初中數(shù)學50種幾何模型相交線與平行線

初中數(shù)學50種幾何模型（七年級下學期部分）二、相交線與平行線§1.三線八角圖知識鏈接如圖，兩直線被第三條直線所截，所成8個角中，有4對同位角/1和N5,N2和N6,N3

和N7,N4和N8；2對內錯角N3和N5,N4和N6；2對同旁內角/3和N6,N4和N6.典例講解：TOC\o"1-5"\h\z例1.如圖，直線a、b與直線c、d相交.N1的內錯角是 ,zi的同旁內角是 . /I模型秒殺：N1由直線a、c相交而成，分兩種情況討論： -4 : “①若a為截線，截c得Z1,內錯角考慮?”字型：（如圖1）了截d得Z2；同旁內角考慮“1”字型：（如圖2）截d得Z3；亡 〃②若c為截線，截a得Z1,內錯角考慮‘2"字型：（如圖3）截b得Z5；同旁內角考慮‘（”字型：（如圖4）截b字型：（如圖4）截b得Z4.圖1初中數(shù)學50種幾何模型（七年級下學期部分）注意：尋找同位角、內錯角、同旁內角時，關鍵是要分解出圖形中的相應的三線八角模型圖，尋找相應的三線八角圖的關鍵是要確定截線和被截線要排除直線多于3條、兩條被截直線相交引起的干擾，一般以截線為分類討論標準不容易引起混淆（分類不重不漏）.同步反饋1.如圖，N4與是同位角，與是內錯角，與是同旁內角.例2.如圖，有 對同位角， 對內錯角， 對同旁內角.解：（以截線為標準）分三種情況討論：①直線a截b和c（5例2.如圖，有 對同位角， 對內錯角， 對同旁內角.解：（以截線為標準）分三種情況討論：①直線a截b和c（5個角），有1對同位角：/7和N9；1對內錯角：/5和N9；1對同旁內角：/8和N9；②直線b截a和c（5個角），有1對同位角：/2和N9；1對內錯角：/4和N9；1對同旁內角：/1和N9；7③直線c截a和b（完整的8個角），有4對同位角；2對內錯角；2對同旁內角.由以上討論可知：共有6對同位角，4對內錯角，4對同旁內角.同步反饋2.如圖，與NC是同旁內角的角有哪幾個?B拓展延伸.如圖，若兩條平行線EF、MN與直線AB、CD相交，錯角和同旁內角.初中數(shù)學50種幾何模型（七年級下學期部分）§2.兩平行線間的拐點問題（1）知識鏈接1、平行線的判定：內錯角相等，兩直線平行；VZ1=Z2,:.a〃b.平行線的性質：兩直線平行，內錯角相等.:a//b,???N1=N2.2、如圖直線AE/DF,左半邊ABOCD象只“豬蹄”，從而我們有以下模型：豬蹄模型（口訣：蹄窩窩是兩蹄尖尖的窩）如圖1,若AB/CD,則NBOC=NB+NC.證明：過點O作EF/AB（如圖2）,??NBOF=NB（兩直線平行，內錯角相等）.VAB/CD,EF〃AB（E知），.??E￡〃CD（平行公理），??NCOF=NC（兩直線平行，內錯角相等）.AZBOC=ZBOF+ZCOF=ZB+ZC.反過來，若NBOC=NB+NC,則AB/CD.證明：過點O作EF/AB（如圖2）,???NBOF=NB（兩直線平行，內錯角相等）.AZBOC=ZBOF+ZCOF=ZB+ZCOF.XVZBOC=ZB+ZC,AZCOF=ZC.?.EE〃.CD（內錯角相等，兩直線平行）.??AB/CD（平行公理）.注意:蹄窩窩是兩蹄尖尖的窩，即蹄窩窩NBOC=兩蹄尖尖的和NB+NC.選填題可用口訣秒殺，但解答題必須一步一步進行推導，寫題過程參考上述兩種情況典例講解：例1.如圖，是我們生活中經(jīng)常接觸的小刀，刀片的外形是一個直角梯形，刀片上、下是平行的，轉動刀片時會形成N1和N2,則N1+N2=.模型識別：N1、N2組成的圖形（如圖3）為豬蹄模型.模型秒殺：Z1+Z2=ZBOC=9G°.同步反饋1.如圖4,在平行線11、12之間放置一塊直角三角板，三角板的銳角頂點A、B分別在直線11、12上，若21=65°,則N2=.同步反饋2.把一副三角板在水平桌面上如圖5擺放，使兩個直角頂點重合，兩條斜邊平行，則21==.

初中數(shù)學50種幾何模型（七年級下學期部分）例2.如圖，NBCD=90°,AB〃DE,試探索N1與N2的數(shù)量關系.想題：題中有我們熟悉的豬蹄模型ABCDE,NABC+N2=NBCD=90°,利用NABC=180°-N1得解.寫題如下：解：過點C作CH〃AB（如圖2）,??NABC:NBCH（兩直線平行，內錯角相等）.「AB〃DE,CH〃AB（E知），???DE〃CH（平行公理），?.N2=NDCH（兩直線平行，內錯角相等）..\ZABC+Z2=ZBCH+ZDCH=ZBCD=90°.XVZABC=180°-Z1,A180°-N1+N2=90°.即N1-N2=90°.變式1.如圖，玲玲在美術課上用絲線繡成了一個“2”，AB〃DE,求NE的度數(shù).想題：題中延長DE至F可得豬蹄模型BACEF.拓展延伸1.如圖，HD〃GE,GB平分NGCF,AF平分NBAHNAFC的余角等于2NABC的補角，求NBAH的度數(shù).想題：圖中兩個豬蹄模型：HABCG和HAFCG.寫題如下：解：設NHAF二a,NGCB=B，：GB平分NGCF,.??NBAH=2NHAF=2a.同理，NGCF=20.作BP〃HD(如圖7)，則NABP=NBAH=2a.VHD#GE,BP#HD,ABP#GE.AZCBP=ZGCB=p.AZABC=ZABP+ZCBP=2a+p.同理，NAFC=a+20.由題設，90°-NAFC=180°-2NABC得2NABC-NAFC=90°,2(2a+B)《a+2B)=90O,解得a=30°,AZBAH=2a=60°.4EB拓展延伸2.如圖，AB〃CD,E、F分別在AB、CD上，且OELOF：廠.點F、G分別在CD、OE上，使OF、OE分別平分NCFG、NAEH,/\\TOC\o"1-5"\h\z求證：FG〃EH. q?想題：由豬蹄模型AEOFC：NAEO+NCFO=90°,易得： \NAEH+NCFG=180°,NAEH+NCHE=180°,從而NCFG二NCHE.「 ，出L寫題如下：解：延長EO交CD于點M(如圖8)VOEXOF,AZEOF=90°.VAB#CD,AZOMF=Z1,.??N1+N2=NOMF+N2=NEOF=90°.?.?FO,EO分別平分NCFG,NAEH,AZCFG=2Z2,NAEH=2N1..??NCFG+NAEH=2(N1+N2)=180°.XVZCHE+ZAEH=180°,..NCFG:NCHE..'?FG〃EH.

初中數(shù)學50種幾何模型（七年級下學期部分）§3.兩平行線間的拐點問題（2）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"知識鏈接 71、平行線的判定：同旁內角互補，兩直線平行； 〃???/1+N2=180°,:.a〃b. 十 平行線的性質：兩直線平行，同旁內角互補.Va//b,.?.N1+N2=180°. ~2、如圖直線AE/DF,右半邊EBOCF就象“子彈頭”， 再從而我們有以下模型： J -7^ 子彈頭模型（右邊EBOCF為子彈頭模型，嵌進豬蹄ABOCD）L 。F如圖1,若BE/CF,貝。NEBO+NBOC+NOCF=360o.證明：過點O作GH/BE（如圖2）,.\ZEBO+ZBOH=18G°（兩直線平行，同旁內角互補）.VBE/CF,GH〃BE（E知），...GH/CF（平行公理），AZHOC+ZOCF=18G°（兩直線平行，同旁內角互補）..\ZEBO+ZBOH+ZHOC+ZOCF=36G°.即NEBO+NBOC+NOCF=36G°.反過來，若NEBO+NBOC+NOCF=36O°，則AB/CD.證明：過點O作GH/BE（如圖2）,.\ZEBO+ZBOH=18G°（兩直線平行，同旁內角互補）.又VNEBO+NBOC+NOCF=36G°,即NEBO+NBOH+NHOC+NOCF=36G°,.?.NHOC+NOCF=18G°,???GH〃CF（同旁內角互補，兩直線平行）..BE/CF（平行公理）.典例講解： 匚 TOC\o"1-5"\h\z例1.如圖，a〃b,N1=1G5°,N2=14G°,則N3= .模型識別：N1、N2與N3的鄰補角構成子彈頭模型. /模型秒殺：N1+N2+18G°-Z3=36G°. 32AAZ3=Z1+Z2-18G°=1G5°+14G°-18G°=65°. / 7 c o同步反饋1.一大門欄桿的平面示意圖如圖所示，BA垂直地面AE于卜/ 仃點A,CD平行于地面AE,若NBCD=15G°,則NABC二.例2.如圖，AB〃DE,N1=3G°,例2.如圖，AB〃DE,N1=3G°,則N2+N3=.模型識別1：考慮圖中有豬蹄模型ABCDE.模型秒殺1：Z2=Z1+ZCDE=Z1+18G°-Z3,AZ2+Z3=3G°+18G°=21G°.模型識別2：考慮圖中有子彈頭模型GBCDF.模型秒殺2：ZGBC+Z2+Z3=36G°,A18G°-Z1+Z2+Z3=36G°,AZ2+Z3=18Go+Z1=21G°.初中數(shù)學50種幾何模型（七年級下學期部分）同步反饋2.,如圖，AD〃CE,NB=100O,則N2-N1=. 且例3.如圖初中數(shù)學50種幾何模型（七年級下學期部分）同步反饋2.,如圖，AD〃CE,NB=100O,則N2-N1=. 且例3.如圖3,NABE+NCDE+NBED=360°,BF、DF分別平分NABE和NCDE.求證：2NBFD+NBED=360°.想題：由NABE+NCDE+NBED=360°可知ABEDC為子彈頭模型,可得AB〃CD,從而ABFDC為豬蹄模型：NBFD=NABF+NCDF.又由兩角分BF、DF,易得2NBFD+NBED=360°.寫題如下：解：（2）設NABF二a,NCDF邛.?「BF平分NABE,...NABE=2NABF=2a.同理NCDE=20.作GE〃AB(如圖4),則NABE+NBEG=180°.XVZABE+ZCDE+ZBED=360°,AZCDE+ZDEG=180°.AGE#CD.^FH〃AB〃CD,則NBFH=NABF二a,NDFH二NCDF=B..\ZBFD=ZBFH+ZDFH=a+p.又?「NBED=360°-ZABE-ZCDE=360°-2a-20...2ZBFD+ZBED=360°.同步反饋3.如圖，在五邊形ABCDE中，x的值為.模型識別：VZB+ZC=120°+60°=180°,.AB〃CD,從而有子彈頭模型CDEAB.模型秒殺：ZD+ZE+ZA=360°.想題：由2彈頭模型ABDEG：ZABD+ZBDE+ZDEG+ZEGH ,iB=180x(2+1)°=540°..180°-Z1+145°+180°-85°+180°-Z2=540°.寫題如下：HD解：分別過D、E兩點作DP〃EQ〃AC〃HF.HD初中數(shù)學50種幾何模型（七年級下學期部分）§4.兩平行線間的拐點問題（3）鋸齒模型（鋸齒模型（口訣：左角和=右角和）平行線間的拐點數(shù)01234左二右ZB=ZCZB+ZD=ZEZB+ZF=ZE+ZCZB+ZF+ZD=ZE+ZGZB+ZF+ZH=ZE+ZG+ZC注意：1、兩平行線間0個拐點即，”字型（內錯角）：,?,AB〃CD,，NC=NB.兩平行線間1個拐點即“豬蹄模型”：過拐點E向右作平行線得“2”字型可證.兩平行線間2個拐點：過拐點F向左作平行線得1個“豬蹄模型”和1個””字型可證.兩平行線間3個拐點：過拐點F向左作平行線得2個“豬蹄模型”可證.兩平行線間4個拐點：過拐點F、H分別向左作平行線得2個“豬蹄模型”和一個”"字型可證.ZF=90°,貝UNA+NC;E.BAEFCD就不是鋸齒模型,2、鋸齒模型必須是左右左右間隔地拉鋸，需與（含）多彈頭（角連續(xù)往一個方向走）模型區(qū)分開來.如圖AB〃CD,NE=120°,可以分別反向延長BA、DC,得2彈頭模型秒殺：180°-ZA+ZE+ZF+180°-ZC=180(2+1)°=540°,AZA+ZC=ZE+ZF-180°=120°+90°-180°=30ZF=90°,貝UNA+NC;E.BAEFCD就不是鋸齒模型,典例講解：TOC\o"1-5"\h\z例1.如圖，AB〃EF,NC=90°,z則x、y、z的數(shù)量關系是 .模型識別：NABCDEF為鋸齒模型.模型秒殺：/利用口訣“左角和二右角和"秒殺： NB+ND=NC+NE,即x+y=90°+z..\x+y-z=90°. 一XE F同步反饋1.如圖，直線AB〃CD,NEFA=NM=30°, FNG=90°,NCNP=50°,則NGHM二. B模型識別：NBFGHMND為鋸齒模型. 一-模型秒殺：/利用口訣“左角和二右角和"秒殺： yLj；ZBFG+ZGHM+ZMND=ZG+ZM.C/ND

初中數(shù)學50種幾何模型（七年級下學期部分）例2.(1)如圖1,已知/3=25°,/3￡0=80°,解：^EF#AB,AZ2=ZB=25°.AZ1=ZBED-Z2=80°-25°=55°.XVZD=55AZ1=ZD.???AB〃CD.ZD=55°,探究AB與CD有怎樣的位置關系.A BA B⑵如圖2,已知AB〃EF,試猜想NB、NFZD=55°,探究AB與CD有怎樣的位置關系.A BA B?「AB〃EF,CG〃AB,??.EF〃CG.AZ1=ZF.AZBCF=Z1+Z2=ZB+ZF.NBCF之間的數(shù)量關系，并加以證明.⑶如圖3,已知AB〃CD,試探究/NBCF之間的數(shù)量關系，并加以證明.⑶如圖3,已知AB〃CD,試探究/1、/2、解：過N3頂點E作EF〃AB,設N2、N4頂點「一】 勺】4分別為G、H,則由⑵可得： 32 f （1：？王Z2=Z1+ZFEG,Z4=Z5+ZFEH. 」 三一4’又???/FEG+NFEH=N3. 力;C工「（AZ2+Z4=Z1+Z3+Z5.拓展延伸.如圖，AB〃EF,NC=60°,求N1、N2、N3之間的數(shù)量關系.DDI)HF圖4已想題：由分別延長BA至G,FE至H（如圖4）,可得鋸齒模型拓展延伸.如圖，AB〃EF,NC=60°,求N1、N2、N3之間的數(shù)量關系.DDI)HF圖4已解：分別過C、D兩點作CP〃DQ〃AB〃EF..?.N1+NACP=180°,即NACP=180°-N1.①ZPCD=ZCDQ=Z3-ZQDE.② J?N2+NQDE=180°,即NQDE=180°-N2.③把③代入②：NPCD=N3+N2-180°.④'①+④：NACP+NPCD=N3+N2-N1.即N3+N2-N1=60°.同步反饋2.如圖，a〃b,N3=N4,N1=30°,求N2.當點P在區(qū)域當點P在區(qū)域②時（如圖2）

當點P在區(qū)域③時（如圖3）

當點P在區(qū)域④時（如圖4）初中數(shù)學50種幾何模型（七年級下學期部分）§5.兩平行線間的拐點問題（4）知識鏈接1、①三角形內角和定理：三角形內角和等于180°.ZBAC+ZB+ZC=180°.又???NBAC+NDAC=180°,???NDAC=NB+NC.這是我們八年級TOC\o"1-5"\h\z上學期要學的“小旗模型”：旗腳=兩旗尖的和.即： 口 /②推論：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；NDAC=NB+NC.2、如圖，一顆斷子彈頭打進了瘸豬蹄從而我們有以下模型：痛豬蹄①與斷子彈頭②，合稱 E、 工、斜拉模型（口訣：斜拉角=大折角-小折角）：皿〃8,則①NE=ND-NB； 注②NE=NB-ND. ①、 \ ②注意：1、斜拉角/E=\ZD-ZB, 5 宜 ） \ 2、選填題可用口訣秒殺，但解答題必須一步一步進行推導，寫題過程可結合小旗模型與平行線的性質或判定完成.典例講解：例1.如圖，F(xiàn)、E分別是矩形ABCD的邊AB、CD上的點，①②③④是射線FE與邊AB隔開的四個區(qū)域（不含邊界且③④均在AB下方）.p為四個區(qū)域中的點，請直接寫出NPEB、NPFC、NEPF的數(shù)量關系. <F3圖1E笈圖2月想題：當點P在區(qū)域①時（如圖1）,CFPEB為豬蹄模型；CFPEB為子彈頭模型；CFPEB為斜拉模型（瘸豬蹄）；CFPEB為斜拉模型（斷子彈頭）.解：當點P在區(qū)域①時，NEPF=NPEB+NPFC；當點P在區(qū)域②時，NEPF+NPEB+NPFC=360°；當點P在區(qū)域③時，NEPF:NPFC-NPEB；當點P在區(qū)域④