新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語3集合的基本運(yùn)算課件新人教A版必修第一冊

1.3集合的基本運(yùn)算本節(jié)要學(xué)會準(zhǔn)確利用運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算,逐步培養(yǎng)運(yùn)算能力.學(xué)習(xí)時還應(yīng)注意以

下幾點(diǎn):1.理解兩個集合的并集與交集的含義,理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義,

能求兩個集合的并集、交集以及一個集合在給定集合中的補(bǔ)集.2.能用Venn圖表示集合的基本運(yùn)算,體會圖形對理解抽象概念的作用,培養(yǎng)直觀

想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).1|并集與交集

文字語言符號語言圖形語言運(yùn)算性質(zhì)并集一般地,由所有屬

于集合A①

或

屬于集合B的元素

組成的集合,稱為

集合A與B的并集,

記作②

A∪B

(讀作“A并B”)A∪B=③{x|x∈

A,或x∈B}

A∪B=B∪A,A∪A

=A,A∪?=?∪A=A,A?(A∪B),B?(A

∪B),A?B?A∪B=B文字語言符號語言圖形語言運(yùn)算性質(zhì)交集一般地,由所有屬

于集合A④且

屬于集合B的元素

組成的集合,稱為

集合A與B的交集,

記作⑤

A∩B

(讀作“A交B”)A∩B=⑥{x|x∈

A,且x∈B}

A∩B=B∩A,A∩A

=A,A∩?=?∩A=?,(A∩B)?A,(A∩B)

?B,A?B?A∩B=A續(xù)表1.全集一般地,如果一個集合含有所研究問題中涉及的⑦所有元素

,那么就稱這個

集合為全集,通常記作U.2.補(bǔ)集2|全集與補(bǔ)集文字語言對于一個集合A,由全集U中⑧不屬于

集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集,簡稱為集合A的補(bǔ)集,記作⑨

?UA

符號語言?UA=⑩{x|x∈U,且x?A}

圖形語言

運(yùn)算性質(zhì)?UA?U,?UU=?,?U?=U,?U(?UA)=A,A∪(?UA)=U,A∩(?UA)=?在研究集合時,會遇到有關(guān)集合中元素個數(shù)的問題.我們把有限集合A的元素

個數(shù)記作card(A).例如,A={a,b,c},則card(A)=3.一般地,對任意兩個有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),如圖1.

圖13|有限集合的并集中元素的個數(shù)對于三個有限集合A,B,C,它們的并集中元素的個數(shù)公式是card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C),如圖2.

圖21.?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).2.?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).4|德·摩根定律1.?UA?U.

(√)2.在全集U中存在某個元素x0,既有x0?A,又有x0??UA,其中A為U的一個子集.(

?)3.若集合A,B中分別有2個元素,則A∪B中必有4個元素.

(

?)4.根據(jù)研究問題的不同,可以指定不同的全集.

(√)提示:全集是一個相對概念,因研究問題的不同而變化,如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解不等式,

全集為實(shí)數(shù)集R,而在整數(shù)范圍內(nèi)解不等式,則全集為整數(shù)集Z.5.若A∪B=A,B≠?,則B中的每個元素都屬于集合A.

(√)提示:當(dāng)A∪B=A時,B?A,又B≠?,所以B中的每個元素都屬于集合A.6.若A∩B=C∩B,則A=C.

(

?)提示:當(dāng)B=?時,A∩B=C∩B=?,但A,C可以是任意集合,故A=C不一定成立.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.1|利用集合的運(yùn)算性質(zhì)求參數(shù)的值或取值范圍由集合的運(yùn)算性質(zhì)求參數(shù)的值或取值范圍的思路1.將集合中的運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(或多個)集合之間的關(guān)系.若集合中的元素能

被一一列舉,則可用觀察法得到集合之間的關(guān)系;與不等式有關(guān)的集合,可利用數(shù)

軸得到集合之間的關(guān)系.2.將集合之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程(組)或不等式(組).3.利用解方程(組)或解不等式(組)來確定參數(shù)的值或取值范圍時,需注意兩點(diǎn):(1)由集合間的運(yùn)算得到的新集合一定要滿足集合中元素的互異性,在求解含參

數(shù)的問題時,要注意這一隱含的條件.(2)涉及A∪B=A或A∩B=B的問題,可利用集合的運(yùn)算性質(zhì),轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)

系求解,注意空集的特殊性.(2020湖北黃岡黃梅國際育才高級中學(xué)高一期中)已知集合A={x|a-1<x<2a+3},B=

{x|-2≤x≤4}.(1)當(dāng)a=2時,求A∪B;(2)若

,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.在①A∩B=A,②A∩(?RB)=A,③A∩B=?這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在(2)中的

橫線上,并求解.思路點(diǎn)撥(1)當(dāng)a=2時,求得集合A,根據(jù)集合的并集運(yùn)算求解.(2)若選擇①A∩B=A,則A?B,分集合A是空集和不是空集兩種情況討論,得到實(shí)數(shù)

a的取值范圍;若選擇②A∩(?RB)=A,則A是?RB的子集,分集合A是空集和不是空

集兩種情況討論,得到實(shí)數(shù)a的取值范圍;若選擇③A∩B=?,則分集合A是空集和

不是空集兩種情況討論,得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析

(1)當(dāng)a=2時,集合A={x|1<x<7},又B={x|-2≤x≤4},所以A∪B={x|-2≤x<7}.(2)若選擇①A∩B=A,則A?B.當(dāng)a-1≥2a+3,即a≤-4時,A=?,滿足題意;當(dāng)a>-4時,應(yīng)滿足

解得-1≤a≤

.綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.若選擇②A∩(?RB)=A,則A是?RB的子集,易得?RB={x|x<-2或x>4}.當(dāng)a-1≥2a+3,即a≤-4時,A=?,滿足題意;當(dāng)a>-4時,應(yīng)滿足2a+3≤-2或a-1≥4,解得-4<a≤-

或a≥5.綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為

a

a≤-

或a≥5

.若選擇③A∩B=?,則當(dāng)a-1≥2a+3,即a≤-4時,A=?,滿足題意;當(dāng)a>-4時,應(yīng)滿足2a+3≤-2或a-1≥4,解得-4<a≤-

或a≥5,綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為

a

a≤-

或a≥5

.2|“補(bǔ)集思想”新學(xué)期開學(xué)啦!學(xué)生們都高高興興地來到了新的學(xué)校,開始了高中的學(xué)習(xí)生

活.數(shù)學(xué)老師想了解一下同學(xué)們在初中的數(shù)學(xué)成績,讓你幫忙統(tǒng)計一下中招考試

中數(shù)學(xué)成績在110分以下(低于110分)的有多少人.問題1.你打算怎么辦?運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)方法?提示:由于中招考試中數(shù)學(xué)滿分是120分,因此成績在110分以下的同學(xué)應(yīng)該占大

多數(shù),直接統(tǒng)計110分以下的較麻煩,可以先統(tǒng)計110分以上(含110分)的有多少人,

再用全班人數(shù)減去這個人數(shù)就是成績在110分以下的人數(shù).運(yùn)用了補(bǔ)集的思想方法.2.“補(bǔ)集思想”的原理是什么?提示:?U(?UA)=A,即在全集U中對A的補(bǔ)集再求補(bǔ)集得到的就是集合A.對于一些比較復(fù)雜、比較抽象、條件和結(jié)論之間關(guān)系不明朗、難以從正面入手

的數(shù)學(xué)問題,在解題時,可以調(diào)整思路,從問題的對立面入手,探求已知和未知的關(guān)

系,這時能起到化難為易、化隱為顯的作用,從而將問題解決.這就是“正難則

反”的解題策略.這種“正難則反”的策略運(yùn)用的是補(bǔ)集思想,即已知全集U,求

其子集A時,若直接求A較困難,則可先求?UA,再利用?U(?UA)=A求A.1.運(yùn)用補(bǔ)集思想解題的方法一般適用于正面考慮的情況較多、問題較復(fù)雜的時

候,或含有至多、至少、存在唯一、不存在等的問題中.2.用補(bǔ)集思想解含參問題的步驟:(1)否定已知條件,考慮問題的反面;(2)求問題的反面對應(yīng)的參數(shù)的集合;(3)取問題的反面對應(yīng)的參數(shù)的范圍的補(bǔ)集,注意全集的范圍.已知集合A={x|x2+ax+1=0},B={x|x2+2x-a=0},C={x|x2+2ax+2