新教材高中數學第一章集合與常用邏輯用語3集合的基本運算課件新人教A版必修第一冊

1.3集合的基本運算本節(jié)要學會準確利用運算法則進行運算,逐步培養(yǎng)運算能力.學習時還應注意以

下幾點:1.理解兩個集合的并集與交集的含義,理解在給定集合中一個子集的補集的含義,

能求兩個集合的并集、交集以及一個集合在給定集合中的補集.2.能用Venn圖表示集合的基本運算,體會圖形對理解抽象概念的作用,培養(yǎng)直觀

想象的數學素養(yǎng).1|并集與交集

文字語言符號語言圖形語言運算性質并集一般地,由所有屬

于集合A①

或

屬于集合B的元素

組成的集合,稱為

集合A與B的并集,

記作②

A∪B

(讀作“A并B”)A∪B=③{x|x∈

A,或x∈B}

A∪B=B∪A,A∪A

=A,A∪?=?∪A=A,A?(A∪B),B?(A

∪B),A?B?A∪B=B文字語言符號語言圖形語言運算性質交集一般地,由所有屬

于集合A④且

屬于集合B的元素

組成的集合,稱為

集合A與B的交集,

記作⑤

A∩B

(讀作“A交B”)A∩B=⑥{x|x∈

A,且x∈B}

A∩B=B∩A,A∩A

=A,A∩?=?∩A=?,(A∩B)?A,(A∩B)

?B,A?B?A∩B=A續(xù)表1.全集一般地,如果一個集合含有所研究問題中涉及的⑦所有元素

,那么就稱這個

集合為全集,通常記作U.2.補集2|全集與補集文字語言對于一個集合A,由全集U中⑧不屬于

集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集,簡稱為集合A的補集,記作⑨

?UA

符號語言?UA=⑩{x|x∈U,且x?A}

圖形語言

運算性質?UA?U,?UU=?,?U?=U,?U(?UA)=A,A∪(?UA)=U,A∩(?UA)=?在研究集合時,會遇到有關集合中元素個數的問題.我們把有限集合A的元素

個數記作card(A).例如,A={a,b,c},則card(A)=3.一般地,對任意兩個有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),如圖1.

圖13|有限集合的并集中元素的個數對于三個有限集合A,B,C,它們的并集中元素的個數公式是card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C),如圖2.

圖21.?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).2.?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).4|德·摩根定律1.?UA?U.

(√)2.在全集U中存在某個元素x0,既有x0?A,又有x0??UA,其中A為U的一個子集.(

?)3.若集合A,B中分別有2個元素,則A∪B中必有4個元素.

(

?)4.根據研究問題的不同,可以指定不同的全集.

(√)提示:全集是一個相對概念,因研究問題的不同而變化,如在實數范圍內解不等式,

全集為實數集R,而在整數范圍內解不等式,則全集為整數集Z.5.若A∪B=A,B≠?,則B中的每個元素都屬于集合A.

(√)提示:當A∪B=A時,B?A,又B≠?,所以B中的每個元素都屬于集合A.6.若A∩B=C∩B,則A=C.

(

?)提示:當B=?時,A∩B=C∩B=?,但A,C可以是任意集合,故A=C不一定成立.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.1|利用集合的運算性質求參數的值或取值范圍由集合的運算性質求參數的值或取值范圍的思路1.將集合中的運算關系轉化為兩個(或多個)集合之間的關系.若集合中的元素能

被一一列舉,則可用觀察法得到集合之間的關系;與不等式有關的集合,可利用數

軸得到集合之間的關系.2.將集合之間的關系轉化為方程(組)或不等式(組).3.利用解方程(組)或解不等式(組)來確定參數的值或取值范圍時,需注意兩點:(1)由集合間的運算得到的新集合一定要滿足集合中元素的互異性,在求解含參

數的問題時,要注意這一隱含的條件.(2)涉及A∪B=A或A∩B=B的問題,可利用集合的運算性質,轉化為集合之間的關

系求解,注意空集的特殊性.(2020湖北黃岡黃梅國際育才高級中學高一期中)已知集合A={x|a-1<x<2a+3},B=

{x|-2≤x≤4}.(1)當a=2時,求A∪B;(2)若

,求實數a的取值范圍.在①A∩B=A,②A∩(?RB)=A,③A∩B=?這三個條件中任選一個,補充在(2)中的

橫線上,并求解.思路點撥(1)當a=2時,求得集合A,根據集合的并集運算求解.(2)若選擇①A∩B=A,則A?B,分集合A是空集和不是空集兩種情況討論,得到實數

a的取值范圍;若選擇②A∩(?RB)=A,則A是?RB的子集,分集合A是空集和不是空

集兩種情況討論,得到實數a的取值范圍;若選擇③A∩B=?,則分集合A是空集和

不是空集兩種情況討論,得到實數a的取值范圍.解析

(1)當a=2時,集合A={x|1<x<7},又B={x|-2≤x≤4},所以A∪B={x|-2≤x<7}.(2)若選擇①A∩B=A,則A?B.當a-1≥2a+3,即a≤-4時,A=?,滿足題意;當a>-4時,應滿足

解得-1≤a≤

.綜上可知,實數a的取值范圍為

.若選擇②A∩(?RB)=A,則A是?RB的子集,易得?RB={x|x<-2或x>4}.當a-1≥2a+3,即a≤-4時,A=?,滿足題意;當a>-4時,應滿足2a+3≤-2或a-1≥4,解得-4<a≤-

或a≥5.綜上可知,實數a的取值范圍為

a

a≤-

或a≥5

.若選擇③A∩B=?,則當a-1≥2a+3,即a≤-4時,A=?,滿足題意;當a>-4時,應滿足2a+3≤-2或a-1≥4,解得-4<a≤-

或a≥5,綜上可知,實數a的取值范圍為

a

a≤-

或a≥5

.2|“補集思想”新學期開學啦!學生們都高高興興地來到了新的學校,開始了高中的學習生

活.數學老師想了解一下同學們在初中的數學成績,讓你幫忙統計一下中招考試

中數學成績在110分以下(低于110分)的有多少人.問題1.你打算怎么辦?運用了什么數學方法?提示:由于中招考試中數學滿分是120分,因此成績在110分以下的同學應該占大

多數,直接統計110分以下的較麻煩,可以先統計110分以上(含110分)的有多少人,

再用全班人數減去這個人數就是成績在110分以下的人數.運用了補集的思想方法.2.“補集思想”的原理是什么?提示:?U(?UA)=A,即在全集U中對A的補集再求補集得到的就是集合A.對于一些比較復雜、比較抽象、條件和結論之間關系不明朗、難以從正面入手

的數學問題,在解題時,可以調整思路,從問題的對立面入手,探求已知和未知的關

系,這時能起到化難為易、化隱為顯的作用,從而將問題解決.這就是“正難則

反”的解題策略.這種“正難則反”的策略運用的是補集思想,即已知全集U,求

其子集A時,若直接求A較困難,則可先求?UA,再利用?U(?UA)=A求A.1.運用補集思想解題的方法一般適用于正面考慮的情況較多、問題較復雜的時

候,或含有至多、至少、存在唯一、不存在等的問題中.2.用補集思想解含參問題的步驟:(1)否定已知條件,考慮問題的反面;(2)求問題的反面對應的參數的集合;(3)取問題的反面對應的參數的范圍的補集,注意全集的范圍.已知集合A={x|x2+ax+1=0},B={x|x2+2x-a=0},C={x|x2+2ax+2