2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(70分)解答題標(biāo)準(zhǔn)練(一)理

[70分]解答題標(biāo)準(zhǔn)練(一)1．(2018·鄭州模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，其前n項(xiàng)和為Sn，若a2＋a8＝22，且a4，a7，a12成等比數(shù)列．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若Tn＝1＋1＋＋13SSS，證明：Tn<.12n解∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a2＋a8＝22，a5＝1(a2＋a8)＝11.2∵a4，a7，a12成等比數(shù)列，2∴a7＝a4·a12，即(11＋2d)2＝(11－d)·(11＋7d)，又d≠0，∴d＝2，a1＝11－4×2＝3，an＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N*)．nna＋a(2)證明由(1)得，S＝1n＝n(n＋2)，211＝11－1，∴＝nn＋nn＋2n22S∴Tn＝1＋1＋＋1SSSn11－11－111＝23＋24＋－5＋＋31111n－1－n＋1＋n－n＋2111121＋2－n＋1－n＋2311134－2n＋1＋n＋2<4.3Tn<4.2．(2018·廈門質(zhì)檢)如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2AD＝2，E為CD的中點(diǎn)，PB⊥AE.(1)證明：平面PBD⊥平面ABCD；π(2)若PB＝PD，PC與平面ABCD所成的角為4，求二面角B－PD－C的余弦值．證明由ABCD是直角梯形，AB＝3，BC＝2AD＝2，可得DC＝2，BD＝2，進(jìn)而△BCD是等邊三角形，πBCD＝3，BD均分∠ADC，∵E為CD的中點(diǎn)，DE＝AD＝1，BD⊥AE.又∵PB⊥AE，PB∩BD＝B，又PB，BD?平面PBD，∴AE⊥平面PBD.AE?平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD.解方法一作PO⊥BD于點(diǎn)O，連結(jié)OC，∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PO?平面PBD，PO⊥平面ABCD，π∴∠PCO為PC與平面ABCD所成的角，∠PCO＝4，又∵PB＝PD，O為BD的中點(diǎn)，OC⊥BD，OP＝OC＝3，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸成立空間直角坐標(biāo)系，則(1,0,0)，(0，3，0)，(－1,0,0)，(0,0，3)，BCDP→3，－3)→，－3)．PC＝(0，，PD＝(－1,02設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，→3y－3z＝0，由n·PC＝0，得→·＝0，－x－3z＝0，nPD令z＝1，則x＝－3，＝1，得＝(－3，1,1)．yn又平面PBD的一個(gè)法向量為m＝(0,1,0)，設(shè)二面角B－PD－C的平面角為θ，則|cosθ|＝|n·m|15|n||＝＝，m|5×15由圖可知θ為銳角，∴所求二面角－－的余弦值是5.BPDC5方法二作PO⊥BD于點(diǎn)O，連結(jié)OC，∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PO?平面PBD，PO⊥平面ABCD，π∴∠PCO為PC與平面ABCD所成的角，∠PCO＝，又∵PB＝PD，O為BD的中點(diǎn)，OC⊥BD，OP＝OC＝3，作OH⊥PD于點(diǎn)H，連結(jié)CH，則PD⊥平面CHO，又HC?平面CHO，則PD⊥HC，則∠CHO為所求二面角B－PD－C的平面角．3由OP＝3，得OH＝2，15∴CH＝2，33∴cos∠＝OH25＝15＝.CHOCH523．(2018·益陽模擬)某大型水果商場(chǎng)每日以10元/千克的價(jià)錢從水果基地購進(jìn)若干A水果，而后以15元/千克的價(jià)錢銷售，如有節(jié)余，則將節(jié)余的水果以8元/千克的價(jià)錢退回水果基地，為了確立進(jìn)貨數(shù)目，該商場(chǎng)記錄了A水果近來50天的日需求量(單位：千克)，整理得下表：日需求量140150160170180190200頻數(shù)51088775以50天記錄的各日需求量的頻次取代各日需求量的概率．(1)若該商場(chǎng)一天購進(jìn)A水果150千克，記商場(chǎng)當(dāng)日A水果獲取的收益為X(單位：元)，求X的散布列及希望；若該商場(chǎng)計(jì)劃一天購進(jìn)A水果150千克或160千克，請(qǐng)以當(dāng)日A水果獲取的收益的希望值為決議依照，在150千克與160千克之中任選其一，應(yīng)選哪一個(gè)？若受市場(chǎng)影響，節(jié)余的水果以7元/千克的價(jià)錢退回水果基地，又該選哪一個(gè)？解(1)若A水果日需求量為140千克，則X＝140×(15－10)－(150－140)×(10－8)680(元)，5且P(X＝680)＝50＝0.1.若A水果日需求量不小于150千克，則X＝150×(15－10)＝750(元)，且P(X＝750)＝1－0.1＝0.9.故X的散布列為X680750PE(X)＝680×0.1＋750×0.9＝743.設(shè)該商場(chǎng)一天購進(jìn)A水果160千克，當(dāng)日的收益為Y(單位：元)，則Y的可能取值為140×5－20×2,150×5－10×2,160×5，即660,730,800，則Y的散布列為4Y660730800PE(Y)＝660×0.1＋730×0.2＋800×0.7＝772.由于772>743，因此該商場(chǎng)應(yīng)購進(jìn)160千克A水果．若節(jié)余的水果以7元/千克的價(jià)錢退回水果基地，同理可得X，Y的散布列分別為X670750PY640720800P0.10.20.7由于670×0.1＋750×0.9<640×0.1＋720×0.2＋800×0.7，因此該商場(chǎng)仍是應(yīng)購進(jìn)160千克A水果．4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：x2y2>>0)過點(diǎn)5325a2＋2＝1(2，離心率為.Cbab2，5求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；a2(2)過點(diǎn)K(2,0)作向來線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)作直線l：x＝c的垂線，垂足分別為A1，B1，試問直線AB1與A1B的交點(diǎn)能否為定點(diǎn)，假如，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明原因．a(chǎn)2＝b2＋c2，53a＝5，解(1)由題意得4a2＋4b2＝1，?b＝1，c25c＝2，a＝5因此橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝1.5(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l：＝5，ABx2119.AB與AB的交點(diǎn)是45②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB為y＝k(x－2)，y＝kx－2，由x2＋5y2＝5，2222得(1＋5k)x－20kx＋20k－5＝0，20k220k2－5因此x1＋x2＝1＋5k2，x1x2＝1＋5k2，15，y115，y2，A2，B2因此1：215ylAB52y－x121：＝y(tǒng)2－y1x－5＋y1，lABy52x2－22520k2－525聯(lián)立解得x＝x1x2－41＋5k2－4x1＋x2－5＝202k1＋5k2－5－451＋k29＝－201＋k2＝4，代入上式可得y＝kx2－x1＋y2－10＋4x1－9kx1＋x2＋4kx1x2＋20k＝4x1－1020k220k2－59k·1＋5k2＋4k·1＋5k2＋20k＝4x1－10＝0.119綜上，直線AB與AB過定點(diǎn)4.5．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)(a∈R)．當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的單一區(qū)間；(2)若f(x)≥0對(duì)隨意x∈[1，＋∞)恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍；π1π(3)當(dāng)θ∈0，2時(shí)，試比較2ln(tanθ)與tanθ－4的大小，并說明原因．解(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝(x＋1)lnx－(x－1)，′()＝lnx＋1，fxx61x－1設(shè)g(x)＝lnx＋x(x>0)，則g′(x)＝x2，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單一遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單一遞加，g(x)min＝g(1)＝1>0，f′(x)>0.故f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上單一遞加，無單一遞減區(qū)間．1(2)f′(x)＝lnx＋x＋1－a＝g(x)＋1－a，由(1)可知g(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單一遞加，則g(x)≥g(1)＝1，即f′()在區(qū)間[1，＋∞)上單一遞加，且f′(1)＝2－，xa①當(dāng)a≤2時(shí)，f′(x)≥0，(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單一遞加，∴f(x)≥f(1)＝0知足條件；1②當(dāng)a>2時(shí)，設(shè)h(x)＝lnx＋x＋1－a(x≥1)，11x－1則h′(x)＝x－x2＝x2≥0(x≥1)，∴h(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單一遞加，－a且h(1)＝2－a<0，h(e)＝1＋e>0，∴?x0∈[1，ea]，使得h(x0)＝0，∴當(dāng)x∈[1，x0)時(shí)，h(x)<0，f(x)單一遞減，即當(dāng)x∈[1，x0)時(shí)，f(x)≤f(1)＝0，不知足題意．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，2]．由(2)可知，取a＝2，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＝(x＋1)lnx－2(x－1)>0，1x－1即2lnx>x＋1，1當(dāng)0<x<1時(shí)，x>1，111x－1lnxx－1∴l(xiāng)n>1?2<，2xx＋1x＋1tanθ－1又∵tanθ－4＝tanθ＋1，7π∴當(dāng)0<θ<4時(shí)，0<tanθ<1，1ln(tanθ)<tanπ2θ－4；π1π當(dāng)θ＝4時(shí)，tanθ＝1，2ln(tanθ)＝tanθ－4；當(dāng)π<θ<π時(shí)，tanθ>1，421π2ln(tanθ)>tanθ－4.π1π綜上，當(dāng)θ∈0，4時(shí)，2ln(tanθ)<tanθ－4；π1π當(dāng)θ＝4時(shí)，2ln(tanθ)＝tanθ－4；ππ1π當(dāng)θ∈4，2時(shí)，2ln(tanθ)>tanθ－4.6．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)π，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2π，傾斜角α＝62cosθ－4.(1)寫出直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，并把圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程；若直線l與圓C訂交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離．x＝1＋tcosπ，解(1)直線l的參數(shù)方程為6πy＝2＋tsin6，3x＝1＋2t，即(t為參數(shù)，t∈R)．ty＝2＋2π由ρ＝22cosθ－4，得ρ＝2cosθ＋2sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ，∴x2＋y2＝2x＋2y，∴圓的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.C83x＝1＋2t，代入(x－1)2＋(y－1)2＝2得，(2)把ty＝2＋232＋2＋t－12＝2，1＋2t－12整理得t2＋t－1＝0，＝5>0，t1＋t2＝－1，∴|MP|＝t1＋t2＝1.227．(2018·宿州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－|x|＋3.求不等式f(x)≥3x的解集；x若對(duì)于x的不等式f(x)－x≤2＋a恒成立，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－x＋3≥3x，即x2－4x＋3≥0，解得x≥3或x≤1，因此x≥