）當(dāng)極點有負(fù)實部或為負(fù)實數(shù)時，所對應(yīng)的模態(tài)一定是收斂的。隨著t，模態(tài)函數(shù)趨于零。當(dāng)所有極點都在復(fù)平面的左半平面，則t時，系統(tǒng)響應(yīng)的暫態(tài)響應(yīng)分量趨于零，只有與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)項（靜態(tài)項），系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)極點距虛軸越遠(yuǎn)，相應(yīng)的模態(tài)收斂越快?！?.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）第五十九頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日3、零點決定運動模態(tài)的權(quán)重傳遞函數(shù)的零點并不形成自由運動的模態(tài)，但它影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占的權(quán)重。設(shè)某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 有兩個極點： 一個零點其單位階躍響應(yīng)為：若將零點調(diào)至 則:§2.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）第六十頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日單位階躍響應(yīng)變?yōu)椋?、傳遞系數(shù)決定了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)傳遞性能§2.4傳遞函數(shù)（TransferFunction）第六十一頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄§2.6典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)一個傳遞函數(shù)可以分解為若干個基本因子的乘積，每個基本因子就稱為典型環(huán)節(jié)。常見的幾種形式有：比例環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為：積分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為第六十二頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄§2.6典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為慣性環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為一階微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為式中：，T為時間常數(shù)。第六十三頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄§2.6典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)二階振蕩環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為式中：T為時間常數(shù)，為阻尼系數(shù)。二階微分環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為式中：為時間常數(shù)，為阻尼系數(shù)此外，還經(jīng)常遇到一種延遲環(huán)節(jié)，設(shè)延遲時間為，該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：第六十四頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日任何復(fù)雜的系統(tǒng)，都可看作上述典型環(huán)節(jié)的組合。當(dāng)建立系統(tǒng)傳遞函數(shù)的概念后，方框圖就可以和傳遞函數(shù)結(jié)合起來，產(chǎn)生了描述系統(tǒng)動態(tài)性能及數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。動態(tài)結(jié)構(gòu)圖是一種數(shù)學(xué)模型，采用它將更便于求傳遞函數(shù)，同時能形象直觀地表明輸入信號在系統(tǒng)或元件中的傳遞過程。返回子目錄§2.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖第六十五頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄§2.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖§2.7.1結(jié)構(gòu)圖的定義和基本組成一、結(jié)構(gòu)圖的定義由具有一定函數(shù)關(guān)系的環(huán)節(jié)組成的，并標(biāo)明信號流向的系統(tǒng)的方框圖，成為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。二、結(jié)構(gòu)圖的組成信號傳遞線（信號線）、方框（傳遞方框）、相加點（綜合點）和分支點（引出點）第六十六頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日返回子目錄信號傳遞線（信號線）

表示信號輸入、輸出的通道。箭頭代表信號傳遞的方向。2.方框G(s)方框的兩側(cè)為輸入信號線和輸出信號線，方框內(nèi)寫入該輸入、輸出之間的傳遞函數(shù)G(s)?！?.7.1結(jié)構(gòu)圖的定義和基本組成第六十七頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日3.相加點（綜合點）相加點亦稱綜合點，表示幾個信號相加、減，叉圈符號的輸出量即為諸信號的代數(shù)和，負(fù)信號需在信號線的箭頭附近標(biāo)以負(fù)號。＋省略時也表示＋＋4.引出點表示同一信號傳輸?shù)綆讉€地方。§2.7.1結(jié)構(gòu)圖的定義和基本組成第六十八頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日1.串聯(lián)連接G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框與方框通過信號線相連，前一個方框的輸出作為后一個方框的輸入，這種形式的連接稱為串聯(lián)連接。§2.7.2動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式一、三種連接形式第六十九頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日G1(s)G2(s)X(s)－＋Y(s)兩個或兩個以上的方框，具有同一個輸入信號，并以各方框輸出信號的代數(shù)和作為輸出信號，這種形式的連接稱為并聯(lián)連接。2.并聯(lián)連接第七十頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日一個方框的輸出信號輸入到另一個方框后，得到的輸出再返回到這個方框的輸入端，構(gòu)成輸入信號的一部分。這種連接形式稱為反饋連接。G(s)R(s)－C(s)H(s)3.反饋連接第七十一頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日二、典型反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù)輸入：控制輸入擾動輸入輸出：由控制作用產(chǎn)生的輸出由擾動作用產(chǎn)生的輸出返回子目錄第七十二頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日1、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)不含極性閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：它是當(dāng)主反饋回路斷開時反饋信號B(s)與輸入信號之間的傳遞函數(shù)。第七十三頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日2、系統(tǒng)在r(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令n(t)＝0第七十四頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日注：該系統(tǒng)為負(fù)反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)傳函中分母為1+開環(huán)傳遞函數(shù)，反之，若主反饋為正反饋時，則系統(tǒng)傳函為1－開環(huán)傳函第七十五頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日3、系統(tǒng)在n(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令r(t)＝0第七十六頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日4、系統(tǒng)總輸出線性系統(tǒng)滿足疊加原理。系統(tǒng)總輸出的拉氏變換式為：第七十七頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日5、閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)按上圖規(guī)定誤差為：e(t)=r(t)-b(t)E(s)=R(s)-B(s)第七十八頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日(1).r(t)作用下的系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)

此時令n(t)=0，則結(jié)構(gòu)圖如下所示第七十九頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日此時令r(t)=0，則結(jié)構(gòu)圖如下所示（2）n(t)作用下的系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)第八十頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日（3）系統(tǒng)總誤差第八十一頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日6、閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式無論是系統(tǒng)傳遞函數(shù)還是誤差傳遞函數(shù)，它們都有一個共同的特點，擁有相同的分母，這就是閉環(huán)系統(tǒng)的本質(zhì)特征，我們將閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項式稱為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式。它與輸入無關(guān)，僅與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)。第八十二頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日三、系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)成構(gòu)成原則：

按照動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接形式，構(gòu)成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)，連接成系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。第八十三頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日以機電隨動系統(tǒng)為例，如下圖所示舉例說明系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)成第八十四頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日其微分方程組的拉氏變換如下：第八十五頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(1)第八十六頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(2)第八十七頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(3)第八十八頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(4)第八十九頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(5)第九十頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(6))(smqsfJs+21mC)(sMm)(sMm)(smqsfJs+21第九十一頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(7))(smqsfJs+21mC)(sMm第九十二頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(8))(smqsfJs+21mC)(sMm第九十三頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日思路：

在保證總體動態(tài)關(guān)系不變的條件下，設(shè)法將原結(jié)構(gòu)逐步地進(jìn)行歸并和簡化，最終變換為輸入量對輸出量的一個方框?！?.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第九十四頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日等效變換證明推導(dǎo)G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1.串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換（1）§2.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第九十五頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換圖G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)?G2(s)R(s)C(s)兩個串聯(lián)的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個方框傳遞函數(shù)的乘積。1.串聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換（2）§2.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第九十六頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日等效變換證明推導(dǎo)(1)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)2.并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換第九十七頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)G1(s)

G2(s)R(s)C(s)兩個并聯(lián)的方框可以合并為一個方框，合并后方框的傳遞函數(shù)等于兩個方框傳遞函數(shù)的代數(shù)和。2.并聯(lián)結(jié)構(gòu)的等效變換第九十八頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日3.反饋結(jié)構(gòu)的等效變換等效變換證明推導(dǎo)G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)§2.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第九十九頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日3.反饋結(jié)構(gòu)的等效變換反饋結(jié)構(gòu)的等效變換圖G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s)第一百頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日4.綜合點的移動綜合點后移G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)？§2.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第一百零一頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日移動前G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)？移動后綜合點后移證明推導(dǎo)（移動前后）§2.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第一百零二頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日G(s)R(s)C(s)Q(s)？綜合點后移證明推導(dǎo)（移動后）§2.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第一百零三頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)綜合點后移等效關(guān)系圖§2.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第一百零四頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)綜合點前移4.綜合點的移動第一百零五頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日移動前G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)？移動后綜合點前移證明推導(dǎo)（移動前后）第一百零六頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日綜合點前移等效關(guān)系圖G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)1/G(s)§2.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第一百零七頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日結(jié)論：多個相鄰的綜合點可以隨意交換位置。R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)5.綜合點位置互換§2.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第一百零八頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日6.引出點的移動引出點后移G(s)R(s)C(s)R(s)？G(s)R(s)C(s)R(s)問題：要保持原來的信號傳遞關(guān)系不變，

？等于什么?！?.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第一百零九頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日引出點后移等效變換圖G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)1/G(s)R(s)§2.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第一百一十頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日引出點前移問題：要保持原來的信號傳遞關(guān)系不變，？等于什么。G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)？C(s)§2.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第一百一十一頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日引出點前移等效變換圖G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C(s)§2.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第一百一十二頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日引出點之間的移動相鄰引出點交換位置，不改變信號的性質(zhì)。ABR(s)BAR(s)§2.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第一百一十三頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日五舉例說明（例1）例1：利用結(jié)構(gòu)圖變換法，求位置隨動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Qc(s)/Qr(s)。§2.7.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換第一百一十四頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例題分析由動態(tài)結(jié)構(gòu)圖可以看出該系統(tǒng)有兩個輸入r（給定），ML（擾動）。我們知道：傳遞函數(shù)只表示一個特定的輸出、輸入關(guān)系，因此，在求c對r的關(guān)系時，根據(jù)線性疊加原理，可取力矩

ML＝0，即認(rèn)為ML不存在。要點：結(jié)構(gòu)變換的規(guī)律是：由內(nèi)向外逐步進(jìn)行。第一百一十五頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例題化簡步驟(1)合并串聯(lián)環(huán)節(jié)：第一百一十六頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例題化簡步驟(2)內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換：第一百一十七頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例題化簡步驟(3)合并串聯(lián)環(huán)節(jié)：第一百一十八頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例題化簡步驟(4)反饋環(huán)節(jié)等效變換：第一百一十九頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例題化簡步驟(5)求傳遞函數(shù)Qc(s)/Qr(s)

：第一百二十頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日五、舉例說明（例2）例2：系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，試求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。第一百二十一頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（例題分析）本題特點：具有引出點、綜合交叉點的多回路結(jié)構(gòu)。第一百二十二頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（解題思路）解題思路：消除交叉連接，由內(nèi)向外逐步化簡。第一百二十三頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（解題方法一之步驟1）將綜合點2后移，然后與綜合點3交換。第一百二十四頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（解題方法一之步驟2）第一百二十五頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（解題方法一之步驟3）第一百二十六頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（解題方法一之步驟4）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換第一百二十七頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（解題方法一之步驟5）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果第一百二十八頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（解題方法一之步驟6）串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換第一百二十九頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（解題方法一之步驟7）串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果第一百三十頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（解題方法一之步驟8）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換第一百三十一頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（解題方法一之步驟9）內(nèi)反饋環(huán)節(jié)等效變換結(jié)果第一百三十二頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（解題方法一之步驟10）反饋環(huán)節(jié)等效變換第一百三十三頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（解題方法一之步驟11）等效變換化簡結(jié)果第一百三十四頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（解題方法二）將綜合點③前移，然后與綜合點②交換。第一百三十五頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（解題方法三）引出點A后移第一百三十六頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日例2（解題方法四）引出點B前移第一百三十七頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日結(jié)構(gòu)圖化簡步驟小結(jié)確定輸入量與輸出量。如果作用在系統(tǒng)上的輸入量有多個，則必須分別對每個輸入量逐個進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖化簡，求得各自的傳遞函數(shù)。若結(jié)構(gòu)圖中有交叉聯(lián)系，應(yīng)運用移動規(guī)則，首先將交叉消除，化為無交叉的多回路結(jié)構(gòu)。對多回路結(jié)構(gòu)，可由里向外進(jìn)行變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。第一百三十八頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日結(jié)構(gòu)圖化簡注意事項：盡量避免綜合點和引出點之間的移動。第一百三十九頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日§2.7信號流圖和梅遜公式

結(jié)構(gòu)圖是一種很有用的圖示法。對于復(fù)雜的控制系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖的簡化過程仍較復(fù)雜，且易出錯。梅遜提出的信號流圖，既能表示系統(tǒng)的特點，而且還能直接應(yīng)用梅遜公式方便的寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此，信號流圖在控制工程中也被廣泛地應(yīng)用。信號流圖是一種表示線性化代數(shù)方程組變量間關(guān)系的圖示方法。信號流圖由節(jié)點和支路組成。每一個節(jié)點表示系統(tǒng)的一個變量，而每兩個節(jié)點間的連接支路為該兩個變量之間信號的傳輸關(guān)系。信號流向由支路上的箭頭表示，而傳輸關(guān)系（增益，傳遞函數(shù)）則標(biāo)注在支路上。第一百四十頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日節(jié)點：用來表示變量或信號的點。用符號“?！?/p>

表示并在 近旁標(biāo)出變量名稱?！?.7.1信號流圖的基本術(shù)語支路：連接兩節(jié)點的定向線段。輸入節(jié)點（源節(jié)點）：只有輸出支路的節(jié)點。圖中的通路（通道）：從某節(jié)點開始，沿著支路箭頭方向連續(xù)經(jīng)過 一些支路而終止于另一節(jié)點（或同一節(jié)點）的路徑。開通路和閉通路（回路、回環(huán)）。第一百四十一頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日§2.7.1信號流圖的基本術(shù)語輸出節(jié)點（阱節(jié)點，匯點）：僅有輸入支路的節(jié)點。如圖6

有時信號流圖中沒有一個節(jié)點是僅具有輸入支路的。我們只要定義信號流圖中任一變量為輸出變量，然后從該節(jié)點變量引出一條增益為1的支路，即可形成一輸出節(jié)點，如圖混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。圖中的前向通路：開始于輸入節(jié)點，沿支路箭頭方向，每個節(jié)點只經(jīng)過一次，最終到達(dá)輸出節(jié)點的通路稱之前向通路。第一百四十二頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日§2.7.2信號流圖的繪制1.信號流圖與結(jié)構(gòu)圖的對應(yīng)關(guān)系

信號流圖結(jié)構(gòu)圖輸入節(jié)點輸入信號輸出節(jié)點輸出信號混合節(jié)點比較點，引出點支路環(huán)節(jié)支路增益環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)前向通路回路互不接觸回路第一百四十三頁，共一百六十五頁，2022年，8月28日§2.7.2信號流圖的繪制2.信號流圖的繪制⑴由微分方程繪制