初中三角形知識點

中考數學必備知識點——形與幾何知識點一：三角形1、三角形的定義：是由三條線段首尾順次相接所組成的平面圖形叫做三角形.2、組成三角形的元素：三條邊和三個角3、三角形的分類⑴三角形按邊的關系分類如下：⑵三角形按角的關系分類如下：把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形，它是兩條直角邊相等的直角三角形.4、三角形的性質⑴三角形三邊關系定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊且任意兩邊之差小于第三邊.⑵三角形的內角和定理：三角形的三個內角和等于180。.⑶三角形的外角和定理：三角形的三個外角和等于360。.⑷三角形的內外角定理：①互補關系：三角形的一個外角與它相鄰的內角互補；②相等關系：三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內角的和.③不等關系：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.⑸三角形的邊角關系：在同一個三角形中：大邊對大角，等邊對等角，小邊對小角；反之，大角對大邊，等角對等邊，小角對小邊也成立.5、三角形的面積：三角形的面積=1X底X高2知識點二：等腰三角形1、等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2、等腰三角形的性質定理及推論：性質定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊.即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高三線合一.推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°.3、三角形中的中位線⑴三角形中的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.⑵三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半；⑶三角形中位線定理的作用：位置關系：可以證明兩條直線平行；數量關系：可以證明線段的倍分關系；⑷常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：

結論1:三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半；結論2:三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形；結論3:三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形；結論4:三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分；結論5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等;知識點三：直角三角形1、直角三角形的兩個銳角互余;2、在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半；3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；4、直角三角形兩直角邊久b的平方和等于斜邊c的平方，即a2+b2=c25、常用關系式：由三角形面積公式可得：AC-BC=CD?AB★★★6、直角三角形的射影定理從一定向一直線所引垂線的垂足，叫做這個點在這條直線上的正射影；一條線段在直線上的正射影，是指線段的兩個端點在這條直線上的正射影間的線段.點和線段的正射影簡稱為射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項;推論：直角三角形中其中一條直角邊是該直角邊在斜邊上的射影與斜邊的知識點四：全等三角形1、全等三角形的概念：能夠叫做全等三角形;CD1ABZACB=9知識點四：全等三角形1、全等三角形的概念：能夠叫做全等三角形;CD1ABZACB=9。CD=AD-BDAC2=AD-ABBC2=BD-AB完全重合的兩個三角形2、三角形全等的性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等;3、全等三角形的判定定理:⑴邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）⑵角角邊定理：任意兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”；⑶角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）⑷邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；★★★直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）4、全等變換：只改變圖形的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換；全等變換包括一下三種：①平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換；②對稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對稱變換；③旋轉變換：將圖形繞某點旋轉一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉變換；知識點五：相似三角形1、比例線段的概念：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即aC（或a:b=c:d）那bd么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.注意：⑴在求線段比時，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應先化成同一單位.

⑵當兩個比例式的每一項都對應相同，兩個比例式才是同一比例式.⑶比例線段是有順序的，如果說q是b,C,d的第四比例項，那么應得比例式為：b=d.ca2、比例的性質基本性質：⑴a:b=c:doad=be；⑵a:c=c:boc2=a?b.反比性質（把比的前項、后項交換）:a=e=b=d.bdae.如：合比性質：a=e=蟲=eld.發(fā)生同樣和差變化比例仍成立bdbd.如：b-aa

b-aa

心

、a+be等等e-de+d等比性質：如果等比性質：如果e m.=—=…=—(b+d+f+ +nw0)f n那么a+e+e+ +ma ^=.b+d+f+ +nb注意：實際上，由一個比例式只可化成一個等積式，而一個等積式共可化成八個比例式，如ad=be,除了可化為a:b=e:d,還可化為a:e=b:d,e:d=a:b,b:d=a:e,b:a=d:e,e:a=d:b,d:e=b:a,d:b=e:a.3、比例線段的有關定理平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.推論1:經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊.（三角形中位線定理的逆定理）推論2:經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰.（梯形中位線定理的逆定理）平行線等分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.推論：（1）平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例.（2）平行于三角形一邊且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例.定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形第三邊.4、相似三角形⑴相似三角形的定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.相似三角形對應邊的比值叫做相似比（或相似系

數)注意:(1)相似三角形是相似多邊形中的一種；(2)應結合相似多邊形的性質來理解相似三角形；(3)相似三角形應滿足形狀一樣，但大小可以不同；(4)相似用“《表示，讀作“相似于”；(5)相似三角形的對應邊之比叫做相似比.⑵相似三角形的判定方法預備定理：平行于三角形一邊并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例.定理的基本圖形語言：數學符號語言：DEIBC：、AADEsAABC.判定定理1：如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似,簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似.且夾角相等，那么這兩個三角形相似,簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等,判定定理2：如果一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并兩三角形相似.且夾角相等，那么這兩個三角形相似,簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等,判定定理3:如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似,簡述為：三邊對應成比例，兩個三角形相似.判定定理4:直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似.三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下:類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS(ASA)HL相似三角形的判定兩邊對應成比例夾角相三邊對應成比例兩角對應相等一條直角邊與斜邊對應成比例從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對應邊相等”的條件改為“對應邊成比例”就可得到相似三角形的判定定理，這就是我們數學中的用類比的方法，在舊知識的基礎上找出新知識并從中探究新知識掌握的方法.⑶相似三角形的性質定理：（1）相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比；（2）相似三角形的周長比等于相似比；（3）相似三角形的面積比等于相似比的平方；（4）相似三角形內切圓與外接圓的直徑比、周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.⑷相似三角形的等價關系(1)反身性：對于任一AABC有AABCsAABC■(2)對稱性：若^ABC*AA'B'C',則AA'B'C'~AABC■(3)傳遞性：若AABC*AA'B'C,且AA'B'C,sAA〃B〃C〃,則AABC*AA〃B〃C〃■★★★相似直角三角形引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的線段成比例那么這兩條直線平行于三角形的第三邊.（與三角形的中位線定理類似）定理：如果兩個直角三角形有一個銳角對應相等，那么這兩個直角三角形相似.定理：如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似.定理：如果兩個直角三角形的斜邊和一直邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似.經過歸納和總結，相似三角形有以下幾種基本類型*△ABC①平行線型：常見的有如下兩種，DE||BC，則△*△ABC②相交線型：常見的有如下四種情形，如圖，已知 Z1=ZB，則由公共角/A得，△ADE*△ABC如下左圖，已知Z1=ZB,則由公共角/A得，4ADC*△ACB；如下右圖，已知/B=ZD,則由對頂角Z1=Z2得，^ADE*△ABC下圖為常見的基③旋轉型：已知/BAD=ZCAE,/B=ZD，則△ADE*△ABC,下圖為常見的基本圖形.④母子型：已知/ACB=90°,AB1CD，則△CBD*△ABC*△ACD■解決相似三角形問題，關鍵是要善于從復雜的圖形中分解出（構造

出）上述基本圖形.知識點六：銳角三角函數的概念（建立在直角三角形的基礎之上）1、如圖，在AABC中，nC=90°①sin