教學(xué)案例 《成正比例的量》

正比例“變身”記

——《成正比例的量》課堂實(shí)錄一、課前交流：師：讀一讀大屏幕上這個(gè)成語，說一說“水漲船高”是什么意思？生：船總是浮在水面上，水面升高，船也跟著就升高了。師：他解釋得非常生動(dòng)形象，我們今天這節(jié)數(shù)學(xué)課要研究的問題就和這個(gè)成語有密切的關(guān)系，請接著往下看（出示例1）【反思】讓數(shù)學(xué)課變得和語文課一樣生動(dòng)美麗，是我所期望的，然而受困于數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，我一直沒能找到什么合適的方法，不過，抓住機(jī)會(huì)，讓數(shù)學(xué)課與語文課進(jìn)行有機(jī)融合，我還是不會(huì)錯(cuò)失良機(jī)的。正比例，講的是一種量擴(kuò)大或縮小，另一種量隨之?dāng)U大或縮小，這不正是“水漲船高”的表現(xiàn)嗎？于是，我就用“水漲船高”這個(gè)成語當(dāng)作了我今天的課題，并且貫穿始終，感覺效果非常好。二、觀察與思考：（一）分析例11、出示例1一種筆記本的單價(jià)是5元/本，請?zhí)顚懴卤恚簡蝺r(jià)(元)555555數(shù)量(本)102030405060總價(jià)(元)2、學(xué)生讀題、老師指名學(xué)生口算，完成填表。師：觀察表格中數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？生，總價(jià)隨著數(shù)量的變化而變化，數(shù)量擴(kuò)大，總價(jià)也隨著擴(kuò)大。師：數(shù)量擴(kuò)大，總價(jià)就隨著擴(kuò)大，說明總價(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量（多媒體出示這句話）。師：數(shù)量擴(kuò)大，總價(jià)就隨著擴(kuò)大，是不是“水漲船高”？生：是。師：總價(jià)為什么隨著數(shù)量的擴(kuò)大而擴(kuò)大呢？根本原因是什么？生：……師：總價(jià)、數(shù)量和單價(jià)之間的關(guān)系，大家會(huì)不會(huì)寫出來？生：單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)，總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量。師：我們選其中一種，用比的形式表示出來：用＝單價(jià)（一定），單價(jià)是總價(jià)和數(shù)量的比值，單價(jià)不變，就是比值不變，想一想，什么情況下，比值不變。生：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)，比值不變。師：說得好，這叫什么？生：比的基本性質(zhì)。師：同時(shí)乘叫擴(kuò)大，同時(shí)除以叫縮小，所以，要想比值不變，一種量擴(kuò)大，另一種也必須隨之?dāng)U大。師：這個(gè)例子告訴我們，兩種相關(guān)聯(lián)的量，如果它們的比值一定，那么一種數(shù)量擴(kuò)大，另一種數(shù)量就會(huì)隨著擴(kuò)大。我們把這兩種量叫做成正比例的量，它們的關(guān)系就叫做成正比例關(guān)系。簡單說：單價(jià)一定，總價(jià)和數(shù)量成正比例（多媒體出示）?！痉此肌窟@個(gè)例題是我自編的，之所以沒有采用課本的例題，是因?yàn)槲蚁胱寣W(xué)生感受“水漲船高”這一變化的現(xiàn)象，而課本例題是給給出兩種變化的量，讓學(xué)生找不變量，不太符合我的構(gòu)思，并且課本例題用的是杯子的底面積不變，水的體積和水的高度成正比例關(guān)系，沒有“單價(jià)一定，數(shù)量和總價(jià)成正比例”這樣的語言精練，易于表述。（二）分析例21、出示例2一列火車行駛的時(shí)間和所行路程如下表：時(shí)間（時(shí)）123456…路程（千米）90180270360450540…2、分析師：觀察表格，這里介紹了哪幾種數(shù)量？它們是不是成正比例關(guān)系？為什么？生：路程和時(shí)間成正比例。因?yàn)椋鼈兊谋戎狄欢ā煟郝烦毯蜁r(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，因?yàn)槁烦蹋簳r(shí)間=速度（一定），所以路程和時(shí)間成正比例關(guān)系（多媒體出示）學(xué)生齊讀（規(guī)范語言）?！痉此肌窟@個(gè)例題也是我自編的，類型有點(diǎn)與課本例題相似，讓學(xué)生在變化中求不變，體會(huì)“比值一定時(shí)，兩種量就成正比例關(guān)系”。這也為學(xué)生自學(xué)例題奠定了基礎(chǔ)。三、歸納與總結(jié)：師：今天我們研究的“水漲船高”的數(shù)學(xué)問題叫什么？生：正比例（板書課題：正比例）師：什么叫做正比例？生：……師：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種數(shù)量擴(kuò)大，另一種數(shù)量隨之?dāng)U大。如果它們的比值一定，我們就把這兩種量叫做成正比例的量，它們的關(guān)系就叫做成正比例關(guān)系。例如：單價(jià)一定，總價(jià)和數(shù)量成正比例；速度一定，路程和時(shí)間成正比例（多媒體出示）師：如果用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的比值（一定），我們可以把正比例關(guān)系表示為：用＝k（一定）?！痉此肌堪鍟n題是必須的，這個(gè)時(shí)候板書恰到好處，雖然“水漲船高”被我當(dāng)作了課題，但真正的學(xué)習(xí)內(nèi)容是正比例，這是不能含糊的。這里，教師講述得比較多，是考慮到這科學(xué)規(guī)范的語言，學(xué)生是不容易概括出來的，由老師講解，只是為了給學(xué)生一個(gè)完整的、清晰的概念！四、拓展與延伸：師：同學(xué)們會(huì)畫折線統(tǒng)計(jì)圖嗎？請大家拿出老師下發(fā)的方格圖，用“描點(diǎn)連線”的方法，把例1里總價(jià)和數(shù)量的關(guān)系（多媒體出示例1表格）在圖中表示出來。學(xué)生獨(dú)立活動(dòng)。師：圖畫完后，你發(fā)現(xiàn)了什么？生：畫出來的是一條斜線。師：也是什么線？生：直線。師：不用計(jì)算，請?jiān)趫D中標(biāo)出（1）買25本要用多少錢？（2）275元可以買多少本？生，25本125元，225元買45本。師：你是怎么找到的？學(xué)生上臺講解。師：計(jì)算驗(yàn)證一下。生：25乘5等于125，225除以5等于45?！痉此肌孔寣W(xué)生自己用畫折線圖的方法表示正比例函數(shù)，是為了讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)正比例函數(shù)的圖像就是一條直線，也是為了讓學(xué)生建立初步的函數(shù)思想。五、鞏固與提高：師：閱讀課本P39—40內(nèi)容，完成填表并思考：（1）體積與高是否成正比例？為什么？（2）例2中，杯中水的高是7厘米時(shí)，水的體積是多少？225立方厘米的水有多高？（在圖中標(biāo)出來）生：……【反思】讓學(xué)生自學(xué)課本，一是為了培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，和自學(xué)意識，第二是為讓學(xué)生加深對正比例的理解和認(rèn)識，尤其是，正比例畫出的圖像就是一條直線，例用，這個(gè)圖像，不用計(jì)算就可以找到一些有用的信息。師：每袋面粉的重量一定，面粉的總重量和袋數(shù)是不是成正比例？生：……師；小新跳高的高度和他的身高是否成正比例？生：小新跳高的高度和他的身高不成正比例。師，為什么。生：小新的身高和他跳的高度沒有必然的關(guān)系。師：對，判斷兩種量是否成正比例，先要看它們是不是相關(guān)聯(lián)的量。師：正方形的周長和邊長是否成正比例？生：成比例。師：怎么判斷？生：正方形周長：邊長達(dá)=4。4是一定的，所以……師：判斷兩種量是否成正比例，一定要寫關(guān)系式，然后看它們是不是比值一定。師、正方形的面積和邊長是否成正比例。指導(dǎo)學(xué)生填寫下表：面積邊長123457比值生：面積：邊長=邊長（不一定），正方形面積和邊長不成正比例。師：為什么？生：它們的比值不一定。師：對，看表格：邊長擴(kuò)大，面積也在擴(kuò)大，這也是“水漲船高”，但他們的關(guān)系為什么不成正比例？生：判斷兩種量是否成正比例，關(guān)鍵還要看它們的比值是不是一定！【反思】這個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的練習(xí)層層遞進(jìn)，讓學(xué)生在鞏固的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)了明辨是非，加深了對正比例的認(rèn)識，同時(shí)，也讓學(xué)生明確：“水漲船高“也未必就是正比例，判斷兩種量是否成正比例，關(guān)鍵還要看它們的比值是否一定。這也是在扣題——“水漲船高”。六、回顧與展望：師：判定兩種量是否成正比例關(guān)系的方法與步驟是什么？生：先寫數(shù)量關(guān)系式，然后判斷它們是不是比值一定。師；這是判斷兩種量是否成正比例的關(guān)鍵。還有嗎？生：先判斷它們是不是相關(guān)聯(lián)的量。師：怎么判斷？生：是不是一種量變化，另一種量也隨之變化。師：說得很好。師：生活中還有哪些量成正比例關(guān)系？生：……【反思】這個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生對判斷兩種是否成正比例的方法與步驟進(jìn)行了概括與總結(jié)，使學(xué)生學(xué)會(huì)了梳理課堂所學(xué)，提高了認(rèn)識。課后反思：這又是一節(jié)令我“沾沾自喜”的比較成功的課例，我的成功之處在于以下幾點(diǎn)：一、把“水漲船高”這個(gè)成語當(dāng)作數(shù)學(xué)課的課題，讓數(shù)學(xué)蒙上了一層神秘的面紗，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探究新知的欲望；圍繞“水漲船高”展開學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)了成正比例的兩種的量的變化關(guān)系就是一種“水漲船高”的現(xiàn)象，使學(xué)生有了比較形象的認(rèn)識；最后用“正方形的面積和邊長”也是“水漲船高”的關(guān)系，但它們不成正比例，讓學(xué)生深刻地認(rèn)識到，判斷兩種量是否成正比例，關(guān)鍵還要看“比值是否一定”，這樣就把握住了成正比例的兩種量的本質(zhì)屬性——比值一定。這也是本節(jié)課最成功的一個(gè)方面。二、改編例題也是我自認(rèn)為比較得意的一個(gè)大手筆。這里，我用了兩道例題，例1是讓學(xué)生在“不變中看變化“，例2是讓學(xué)生在”變化中求不變“。兩道例題的有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生對”成正比例的量“有了一個(gè)非常清晰的認(rèn)識。例1，我先給出一個(gè)表格，給出筆記本的單價(jià)是5元，讓學(xué)生根據(jù)表格中數(shù)量，填總價(jià)，使學(xué)生在填表的過程中，初步體會(huì)“單價(jià)一定，數(shù)量變化，總價(jià)也跟著變化，說明數(shù)量和總價(jià)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，而且它們的變化關(guān)系是”一種量擴(kuò)大或縮小，另一種量也隨之?dāng)U大或縮小，這就是一種”水漲船高“的關(guān)系，然后聯(lián)系“比的基本性質(zhì)”分析數(shù)量和總價(jià)為什么會(huì)是“水漲船高”的關(guān)系，最后得出結(jié)論：“兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量擴(kuò)大或縮小，另一種量跟著擴(kuò)大或縮小，如果它們的比值一定，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系就叫正比例關(guān)系“。例2，我給出一個(gè)表格，是關(guān)于一輛汽車行駛的時(shí)間和路程的，然后讓學(xué)生判斷，路程和時(shí)間是否成正比例，學(xué)生根據(jù)例1獲得的經(jīng)驗(yàn)，很快就開始找路程和時(shí)間的比值，最后得出，路程和時(shí)間成正比例，因?yàn)椋鼈兊谋戎怠俣仁且欢ǖ?。至此，學(xué)生對《成正比例的量》已經(jīng)有了較為深刻的認(rèn)識。三、聯(lián)系折線統(tǒng)計(jì)圖，畫正比例函數(shù)的圖像，也是本節(jié)課的一個(gè)亮點(diǎn)。畫折線統(tǒng)計(jì)圖是學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生用折線統(tǒng)計(jì)圖畫出例1中數(shù)量與總價(jià)的的關(guān)系，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)，正比例函數(shù)圖像就是一條直線，這比給出現(xiàn)成的圖像，讓學(xué)生觀察更真實(shí)，更有價(jià)值。在此基礎(chǔ)上，又讓學(xué)生自學(xué)課本，與課本例題進(jìn)行比較，更加深了學(xué)生對正比例函數(shù)的認(rèn)識。四、梯度練習(xí)，層層遞進(jìn)，使學(xué)習(xí)更有效。這節(jié)課的練習(xí)設(shè)計(jì)也很精心，先讓學(xué)生看課本例1，鞏固對正比例的認(rèn)識；然后，讓給出學(xué)生一些典型練習(xí)，讓學(xué)生判斷兩種量是否正比例：比如：（1）小新跳的高度