2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.1.2類(lèi)比推理學(xué)案含解析北師大版選修2-22017

2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.1.2類(lèi)比推理學(xué)案含解析北師大版選修2-220170628111D23

由于兩類(lèi)不同對(duì)象具有某些類(lèi)似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類(lèi)對(duì)象的其他特征，推斷另一類(lèi)對(duì)象也具有類(lèi)似的其他特征，我們把這種推理過(guò)程稱(chēng)為類(lèi)比推理.類(lèi)比推理是兩類(lèi)事物特征之間的推理.類(lèi)比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖莀_______(填序號(hào)).①各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面二面角都相等；所成的③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一的任兩條棱的夾角都相等.頂點(diǎn)上【解析】正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類(lèi)比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩4邊的夾角類(lèi)比，故①②③都對(duì).【答案】①②③教材整理2合情推理閱讀教材P的最后4個(gè)自然段，完成下列問(wèn)6題.合情推理是根據(jù)實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)、已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等)，推測(cè)出某些結(jié)果的推理方式.合情推理的結(jié)果不一定正確.下列說(shuō)法正確的是()A.由合情推理得出的B.合情推理必須有前提有結(jié)論C.合情推理不能猜想結(jié)論一定是正確的D.合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤【解析】根據(jù)合情推理可知，合情推理必須有前提有結(jié)論.【答案】B5[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：[小組合作型]類(lèi)比推理在數(shù)列中的應(yīng)用bTn在公比為4的等比數(shù)列{}中，若nTTTbn是數(shù)列{}的前項(xiàng)積，則有，，40也成等2030TTT30n1020比數(shù)列，且公比為4100；類(lèi)比上述結(jié)論，相應(yīng)地6aSann在公差為3的等差數(shù)列{}中，若是{}的前nn項(xiàng)和.(1)寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論，判斷該結(jié)論是否正確，并加以證明；(2)寫(xiě)出一個(gè)更為一般的結(jié)論(不必證明).【精彩點(diǎn)撥】結(jié)合已知等比數(shù)列的特征可類(lèi)比等差數(shù)列每隔10項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì).SSSS20【自主解答】(1)數(shù)列－，－，201030SS－也是等差數(shù)列，且公差為300.該結(jié)論是3040正確的.證明如下：ad∵等差數(shù)列{}的公差＝3，nSSSSaaa30∴(－)－(－)＝(＋＋…＋)302020102122aaa20－(＋＋…＋)1112dddd＝10＋10＋…10＝100＝300，10個(gè)SSSS20同理可得：(－)－(－)＝300，403030SSSSSS30所以數(shù)列－，－，－是等差2010302040數(shù)列，且公差為300.7kSSS2kk3k(2)對(duì)于任意∈N，都有數(shù)列－，＋SSS3kkd2－，－是等差數(shù)列，且公差為.2k4k1.本題是等比數(shù)列與等差數(shù)列之間的類(lèi)比推理，在等比數(shù)列與等差數(shù)列的類(lèi)比推理中，要注意等差與等比、加與乘、減與除、乘法與乘方的類(lèi)比特點(diǎn).2.類(lèi)比推理的思維過(guò)程觀察、比較→聯(lián)想、類(lèi)推→猜測(cè)新的結(jié)論.即在兩類(lèi)不同事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干其他方面相同或相似之處后，推測(cè)這兩類(lèi)事物在的相同或相似之處.[再練一題]anSSn41.設(shè)等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，則，nSSSSSS12－，－，－成等差數(shù)列.類(lèi)比以上結(jié)8412816bnTTn4論有：設(shè)等比數(shù)列{}的前項(xiàng)積為，則，n8T________，________，成等比數(shù)列.16T12【解析】等差數(shù)列類(lèi)比于等比數(shù)列時(shí)，和類(lèi)比于積，減法類(lèi)比于除法，可得類(lèi)比結(jié)論為：TTbnTTn4設(shè)等比數(shù)列{}的前項(xiàng)積為，則，，，812TTn48TT16成等比數(shù)列.12TT【答案】812TT48類(lèi)比推理在幾何中的應(yīng)用h如圖1-1-10所示，在平面上，設(shè)，ahhABCPABC，分別是△三條邊上的高，為△內(nèi)bcPppab任意一點(diǎn)，到相應(yīng)三邊的距離分別為，，ppppc，可以得到結(jié)論＋＋c＝1.abhhhcab9圖1-1-10證明此結(jié)論，通過(guò)類(lèi)比寫(xiě)出在空間中的類(lèi)似結(jié)論，并加以證明.【精彩點(diǎn)撥】三角形類(lèi)比四面體，三角形的邊類(lèi)比四面體的面，三角形邊上的高類(lèi)比四面體以某一面為底面的高.1BC·pp2Sa【自主解答】＝＝，a△PBChaS△ABC12BC·hapSpS同理，＝，＝△PAB.b△PACchShS△ABCb△ABCcSSSS△ABC∵＋＋＝，△PBC△PAC△PABpppSSS＋＋∴＋＋＝△PAB＝1.abc△PBC△PAChhhS△ABCabc類(lèi)比上述結(jié)論得出以下結(jié)論：如圖所示，在ABCDhhhhabcd四面體中，設(shè)，，，分別是該四面P體的四個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)面的距離，為該四面體內(nèi)任Pppab意一點(diǎn)，到相應(yīng)四個(gè)面的距離分別為，，10ppppdhhhhpp，，可以得到結(jié)論＋＋＋＝1.abccdabcd1Sp·p3V△BCDa證明如下：＝＝，aP-BCDhV13S·haA-BCD△BCDapVpVpV同理，＝，＝，＝P-ABC.bP-ACDcP-ABDdhVhVhVA-BCDbA-BCDcA-BCDdVVVVVA-BCD∵＋＋＋＝，P-BCDP-ACDP-ABDP-ABCppppdhhhh∴＋＋＋abcabcdVVVV＝1.P-ABC＋＋＋＝P-BCDP-ACDP-ABDVA-BCD1.一般地，平面圖形與空間圖形類(lèi)比如下：平面圖形線(xiàn)線(xiàn)三角角點(diǎn)線(xiàn)邊長(zhǎng)面積11形四二面空間線(xiàn)面面積體積面圖形角體2.類(lèi)比推理的一般步驟(1)找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性；(2)用一類(lèi)事物的性質(zhì)推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的結(jié)論.[再練一題]ABCab2.在上例中，若△的邊長(zhǎng)分別為，，cABCabC，其對(duì)角分別為，，，那么由＝·coscB＋·cos可類(lèi)比四面體的什么性質(zhì)？SS【解】在如圖所示的四面體中，，，12SS3PABPBCPCAABC，分別表示△，△，△，△的面積，12αβγPABPBC，，依次表示平面，平面，PCAABC平面與底面所成二面角的大小.SSαSβS猜想＝·cos＋·cos＋·cos123γ.[探究共研型]類(lèi)比推理在其他問(wèn)題中的應(yīng)用探究1魯班發(fā)明鋸子的的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開(kāi)木材，它們?cè)诠δ苌鲜穷?lèi)似的.因此，它們?cè)谛螤睢颁徸印睉?yīng)該是齒形的.你認(rèn)為該思維過(guò)程為：帶齒上也應(yīng)該類(lèi)似，過(guò)程為歸納推理還是類(lèi)比推理？【提示】類(lèi)比推理.探究2已知以下過(guò)程可以求1＋2＋3＋…nnnn2＋的和.因?yàn)?＋1)2－＝2＋1，nnn－(－1)＝2(－1)＋1，22……22－12＝2×1＋1，13nnn有(＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋)＋，nnn＋2－2n所以1＋2＋3＋…＋＝＝2nn（＋1）.2n2類(lèi)比以上過(guò)程試求12＋22＋32＋…＋的和.【提示】因?yàn)?＋1)3－＝33＋3＋1，nnnn2nnnn－(－1)＝3(－1)2＋3(－1)＋1，33…23－13＝3×12＋3×1＋1，nn有(＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋2)＋3(1＋2nn＋3＋…＋)＋，n所以12＋22＋…＋2nn3＋521nnn＝＋3＋3－3232nnnnnn2＋3＋（＋1）（2＋1）32＝＝.66已知橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C14P上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一PMPNkkPMPN點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)，的斜率，都存在時(shí)，那kkP么與之積是與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)的定值，試PMPNxy22ab寫(xiě)出雙曲線(xiàn)－＝1(>0，>0)具有類(lèi)似特征的ab22性質(zhì)，并加以證明.雙曲線(xiàn)與橢圓中的結(jié)論【精彩點(diǎn)撥】→橢圓類(lèi)比雙曲線(xiàn)中的→理論證明→相應(yīng)結(jié)論MN【自主解答】類(lèi)似性質(zhì)：若，為雙曲xy22ab線(xiàn)－＝1(>0，>0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)ab22PPMPN點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)，kkkkPMPN的斜率，都存在時(shí)，那么與之積是與PMPNP點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)的定值.MPmn證明如下：設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為(，)，xy(，)，則NmnMmn(－，－).因?yàn)辄c(diǎn)(，)是雙曲線(xiàn)上的15點(diǎn)，bb22a22nmbyxb2所以＝－.同理＝－，2222a2ynynynbxm2－＋－－2222kk則·＝·＝＝·xmxmxmaxm2－＋－－PMPN2222b2＝(定值).a21.兩類(lèi)事物能進(jìn)行類(lèi)比推理的關(guān)鍵是兩類(lèi)對(duì)象在某些方面具備相似特征.2.進(jìn)行類(lèi)比推理時(shí)，首先，找出兩類(lèi)對(duì)象之間可以確切表達(dá)的相似特征.然后，用一類(lèi)對(duì)象的已知特征去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的特征，從而得到一個(gè)猜想.[再練一題]3.(2016·溫州高二檢測(cè))如圖1-1-11所→→FFBAB示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，當(dāng)⊥165－1時(shí)，其離心率為，此類(lèi)橢圓被稱(chēng)為“黃金2橢圓”.類(lèi)比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙e曲線(xiàn)”的離心率等于________.圖1-1-11x2【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為－a2y2b2ab＝1(>0，>0)，F(xiàn)cBbAa則(－，0)，(0，)，(，0)，→→FBcbABab所以＝(，)，＝(－，).→→FBAB又因?yàn)椤?，→→FBABbac所以·＝－＝0，217caacee2所以－－＝0，所以－－1＝0，221＋51－5ee所以＝或＝(舍去).221＋5【答案】2[構(gòu)建·體系]1.下面使用類(lèi)比推理恰當(dāng)?shù)氖?)ababA.“若·3＝·3，則＝”類(lèi)比推出“若abab·0＝·0，則＝”abcacbcabcB.“(＋)＝＋”類(lèi)比推出“(·)acbc＝·”abacc＋abcacbcC.“(＋)＝＋”類(lèi)比推出“＝bcc＋(≠0)”18abababannD.“()＝”類(lèi)比推出“(＋)＝＋nnnbn”【解析】由實(shí)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)易得C項(xiàng)正確.【答案】Clr2.已知扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，類(lèi)比三底×高S角形的面積公式＝，可知扇形面積公式2為()r2A.2l2B.2lrC.2D.無(wú)法確定【解析】扇形的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)三角形的底，扇形的半徑對(duì)應(yīng)三角形的高，因此可得扇形面積公lrS式＝2.【答案】C3.在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為191∶2，則它們的面積比為1∶4，類(lèi)似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積比為_(kāi)_______.【解析】由平面和空間的知識(shí)，可知面積之比與邊長(zhǎng)之比成平方關(guān)系，在空間中體積之比與棱長(zhǎng)之比成立方關(guān)系，故若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2，則它們的體積之比為1∶8.【答案】1∶8nn1×2＋2×3＋…＋(＋1)”4.在計(jì)算“時(shí)，有如下方法：1kkkkkk先改寫(xiě)第項(xiàng)：(＋1)＝[(＋1)(＋2)3kkk－(－1)(＋1)]，由此得11×2＝3(1×2×3－0×1×2)，12×3＝3(2×3×4－1×2×3)，……201nnnnnnnn(＋1)＝[(＋1)(＋2)－(－1)(＋31)]，1nnn2×3＋…＋(＋1)＝(＋3相加得1×2＋n1)(＋2).類(lèi)比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“1×3＋2×4＋…nnn＋(＋2)”，其結(jié)果寫(xiě)成關(guān)于的一次因式的積的形式為_(kāi)_______________.1【解析】1×3＝×(1×2×9－0×1×7)，612×4＝×(2×3×11－1×2×9)，613×5＝×(3×4×13－2×3×11)，6……1nnnnnnnn(＋2)＝[(＋1)(2＋7)－(－1)(26＋5)]，各式相加，得1×3＋nn2×