上海初二矩形、菱形、正方形講解與例題

矩形

菱形

正方形．矩形的定義和性矩的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形．矩形的定義有兩個(gè)要素：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角．兩者缺一不可．(2)矩形的性質(zhì)：①矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)．②矩形的四個(gè)角都是直角．如圖，在矩形ABCD中∠ABC＝，又由鄰角互補(bǔ)、對角相等可得＝∠ADC＝∠＝ABC90°【例】圖所示，在矩形中∠CADCD，求矩形ABCD周長(精確到．．直角三角形的一性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．如圖所示，由矩形的對角線相等可知＝【例2】圖BDCE是△的條高分是BC，DE的點(diǎn)，求證：FG⊥DE．矩形的判定(1)定義法：有一個(gè)角是直角的平四邊形是矩形．(2)方法一：對角線相等的平行四形是矩形．(3)方法二：有三個(gè)角是直角的四形是矩形．矩形的定義也是矩形判定方法中的一個(gè)矩形的判定可用下圖表示：

【例3如圖所示在邊形中BE＝DF與互平分于點(diǎn)O∠B＝90°.求證：四邊形ABCD是形．．菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．如圖，當(dāng)把平行四邊形的一條邊平移后，使鄰邊相等，平行四邊形就變成了菱形．菱形是特殊的平行四邊形，但平行四邊形不一定是菱.①菱形必須滿足兩個(gè)條件：一是行四邊形；二是一組鄰邊相等．②菱形的定義既是菱形的基本性質(zhì)，也是菱形的判定方法．【例如圖在△ABC中CD是的平分線DEDF∥四形DECF是菱形嗎？試說明理由．．菱形的性質(zhì)菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，除此之外它也具有自己特殊的性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都相等；(2)菱形的兩條對角線互相垂，且每條對角線平分一組對角；(3)菱形是軸對稱圖形，有兩條對軸即每條對角線所在的直線；(4)菱形的面積等于對角線乘積的半．【例5如圖所示，在菱形ABCD中兩條對角線AC，＝，則此菱形的邊長為)．

A5B6CD．10解：ACBD相于點(diǎn)，為菱形的對角線互相垂直且平分，所以AO＝，＝4根據(jù)勾股定理＝答：A．菱形的判定(1)定義法：一組鄰邊相等的平行邊形是菱形．(2)方法一：四邊都相等的四邊形菱形．(3)方法二：對角線互相垂直的平四邊形是菱形．菱形的判定方法可用下圖表示：判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，一定要注意判定前提，即在什么條件下判定．若在四邊形的條件下判定則證四邊相等也可先判定其是平行四邊形再證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直在行邊形的條件下判定證其一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直即可．【例如圖所示，ABCD的角線AC的直平分線與邊ADBC分相交于，F(xiàn).求證：四邊形AFCE是菱形．．正方形的定義有一個(gè)角是直角，且有一鄰相等的平行四邊形叫做正方形．正方形與矩形、菱形的關(guān)系可用下圖表示：①正方形既是有一組鄰邊相等的形，又是有一個(gè)角是直角的菱形；②既矩形又是菱形的四邊形是正方形③正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是特殊的矩形，還是特殊的菱形．【例】圖所示中，＝90°BD平∠，DE，DF⊥AB，求證：四邊形BEDF是方形．．正方形的性質(zhì)

正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的所有的性質(zhì)．(1)邊的性質(zhì)：正方形的四條邊都等，對邊平行，鄰邊垂直；(2)角的性質(zhì)：正方形的四個(gè)角都直角；對線的性質(zhì)：正方形的對角線互相垂直平分且相等，并且每條對角線平分一組對角．正方形還有特殊性質(zhì)：正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；兩條對角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形是軸對稱圖形條對稱軸．【例】如圖所示A，，C三在同一條直線上AB＝BC分別以BC為作正方形和正方形BCMN，連接FN，EC求證FN＝EC證明在方形中和正方形中＝BEEFBC＝BNFEN＝∠＝90°.因?yàn)锳B，所以EN所以△≌△ECB所FNEC.．正方形的判定(1)一組鄰邊相等的矩形是正方形(2)有一個(gè)角是直角的菱形是正方；(3)有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是角的平行四邊形是正方形；(4)既是矩形又是菱形的四邊形是方形．判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：①先明它是矩形，再證它有一組鄰邊相等；②證明它是菱形，再證它有一個(gè)角是直角．【例】如圖所示，已知ABCD中，對角線BD交點(diǎn)是BD延線上的點(diǎn)，且等邊三角形．若AED2∠.求證：四邊形ABCD是方形．所以四邊形是方形．．矩、菱形、正方形性質(zhì)的綜合運(yùn)用矩形、菱形、正方形都是殊平行四邊形，所以矩形、菱形、正方形具有平行四邊形的所有性質(zhì)．應(yīng)從邊、角、對角線三個(gè)方面區(qū)分它們的性質(zhì)：從的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對邊平行且相等的性質(zhì)，而菱形和正方形還具有四條邊相等的性質(zhì)；(2)從角的角度：平行四邊形、矩、菱形、正方形都具有對角相等且鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)，而矩形和正方形還具有四個(gè)角都等于90°的性質(zhì)；(3)從對角線的角度：平行四邊形矩形、菱形、正方形都具有對角線互相平分的性質(zhì)，而矩形和正方形的對角線還具有相等的性質(zhì)，菱形和正方形的對角線還具有互相垂直的性質(zhì)．

【例10】圖，在正方形ABCD中為角線AC上點(diǎn)，連接，.(1)求證：△BEC≌△DEC(2)延長AD于，若＝∠AFE的數(shù)．11．形、菱形、正方形判定的綜合運(yùn)幾種特殊平行四邊形的判定方法可用下圖表示：正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，當(dāng)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角變?yōu)橹苯菚r(shí)(角特殊化了平行四邊形變成矩形當(dāng)平行四邊形鄰邊變?yōu)橄嗟?特殊化了，平行四邊形變成菱形；當(dāng)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角變?yōu)橹苯牵唤M鄰邊變?yōu)橄嗟葧r(shí)(角、邊均特殊化了，平行四邊形變?yōu)檎叫危纠恐鐖D，在正方形ABCD中點(diǎn)，F(xiàn)分在和CD，AE＝AF(1)試說明＝的理；(2)連接交EF于O延長OC至點(diǎn)M使OMOA連接EM，F(xiàn)M判斷四邊形AEMF是么特殊四邊形？并說明你的理由．

．特四邊形的探究題平行四邊形、矩形形正形的性質(zhì)和判定的綜合探究題在中考中常出現(xiàn)．它還能與其他知識綜合考查如等腰直三角形的性質(zhì)等三角形的性質(zhì)和判定平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合運(yùn)用性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此類題的關(guān)鍵．矩形菱形方問題在中考的比重近年來有加大的趨勢但有選擇題空、解答題，也有探究型、開放型試題．解答此類問題，要在牢記矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定弄它們的特性和共性的礎(chǔ)上分析圖形特征選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄆ┙獯鹫叫螁栴}時(shí)于方形既是中心對圖形又是軸對稱圖形以證明一些與線段有關(guān)的問題時(shí)，可以借助旋轉(zhuǎn)或平移實(shí)現(xiàn)線段的移位，在正方形中這種移位非常地巧妙、自然，比作其他類型的輔助線要的簡捷、順．【例12以四邊形ABCD的為邊別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，順次連接這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH.(1)如圖①，當(dāng)四邊形