高考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)講義指導(dǎo)三2

2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1．求函數(shù)的定義域，關(guān)鍵是依據(jù)含自變量x的代數(shù)式有意義來列出相應(yīng)的不等式(組)求解，如開偶次方根，被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)；對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)；列不等式時，應(yīng)列出所有的不等式，不應(yīng)遺漏．[回扣問題1]函數(shù)f(x)＝eq\r(log2x－1)的定義域為________．解析要使函數(shù)f(x)有意義，則log2x－1≥0，即x≥2，則函數(shù)f(x)的定義域是[2，＋∞)．答案[2，＋∞)2．求函數(shù)解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系數(shù)法；(3)換元(配湊)法；(4)解方程法等．用換元法求解析式時，要注意新元的取值范圍，即函數(shù)的定義域問題．[回扣問題2]已知f(eq\r(x))＝x＋2eq\r(x)，則f(x)＝________．答案x2＋2x(x≥0)3．分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用不同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)．[回扣問題3]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x＜0，,lnx，x＞0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))))＝________．答案eq\f(1,e)4．函數(shù)的奇偶性若f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，f(x)是偶函數(shù)f(－x)＝f(x)＝f(|x|);f(x)是奇函數(shù)f(－x)＝－f(x)；定義域含0的奇函數(shù)滿足f(0)＝0；定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分的條件；判斷函數(shù)的奇偶性，先求定義域，若其定義域關(guān)于原點對稱，再找f(x)與f(－x)的關(guān)系．[回扣問題4](1)若f(x)＝2x＋2－xlga是奇函數(shù)，則實數(shù)a＝________．(2)已知f(x)為偶函數(shù)，它在[0，＋∞)上是減函數(shù)，若f(lgx)＞f(1)，則x的取值范圍是________．答案(1)eq\f(1,10)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，10))5．函數(shù)的周期性由周期函數(shù)的定義“函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(a＋x)(a≠0)，則f(x)是周期為a的周期函數(shù)”得：①函數(shù)f(x)滿足－f(x)＝f(a＋x)，則f(x)是周期T＝2a的周期函數(shù)；②若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)(a≠0)成立，則T＝2a；③若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)(a≠0)恒成立，則T＝2a.[回扣問題5]函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0<x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2<x≤0，))則f(f(15))的值為________．解析因為函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是4.因為在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cos\f(πx,2)，0<x≤2，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，－2<x≤0，))所以f(f(15))＝f(f(－1))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)6．函數(shù)的單調(diào)性(1)定義法：設(shè)x1，x2∈[a，b]，x1≠x2那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．(2)導(dǎo)數(shù)法：注意f′(x)＞0能推出f(x)為增函數(shù)，但反之不一定．如函數(shù)f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，但f′(x)≥0；∴f′(x)＞0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件．(3)復(fù)合函數(shù)由同增異減的判定法則來判定．(4)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“和”連接，或用“，”隔開．單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替．[回扣問題6](1)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)的單調(diào)減區(qū)間為________．(2)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[0，＋∞)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))答案(1)(－∞，0)，(0，＋∞)(2)D7．求函數(shù)最值(值域)常用的方法：(1)單調(diào)性法：適合于已知或能判斷單調(diào)性的函數(shù)；(2)圖象法：適合于已知或易作出圖象的函數(shù)；(3)基本不等式法：特別適合于分式結(jié)構(gòu)或兩元的函數(shù)；(4)導(dǎo)數(shù)法：適合于可導(dǎo)函數(shù)；(5)換元法(特別注意新元的范圍)；(6)分離常數(shù)法：適合于一次分式；(7)有界函數(shù)法：適用于含有指、對數(shù)函數(shù)或正、余弦函數(shù)的式子．無論用什么方法求最值，都要考查“等號”是否成立，特別是基本不等式法，并且要優(yōu)先考慮定義域．[回扣問題7]函數(shù)y＝eq\f(2x,2x＋1)的值域為________．答案(0，1)8．函數(shù)圖象的幾種常見變換(1)平移變換：左右平移——“左加右減”(注意是針對x而言)；上下平移——“上加下減”．(2)翻折變換：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．(3)對稱變換：①證明函數(shù)圖象的對稱性，即證圖象上任意點關(guān)于對稱中心(軸)的對稱點仍在圖象上；②函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱；③函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于直線x＝0(y軸)對稱；函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(x)的圖象關(guān)于直線y＝0(x軸)對稱．[回扣問題8](1)函數(shù)y＝eq\f(3x－1,x＋2)的圖象關(guān)于點________對稱．(2)函數(shù)f(x)＝|lgx|的單調(diào)遞減區(qū)間為________．答案(1)(－2，3)(2)(0，1)9．二次函數(shù)問題(1)處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合．二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向，二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系．(2)二次函數(shù)解析式的三種形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②頂點式：f(x)＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)；③零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(3)一元二次方程實根分布：先觀察二次項系數(shù)，Δ與0的關(guān)系，對稱軸與區(qū)間的關(guān)系及有窮區(qū)間端點函數(shù)值符號，再根據(jù)上述特征畫出草圖．尤其注意若原題中沒有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，要考慮到二次項系數(shù)可能為零的情形．[回扣問題9]關(guān)于x的方程ax2－x＋1＝0至少有一個正根的充要條件是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))10．指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)：(1)指數(shù)運算性質(zhì)：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r，s∈Q)．(2)對數(shù)運算性質(zhì)：已知a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0，則loga(MN)＝logaM＋logaN，logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，logaMn＝nlogaM，對數(shù)換底公式：logaN＝eq\f(logbN,logba).推論：logamNn＝eq\f(n,m)logaN；logab＝eq\f(1,logba).[回扣問題10]設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝()A.eq\r(10) B．10 C．20 D．100答案A11．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)：可從定義域、值域、單調(diào)性、函數(shù)值的變化情況考慮，特別注意底數(shù)的取值對有關(guān)性質(zhì)的影響，另外，指數(shù)函數(shù)y＝ax的圖象恒過定點(0，1)，對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象恒過定點(1，0)．[回扣問題11](1)已知a＝2－eq\f(1,3)，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1,3)，則()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞b(2)函數(shù)y＝loga|x|的增區(qū)間為________．答案(1)D(2)當(dāng)a＞1時，(0，＋∞)；當(dāng)0＜a＜1時，(－∞，0)12．函數(shù)與方程(1)對于函數(shù)y＝f(x)，使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．事實上，函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)根．(2)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)曲線，且有f(a)f(b)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此時這個c就是方程f(x)＝0的根；反之不成立．[回扣問題12]設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在區(qū)間是()A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)答案B13．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線y＝f(x)在P(x0，f(x0))處的切線的斜率f′(x0)，相應(yīng)的切線方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0)．注意過某點的切線不一定只有一條．[回扣問題13]已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，過點P(2，－6)作曲線y＝f(x)的切線，則此切線的方程是____________．答案3x＋y＝0或24x－y－54＝014．常用的求導(dǎo)方法(1)(xm)′＝mxm－1，(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx，(ex)′＝ex，(lnx)′＝eq\f(1,x)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2).(2)(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(u,v)))′＝eq\f(u′v－uv′,v2)(v≠0)．[回扣問題14]已知f(x)＝xlnx，則f′(x)＝________；已知f(x)＝eq\f(ex,x)，則f′(x)＝________．答案lnx＋1eq\f(ex（x－1）,x2)15．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f′(x)＞0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；如果f′(x)＜0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為常函數(shù)．注意如果已知f(x)為減函數(shù)求字母取值范圍，那