集合補(bǔ)課習(xí)題

集合補(bǔ)課習(xí)題集合元素的“三性”及其應(yīng)用集合的特征是學(xué)好集合的基礎(chǔ)解集合題的關(guān)鍵它主要指集合元素的確定性互異性和無(wú)序性些質(zhì)為我們提供了題的依據(jù)別是元素的互異性有慎易錯(cuò)面就集合元素的這三個(gè)性質(zhì)及應(yīng)用加以說(shuō)明．一、注意正確理解其意義1．確定性：即對(duì)任意給定的對(duì)象，相對(duì)于某個(gè)集合來(lái)說(shuō)，要么屬于這個(gè)集合，要么不屬于這個(gè)集合，二者必居其一，關(guān)鍵是理解“確定”的含義．2．互異性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不同的（或說(shuō)是互異的個(gè)集合中的任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象同對(duì)象歸入任一個(gè)集合時(shí)能為這個(gè)集合的一個(gè)元素．3序性由于集合中元素是確定且互異的素完全相同的集合是相等的集合此集合中的元素與順序無(wú)關(guān)．二、注意正確利用“三性”解題例下命題正確的有哪幾個(gè)？⑴很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合集1集5不同的集合集5集，同一個(gè)集合；⑷由∣∣0.5這數(shù)組成的集合有5個(gè)素．分析題主要考查對(duì)集合念的理解這問(wèn)題的關(guān)鍵是以集合中元素的確定性、互異性、無(wú)序性為標(biāo)準(zhǔn)作出判斷．解很小一模糊概念有明確的標(biāo)準(zhǔn)我們很難確定某一個(gè)對(duì)象是否在其中，不符合集合元素的確定性，因此小的實(shí)數(shù)”不能構(gòu)成集合，故⑴錯(cuò)．⑵1，｝由兩個(gè)數(shù)1，組成的集合，根據(jù)集合元素的無(wú)序性，它51是同一個(gè)集合，故⑵錯(cuò)．⑶，由個(gè)點(diǎn)（1，）成的單元素集合，由于（1，）（，）示兩個(gè)不同的點(diǎn)，所以，不同的兩個(gè)集合，故⑶錯(cuò)．⑷＝，∣－∣＝，因此，由，∣－∣0.5這數(shù)組成的集合為有個(gè)素因此，⑷也錯(cuò)．例已集合Ａ＝｛，＋，2＝｛中Ａ＝Ｂ，求的值．分析本最常見(jiàn)的錯(cuò)誤是認(rèn)為兩個(gè)集合的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相同出相應(yīng)的關(guān)系式然求出的值，這顯然違背了集合的無(wú)序性．解：∵Ａ＝Ｂ，及集合元素的無(wú)序性，∴有以下兩種情形：①消去，解得＝，此時(shí)＝，與集合中元素的互異性矛盾，1．②消去，解得＝－，或（去的值為．評(píng)注本中利集合元素的序性和兩集合相等時(shí)的元素特征，得出兩個(gè)方程組開(kāi)了解題的大門求值后又利用了集合元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn)證了所求的結(jié)果的準(zhǔn)確性．例設(shè)＝｛ｘ∣＋（ｂ2）＋ｂ1＝，ｂＡ中所有元素之和．錯(cuò)解：由＋（ｂ2）＋ｂ＋＝得（＋＋＋）＝０（）ｂ＝０，1＝－，時(shí)Ａ中的元素之和為2．

（）ｂ０時(shí)1＋x2＝ｂ．分析上述解法錯(cuò)在）上，當(dāng)ｂ＝０時(shí)，方程有二重根，集合Ａ＝｛元之和為－，錯(cuò)的原因是忽視了集合中元素的“互異性，列舉法表示合時(shí)，要特別注意元素的“互異性例4已集合，，＝+4-2,2-}，求．分析：∵AB={3,7}∴+4+2=7．即=1，=－至此不少學(xué)生認(rèn)為大功告成，事實(shí)上，這只求出了集合，集合B中元素是什么它否滿足元素的互異有于進(jìn)一檢查．=－時(shí)2－=7，在B中重復(fù)出這與元素的互異性相矛盾，故應(yīng)舍－．=1時(shí)B={0,7,3,1}且AB={3,7}∴=1評(píng)注集元素的確定性，互異序在解題中有重要的指導(dǎo)作用，忽視這一點(diǎn)差之毫厘則失之千里．集合學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤種種數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科在合習(xí)中由對(duì)概念理解不清或考慮問(wèn)題不全面等稍不留心就會(huì)不知不覺(jué)地產(chǎn)生錯(cuò)誤文歸納集合學(xué)習(xí)中的種種錯(cuò)誤期助同學(xué)們避免此類錯(cuò)誤的再次發(fā)生．一、混淆集合中元素的形成例集，則．錯(cuò)解：解方程組得剖析：產(chǎn)錯(cuò)誤的原因在于沒(méi)有弄清楚集合中元素的形式淆集與數(shù)集集合中的元素都是有序數(shù)對(duì)，即平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，而不是數(shù)，因而是點(diǎn)集，而不是數(shù)集．二、忽視空集的特殊性例已，若則的值為．錯(cuò)解：由得由得或3或剖析由忽視空集的特殊性――集是任何集合的子集生丟解的錯(cuò)誤以上只討論了的情形，還應(yīng)討論的情形，當(dāng)時(shí)的值為．三、忽視集合中的元素的互異性這一特征例已集合，且求的值．錯(cuò)解：，必有或剖析由忽視集合中元素應(yīng)互這一特征產(chǎn)生增解的錯(cuò)誤．求出的值后，還必須檢驗(yàn)是否滿足集合中元素應(yīng)互異這一特征．事實(shí)上當(dāng)，不足中元素應(yīng)互異這一特征，故應(yīng)舍去．（）時(shí)，滿足且集合中元素互異．

的值為1．四、沒(méi)有弄清全集的含義例設(shè)集，求值．錯(cuò)解：且或剖析：沒(méi)有正確理解全集的含義，產(chǎn)生增解的錯(cuò)誤．全集中應(yīng)含有討論集合中的一切元素，所以還須檢驗(yàn)．（）時(shí)，此時(shí)滿足．（）時(shí)，應(yīng)舍去五、沒(méi)有弄清事物的本質(zhì)例若試問(wèn)是否相等．錯(cuò)解：剖析：只看到兩集合的形式區(qū)別，沒(méi)有弄清事物的本質(zhì)，事實(shí)上是偶數(shù)集，也是偶數(shù)集，兩集合應(yīng)相等，盡管形式不同．換句話說(shuō)，兩集合中所含元素完全相同，六、誤用數(shù)學(xué)符號(hào)例用填空錯(cuò)解：錯(cuò)誤的原因在于沒(méi)有弄清符號(hào)“”與“”之間的區(qū)別“”表示元素與集合之間的關(guān)系表示集合與集合之間的關(guān)系，表示集合，亦是集合集合中的數(shù)學(xué)思想方法例析數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的靈魂知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁息會(huì)越來(lái)越多的要求人們自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想提出問(wèn)題和用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題幾年的高考數(shù)學(xué)試題來(lái)越注重對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的考查已成為高考熱點(diǎn)問(wèn)題幫助同學(xué)們更好地理解和掌握最常用的基本數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法合學(xué)們已經(jīng)學(xué)過(guò)的集合中有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法要點(diǎn)歸納如下，以擴(kuò)大讀者的視野．一、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解集合問(wèn)題時(shí)，當(dāng)一種集合的表達(dá)式不好入手時(shí)，可將其先轉(zhuǎn)化為另一種形式：=B或?qū)?A轉(zhuǎn)為，將轉(zhuǎn)化為，將轉(zhuǎn)化為等．例已M={(x，y)|=x＋a}，，y=2}，使=立的實(shí)數(shù)a的值圍。解：等于方程組無(wú)解。把＋代方程x＋中消去y，得關(guān)于x的一元二次方程2x＋2ax＋－。問(wèn)題又轉(zhuǎn)化為一元二次方程①無(wú)實(shí)根，即eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)－××(a－0由此解得a＞或a＜－。故所求實(shí)數(shù)a的值范圍{＞或＜－。

評(píng)析在解集合符號(hào)的基礎(chǔ)上確地將集合語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為初中已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)問(wèn)題后用所學(xué)的知識(shí)和方法把問(wèn)題解決化可以把抽象知識(shí)用簡(jiǎn)潔的學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，提高解題效率．二、分類討論思想解答集合問(wèn)題時(shí)常常遇到這樣的情況：解題過(guò)程中，解到某一步時(shí)，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的形式繼續(xù)進(jìn)行為時(shí)研究的數(shù)學(xué)對(duì)象已包含了多種可能的情形須定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)這標(biāo)準(zhǔn)劃分成幾個(gè)用不同形式去解決的小問(wèn)題些小問(wèn)題一一加以解決，從而使問(wèn)題得到解決，這就是分類討論的思想方法．例設(shè)合A={x|＋4x，，={x|＋＋＋－，，，若，求實(shí)數(shù)a的值范圍。分析：可分為B=，，=A三種情況討論。解：∵，－，∴分以下三種情況：⑴當(dāng)A時(shí)B={0，，由此知0和4是程＋＋＋－1=0的個(gè)根，由根與系數(shù)之間的關(guān)系，得：a=。⑵當(dāng)BA，又可分為：①時(shí)，eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)＋1)－－0解得＜－；②≠B={0}或B={－并eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)4(a＋－4(a－解得a=－此B滿足題意。綜合⑴、⑵知，所求實(shí)數(shù)a的值為≤1或a=。評(píng)析解類討論問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是整體化為部分來(lái)解決于含參數(shù)的計(jì)劃問(wèn)題常需要對(duì)參數(shù)分類討論。在分類時(shí)要注意“不重不漏空集是任何非空集合的真子集，空集必是非空集合的真子集，因此，=時(shí)也滿足BA．所以中應(yīng)考慮B=B≠種情況，就是說(shuō)，正是空集引法的分類討論．三、開(kāi)放思想開(kāi)放型問(wèn)題是相對(duì)于中學(xué)課本中有明確條件和結(jié)論的封閉型問(wèn)題而言的問(wèn)題的知識(shí)覆蓋面大，綜合性較強(qiáng)，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當(dāng)?shù)纳疃群碗y度．集合中的開(kāi)放型問(wèn)題問(wèn)題大多是結(jié)論不定性開(kāi)放型問(wèn)題．例設(shè)合A={(xy)|y－－0}，集合By)|＋－2y＋=0}集合Cy)|ykx＋}，是否存在k，，使得？若存在，請(qǐng)求出，b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：因?yàn)?，即，所以且．將＋代入－x－1=0得kx(2kb－＋－1=0，因?yàn)?，所以eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)(2kb－－－＜，－＋＜，若此不等式有解，應(yīng)有16b－16＞，＞．又將ykx＋代4x－＋0，得：＋2k)x－2b)=，因?yàn)?，所以eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)(22k)－－，即－＋－＜，此不等式有解，應(yīng)有4－4(8b－＞，得b．②由不等式①、②及，b=．將=代入由eq\o\ac(△,0)和＜組的不等式組，得，再注意到kN，得．故存在自然數(shù)k=1，b=2使．評(píng)析：在數(shù)學(xué)命題中，常以適合某種性質(zhì)的結(jié)論“存在(肯型在否型)否存在論型)”形式出現(xiàn)在就是有適合某種條件或符合某種性質(zhì)的對(duì)象，對(duì)于這類問(wèn)題無(wú)論用什么方法只要找出一個(gè)，就說(shuō)明存在在”就是無(wú)論用什么方法都找不出一個(gè)適合某種已知條件或性質(zhì)的對(duì)象，這類問(wèn)題一般需要推理論證存”結(jié)論

有兩種：一種是可能或存在；另一種是不存在，則需要說(shuō)明理由．高考中解集合問(wèn)題的幾種方法集合是歷來(lái)高考查的重要內(nèi)容之一整個(gè)高中內(nèi)容的基礎(chǔ)由于集合知識(shí)的抽象性給處理集合問(wèn)題帶來(lái)一定的困難，為此結(jié)合歷年高考集合題，例析解集合問(wèn)題的幾種常用方法，供參考。數(shù)軸法由實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)關(guān)系以數(shù)軸上的點(diǎn)或區(qū)間表示數(shù)集而觀形象地分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。例(2005年天津理工高設(shè)合－≥，∈，≥，∈}則∩=()A．－，－2．－，2∪，C．－，3)∪∞D(zhuǎn)－，3)∪，∞解：集合1|≥，∈≥x≤－2，xR}集合≥，∈}={x|x<－或x≥，把集合和集合所表示的范圍在數(shù)軸上表示出來(lái)，可得AB=(－，3)∪，∞例(2005年重慶理工高集合A={∈－－0}，∈R||x－<2}，∩=___________。解：∈－6<2<x<B={x∈－<2}={x|0x<把合A和集合所表示的范圍在數(shù)軸上表示出來(lái)，可得∩={x|0<例3(2005年南理工高集合，={x||x－b|<，a=1是A∩φ”的充分條件，則b的值范圍可以().．－≤0．．≤。．－<b<－D－≤b<解：集合A={x|}={x|－，當(dāng)“=1“時(shí)B={x||xb|<1}=－1b<+以上兩個(gè)圖都ABφ，因?yàn)椤癮=”“∩Bφ”充分條件，由圖可得－≤，故選。性質(zhì)法在解集合問(wèn)題時(shí)，用常用性質(zhì)求解，往往快捷迅速，如CA∪C(AB)，∩A∪φA=,φ∪φA，集合A中有n個(gè)素其子集個(gè)為真子集個(gè)數(shù)為2－等。例4(2000年季高考設(shè)集U={a，，，，e}，合A={a，，，，，，那么CA∩CB（A．φ．．，．，解：CB=C(∪CU=φ，選A.例年國(guó)高)設(shè)集12，集合，2，合B={234}則∪CB(A．{0}．，C．{01，D．，，，，解：因?yàn)锳∩，，∪C(∩，，故C.

例年津文史高)集合≤且x的子集個(gè)數(shù))A．16B．C7D．解：集合，，共個(gè)素，其真子集個(gè)數(shù)為2－故選列舉法對(duì)于