新教材高中數(shù)學第二章平面解析幾何加練課3對稱及其應用學案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE7加練課3對稱及其應用學習目標1.理解中心對稱與軸對稱的幾何意義.2.掌握中心對稱與軸對稱問題的一般解法.3.能利用中心對稱與軸對稱的知識解決簡單的應用問題.自主檢測·必備知識一、概念辨析，判斷正誤1.如果兩條直線的傾斜角互補，那么這兩條直線關于x軸對稱.(√)2.若點A，B關于直線l對稱，則直線AB與直線l垂直.(×)3.若直線l1，l2關于直線l對稱，則直線l1二、夯實基礎，自我檢測4.點(2,1)關于直線y=x對稱的點的坐標為()A.(1,2)B.(1,3)C.(3,-1)D.(-1,3)答案：A5.與直線3x-4y+5=0關于坐標原點對稱的直線的方程為()A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.3x-4y+5=0D.3x-4y-5=0答案：D解析：設所求直線上任意一點的坐標為(x,y)，則關于原點對稱的點的坐標為(-x,-y)，該點在已知的直線上，則-3x+4y+5=0，即3x-4y-5=0.6.已知點M(4,2)與N(2,4)關于直線l對稱，則直線l的方程為()A.x+y+6=0B.x+y-6=0C.x+y=0D.x-y=0答案：D解析：∵M(4,2),N(2,4),∴線段MN的中點為(3,3),k∵M(4,2)與N(2,4)關于直線l對稱，∴l(xiāng)過點(3,3)，且斜率為1，∴直線l的方程為y-3=x-3，即x-y=0，故選D.7.與直線2y-x+1=0關于y-x+3=0對稱的直線的方程是()A.2x-y-8=0B.2x-y-10=0C.2x+y-12=0D.2x+y-10=0答案：A解析：設所求直線上任意一點P(x,y)，Q(x,y)是點P關于直線y-x+3=0的對稱點，則y1-yx1-x=-1,y1+y2-互動探究·關鍵能力探究點一中心對稱問題精講精練例（1）求點P(x0,y0（2）求直線3x-y-4=0關于點(2,-1)的對稱直線l的方程.答案：（1）根據(jù)題意可知點A(a,b)為線段PP設點P'的坐標為(x1,y所以點P'的坐標為(2a-（2）設直線l上任意一點M的坐標為(x，y)，則此點關于點(2，-1)的對稱點為M1(4-x，-2-y)，且M1所以3(4-x)-(-2-y)-4=0，即3x-y-10=0.所以所求直線l的方程為3x-y-10=0.解題感悟中心對稱問題的解法：（1）點關于點的對稱問題：若兩點A(x1,y1),B(x2（2）直線關于點的對稱問題：若兩條直線l1，l2關于點P對稱，則：①l1上任意一點關于點P的對稱點必在l2上，反過來，l2上任意一點關于點P的對稱點必在l1上；②過點P作一直線與l1，l2分別交于A，B兩點，則點P是線段AB的中點；③若遷移應用1.過點P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0截得的線段被點答案：x＋4y－4＝0解析：設l1與l的交點為A(a,8－2a)，點A關于點P的對稱點為B(x,y)，則0=x+a2,1=y+8-2a2,解得x=-a,v=2a-6,則B(-a,2a-6)即點A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.探究點二軸對稱問題精講精練例（1）坐標原點(0,0)關于直線x-2y+2=0對稱的點的坐標是()A.(-45C.(45（2）直線2x-y+3=0關于直線x-y+2=0對稱的直線的方程是.答案：（1）A（2）x-2y+3=0解析：（1）設對稱點的坐標為(x0,y0)，則（2）設所求直線上任意一點P(x,y)，點P關于x-y+2=0的對稱點為P'(x由x+x0∵點P'(x0,∴2(y-2)-(x+2)+3=0，即x-2y+3=0.∴所求直線的方程為x-2y+3=0.解題感悟軸對稱問題的解法：（1）點關于直線的對稱問題：求P(x0,y0)關于Ax＋By＋C＝0的對稱點P'(x,y)，利用y-y0x-x0?-AB=-1,A?x0+x2+B?y0+y2+C=0可以求點P'的坐標.（2）直線關于直線的對稱問題：若兩條直線l1遷移應用1.若點A(3,4)關于直線l:y=kx的對稱點在x軸上，則k的值是()A.12或-2B.-答案：A解析：∵點A(3,4)關于直線l:y=kx的對稱點在x軸上，∴可設其對稱點為(t,0).則4-03-t×k=-1，42=k?3+t2，消去t化為2.已知直線l:x-y-1=0，l1:2x-y-2=0.若直線l2與l1關于A.x+y-1=0B.x+2y-1=0C.x-2y-1=0D.x-2y+1=0答案：C解析：若直線l2與l1關于l對稱，則直線l1，l的交點在直線l2上，設直線l1，l的交點為A在直線l1上任取一點(2,2)，易知其關于直線l對稱的點為B(3,1)，則點B在直線l由A，B兩點可知，直線l2的斜率k=則直線l2的方程為y-0=12探究點三對稱的應用問題精講精練例（1）（2021山東東營高二期末）設入射光線沿直線2x-y+1=0射向直線y=x，則被y=x反射后，反射光線所在的直線方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.3x-2y+1=0D.x+2y+3=0（2）（2020福建泉州科技中學高二期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬，再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為x2+y2≤3，若將軍從點A.10-3C.25-答案：（1）A（2）C解析：（1）因為入射光線關于y=x的對稱點都在反射光線上，所以在入射光線上任取點A(1,3)，B(0,1)，這兩個點關于直線y=x的對稱點是A'(3,1),B'(1,0)所以所求的直線方程是y-0=12(x-1)（2）設點A關于直線x+y=5的對稱點為A'根據(jù)題意得A'易知AA'的中點為(a+32,b+12)，直線由{a+32+b+12∴A'(4,2)，則A則“將軍飲馬”的最短總路程為25解題感悟（1）求入射光線或反射光線所在直線的方程，其實質(zhì)是兩條直線關于某直線的對稱問題，或者為點關于直線的對稱問題；（2）“將軍飲馬”問題實質(zhì)上是兩點到直線上的點的距離之和的最小值問題，關鍵是能夠利用點關于直線對稱點的求解方法求得對稱點，進而可知三點共線時，距離之和為最小值.遷移應用1.（2021山東臨沂一中高二月考）光線沿著直線ax-y+2=0射到直線y=-x上，經(jīng)反射后沿著直線3x+y-b=0射出，則()A.a=-13，b=6B.a=3C.a=3，b=-16D.a=-答案：D解析：易知點(0,2)在直線ax-y+2=0上，且點(0,2)關于直線y=-x對稱的點為(-2,0)，所以點(-2,0)在直線3x+y-b=0上，即-6-b=0，解得b=-6.易知點(0,-6)在直線3x+y+6=0上，且點(0,-6)關于直線y=-x對稱的點為(6,0)，則點(6,0)在直線ax-y+2=0上，即6a+2=0，解得a=-12.（2020山東青州第一中學高二月考）已知點A(-3,8)和B(2,2)，在x軸上求一點M，使得|AM|+|BM|最小，則點M的坐標為()A.(-1,0)B.(0,C.(22答案：D解析：找出點B關于x軸的對稱點B'，連接AB'，與x軸交于M此時|AM|+|BM|最小，由B與B'關于x軸對稱得B又A(-3,8)，所以直線AB'的方程為化簡得y=-2x+2，令y=0，解得x=1，所以M(1,0)，故選D．評價檢測·素養(yǎng)提升課堂檢測1.已知點A(2,4)，B關于點P(0,-1)對稱，則點B的坐標為()A.(1,32C.(-2,-6)D.(-6,-2)答案：C2.點A(0,-3)關于直線l:x+y-3=0對稱的點的坐標為()A.(5,2)B.(6,3)C.(3,6)D.(6,-3)答案：B3.若光線從點P(-3,3)射到y(tǒng)軸上，經(jīng)y軸反射后經(jīng)過點Q(-1,-5)，則光線從點P到點Q走過的路程為()A.10B.5+17C.45答案：C素養(yǎng)演練數(shù)學運算——利用對稱解決最值問題1.已知點A(3,0)，B(0,3)，M(1,0)，O為坐標原點，P,Q分別在線段AB，BO上運動，則△MPQ的周長的最小值為()A.4B.5C.25D.答案：C解析：易知過A(3,0)，B(0,3)兩點的直線方程為x+y-3=0，設M(1,0)關于直線x+y-3=0對