新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用2空間中的平面與空間向量第1課時(shí)平面的法向量及線面位置關(guān)系學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE10第1課時(shí)平面的法向量及線面位置關(guān)系課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能用向量語(yǔ)言描述平面,理解平面的法向量的概念,會(huì)求平面的法向量.2.能用直線的方向向量及平面的法向量證明直線與平面平行、垂直.1.數(shù)學(xué)抽象——能理解平面的法向量的概念,會(huì)求平面的法向量.2.邏輯推理——會(huì)用向量法證明直線與平面平行、垂直.自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)教材研習(xí)教材原句要點(diǎn)一平面的法向量1.法向量的概念如果α是空間中的一個(gè)平面,n是空間中的一個(gè)非零向量,且表示n的有向線段所在的直線與平面α①垂直,則稱(chēng)n為平面α的一個(gè)法向量.此時(shí),也稱(chēng)n與平面α垂直,記作②n⊥α2.法向量的性質(zhì)根據(jù)定義可知,平面的法向量有如下性質(zhì):（1）如果直線l垂直平面α,則直線l的③任意一個(gè)方向向量都是平面α的一個(gè)法向量;（2）如果n是平面α的一個(gè)法向量,則對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ≠0,空間向量λn也是平面α的一個(gè)法向量,而且平面α的任意兩個(gè)④法向量（3）如果n為平面α的一個(gè)法向量,A為平面α上一個(gè)已知的點(diǎn),則對(duì)于平面α上任意一點(diǎn)B,向量AB一定與向量n垂直,即⑤AB?n=0,從而可知平面α的位置可由n要點(diǎn)二直線、平面垂直、平行的判定如果v是直線l的一個(gè)方向向量,n是平面α的一個(gè)法向量,則n//v?⑥l⊥α;n⊥v自主思考1.零向量為什么不能作為平面的法向量?答案：提示因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄渴怯脕?lái)描述空間中平面的位置的,而零向量的方向是任意的,所以無(wú)法用零向量來(lái)描述空間中平面的位置,即零向量不能作為平面的法向量.2.如果a,b與平面α共面且n⊥a,答案：提示當(dāng)a,b共線時(shí),n不一定是平面3.若直線l的一個(gè)方向向量為v=(-2,3,0),平面α的一個(gè)法向量為n=(1,-32,0),則直線l答案：提示當(dāng)n=(1,-32,0)時(shí),當(dāng)n=(3,2,0)時(shí),因?yàn)関?n=0,所以v⊥n名師點(diǎn)睛1.平面法向量的確定通常有兩種方法（1）直接尋找：當(dāng)幾何體中已經(jīng)給出有向線段,只需證明線面垂直即可.（2）待定系數(shù)法：當(dāng)幾何體中沒(méi)有具體的直線可以作為法向量時(shí),根據(jù)已知平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量,可以建立空間直角坐標(biāo)系,運(yùn)用待定系數(shù)法求解平面的法向量.2.求平面的法向量時(shí),只需構(gòu)建兩個(gè)方程求解即可.這是因?yàn)楦鶕?jù)線面垂直的判定定理可知,只要直線垂直于該平面內(nèi)的任意兩條相交直線,它就垂直于該平面,也就垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線,所以法向量的坐標(biāo)只要滿足兩個(gè)方程就可以了,從這個(gè)角度也可以說(shuō)明一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè),并且這些法向量都是平行的.互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一求平面的法向量自測(cè)自評(píng)1.（多選)（2021山東青島二中高二月考）已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0,-1),且平行于向量a=(2,1,1),平面α過(guò)直線l與點(diǎn)M(1,2,3),則平面αA.(1,-4,2)B.(C.(-1答案：A;B;C解析：由題意可知,平面α的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM,PM=(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4)選項(xiàng)A,(2,1,1)?(1,-4,2)=0,(0,2,4)?(1,-4,2)=0,滿足垂直,故正確;選項(xiàng)B,(2,1,1)?(1選項(xiàng)C,(2,1,1)?(-1選項(xiàng)D,(2,1,1)?(0,-1,1)=0,但(0,2,4)?(0,-1,1)≠0,故錯(cuò)誤.2.在三棱錐P-ABC中,CP、CA、CB兩兩垂直,AC=CB=1,PC=2,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則下列向量中是平面PAB的一個(gè)法向量的是()A.(1,1,12C.(1,1,1)D.(2,-2,1)答案：A解析：∵A(1,0,0),B(0,1,0),P(0,0,2),∴PA=(1,0,-2),AB=(-1,1,0)由n?PA→=0,∴n又(1,1,12)=12n,3.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn),求平面EDB的一個(gè)法向量.答案：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),E(0,12,12),B(1,1,0),則DE=(0,12,12),DB=(1,1,0).設(shè)平面EDB解題感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟（1）設(shè)向量:設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)（2）選向量:在平面內(nèi)選取兩個(gè)不共線的向量AB,（3）列方程組:由n⊥（4）解方程組:n（5）賦非零值:取其中一個(gè)為非零值（常取±1）.（6）得結(jié)論:得到平面的一個(gè)法向量.探究點(diǎn)二利用空間向量證明線面平行精講精練例如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AB=4,AA答案：證明如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,則A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),∴D設(shè)平面EFC的一個(gè)法向量為n＝(x,y,z),則令x=1,解得y=1,z=4.∴n又D1∴n又D1G?平面EFC,∴D解題感悟利用向量證明線面平行問(wèn)題的方法（1）證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.（2）證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一直線的方向向量共線.（3）證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線的向量表示,即用平面向量基本定理證明線面平行.遷移應(yīng)用1.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1答案：證明以C1為原點(diǎn),C1B由于A1M=AN=D1(0,a,0),則又C1D1⊥平面BB因?yàn)镸N?C1又MN?平面BB1C1探究點(diǎn)三利用空間向量證明線面垂直精講精練例如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1答案：證明設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,2,0),B∴EF設(shè)平面B1AC的一個(gè)法向量為則n?AB1→∴平面B1AC的一個(gè)法向量為n=(1,1,-1)∴EF⊥平面B1解題感悟利用向量證明線面垂直的方法1.證明直線的方向向量與平面的法向量平行.2.證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩相交直線的方向向量分別垂直.步驟：（1）求直線的方向向量;（2）求出平面內(nèi)兩相交直線的方向向量;（3）分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積,得數(shù)量積為0.遷移應(yīng)用1.若直線l的一個(gè)方向向量為a=(1,0,2),平面α的一個(gè)法向量為nA.l∥αB.l⊥αC.l?αD.l與α斜交答案：B解析：∵a=(1,0,2),n2.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD=1,E,F分別為CD,PB的中點(diǎn).求證：EF⊥平面PAB.答案：證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DC,DA,設(shè)E(a,0,0),其中a>0,則C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,1則EF=(0,12,1又PB?平面PAB,AB?平面PAB,PB∩AB=B,所以EF⊥平面PAB.評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升課堂檢測(cè)1.（2021北京大興第一中學(xué)高二期中）若向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),則平面A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,2,1)答案：A2.如圖,在正方體ABCD-A'BA.B'C'B.A'答案：B3.如果直線l的一個(gè)方向向量是a=(-2,0,1),且直線l上有一點(diǎn)P不在平面α內(nèi),平面α的一個(gè)法向量是bA.直線l與平面α垂直B.直線l與平面α平行C.直線l在平面α內(nèi)D.直線l與平面α相交但不垂直答案：B4.（2020山東煙臺(tái)一中高二檢測(cè)）已知直線l的一個(gè)方向向量為d=(2,3,5),平面α的一個(gè)法向量為u=(-4,m,n),若l⊥α,則m+n=答案：-16素養(yǎng)演練邏輯推理—利用空間向量解決線面關(guān)系的探索性問(wèn)題1.在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點(diǎn).（1）求證：EF⊥CD;（2）在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)G,使GF⊥平面PCB？若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：（1）證明：由題意知,DA,DC,DP兩兩垂直.所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)AD=a,則D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,a2,0),P(0,0,a),F(a2因?yàn)镋F?DC=0,所以EF（2）存在.假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G,設(shè)G(x,0,z),則FG