新教材高中數(shù)學(xué)第8章函數(shù)應(yīng)用2.2函數(shù)的實際應(yīng)用提升訓(xùn)練含解析蘇教版必修第一冊

PAGEPAGE13函數(shù)的實際應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)練題組一一次函數(shù)模型與反比例函數(shù)模型1.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體,當溫度不變時,氣球內(nèi)氣體的氣壓P(千帕)是氣球體積V(立方米)的反比例函數(shù),其圖象如圖所示,則這個函數(shù)的解析式為()A.P=96VB.P=-2.(2021陜西西安中學(xué)高三二模)某建材商場國慶期間進行促銷活動,規(guī)定:若顧客購物總金額不超過800元,則不享受任何折扣;若顧客購物總金額超過800元,則超過800元的部分享受一定的折扣優(yōu)惠,并按下表折扣分別累計計算:可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣率不超過500元的部分5%超過500元的部分10%若某顧客在此商場獲得的折扣金額為50元,則此人購物實際所付金額為()A.1500元B.1550元C.1750元D.1800元3.(2020江蘇淮安高一上期中)某人根據(jù)經(jīng)驗繪制了2019年春節(jié)前后,從1月25日至2月11日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時間x(天)變化的函數(shù)圖象,如圖所示,則此人在1月31日大約賣出了千克西紅柿.(結(jié)果保留整數(shù))

題組二二次函數(shù)模型4.(多選)(2021江蘇常州高一上期末)某雜志以每冊2元的價格發(fā)行時,發(fā)行量為10萬冊.經(jīng)過調(diào)查,單冊價格每提高0.2元,發(fā)行量就減少5000冊.要使該雜志的銷售收入不少于22.4萬元,則每冊雜志的定價可以為 ()A.2.5元B.3元C.3.2元D.3.5元5.(2021江蘇蘇州中學(xué)高一月考)已知某船舶每小時航行所需費用u(單位:元)與航行速度v(單位:千米/時)的函數(shù)關(guān)系為u(v)=kv+b,0<v<10,450+av2,v≥10((1)求u(v)的解析式;(2)若該船舶需勻速航行20千米,問船舶的航行速度為多少時,航行所需費用最少?題組三指數(shù)型函數(shù)模型和對數(shù)型函數(shù)模型6.(2021江蘇蘇北六市高三一模)醫(yī)學(xué)家們?yōu)榱私沂舅幬镌谌梭w內(nèi)吸收、排出的規(guī)律,常借助恒速靜脈滴注一室模型來進行描述.在該模型中,人體內(nèi)藥物含量x(單位:mg)與給藥時間t(單位:h)近似滿足函數(shù)關(guān)系式x=k0k(1-e-kt),其中k0,k分別為給藥速率和藥物消除速率(單位:mg/h).經(jīng)測試發(fā)現(xiàn),當t=23時,x=k02k,則該藥物的消除速率k的值約為(ln2≈0A.37.(2021江蘇連云港高一期末)某工廠產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過過濾后排放,規(guī)定排放時污染物的殘留含量不得超過原污染物總量的0.25%.已知在過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量P(單位:毫克/升)與過濾時間t(單位:小時)之間的函數(shù)關(guān)系為P=P0·ekt(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),k為常數(shù),P0為原污染物總量).若前4個小時廢氣中的污染物被過濾掉了80%,則k=;要能夠按規(guī)定排放廢氣,還需要過濾n小時,則正整數(shù)n的最小值為.(參考數(shù)據(jù):log52≈0.43)

8.(2021浙江杭州二中高一期中)某心理學(xué)研究小組在對學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中發(fā)現(xiàn),其注意力指數(shù)p與聽課時間t(單位:分鐘)之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當t∈(0,14]時,曲線是二次函數(shù)圖象的一部分;當t∈(14,40]時,曲線是函數(shù)y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)圖象的一部分.根據(jù)專家研究,當注意力指數(shù)p大于或等于80時,聽課效果最佳.(1)試求p=f(t)的函數(shù)關(guān)系式;(2)一道數(shù)學(xué)難題,講解需要22分鐘,問老師能否經(jīng)過合理安排在學(xué)生聽課效果最佳時講完?請說明理由.題組四函數(shù)模型的擬合9.(2021江蘇南京三校高一期中)“道高一尺,魔高一丈”出于《西游記》第五十回“道高一尺魔高丈,性亂情昏錯認家.可恨法身無坐位,當時行動念頭差.”用來比喻取得一定成就后遇到的障礙會更大或正義終將戰(zhàn)勝邪惡.若用下列函數(shù)中的一個來表示這句話的含義,則最合適的是 ()A.y=10x,x>0B.y=110x,xC.y=x+10,x>0D.y=x+9,x>010.(2020江蘇山東煙臺高一期末)科技創(chuàng)新在經(jīng)濟發(fā)展中的作用日益凸顯.某科技公司為實現(xiàn)9000萬元的投資收益目標,準備制訂一個激勵研發(fā)人員的獎勵方案:當投資收益達到3000萬元時,按投資收益進行獎勵,要求獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,獎金總額不低于100萬元,且獎金總額不超過投資收益的20%.(1)現(xiàn)有三個獎勵函數(shù)模型:①f(x)=0.03x+8,②f(x)=0.8x+200,③f(x)=100log20x+50,x∈[3000,9000].試分析這三個函數(shù)模型是否符合公司要求?(2)利用(1)中符合公司要求的函數(shù)模型,要使獎金額達到350萬元,公司的投資收益至少要達到多少萬元?11.(2020江蘇蘇州陸慕高級中學(xué)高一上期中)某學(xué)習(xí)小組在暑期社會實踐活動中,通過對某商店一種商品銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn):該商品在過去的一個月內(nèi)(以30天計)的日銷售價格P(x)(元)與時間x(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足P(x)=1+kx(k為正常數(shù)).該商品的日銷售量Q(x)(個)與時間x(天)的部分數(shù)據(jù)如下表所示x/天10202530Q(x)/個110120125120已知第10天該商品的日銷售收入為121元.(1)求k的值;(2)給出以下四種函數(shù)模型:①Q(mào)(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·logbx.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)來描述該商品的日銷售量Q(x)與時間x的關(guān)系,并求出該函數(shù)的解析式;(3)求該商品的日銷售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N*)(元)的最小值.能力提升練題組一一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)模型1.(2021江蘇南通高一期末,)在一種新型流行病疫情防控中,病毒檢測是確診患病與否的有效快捷手段.某醫(yī)院在成為病毒檢測的定點醫(yī)院并開展檢測工作的第n天,每個檢測對象平均耗時t(n)(單位:小時)大致關(guān)系為t(n)=t0n,n<N0,t0N0,n≥N0(t0,N0為常數(shù)).已知第16天每個檢測對象平均耗時為16小時,第A.16小時B.13小時C.9小時D.8小時2.(2020江蘇鹽城新豐中學(xué)高一上期末,)某企業(yè)為打入國際市場,決定從A,B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn).已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:項目類別年固定成本(單位:萬美元)每件產(chǎn)品成本(單位:萬美元)每件產(chǎn)品銷售價(單位:萬美元)每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)A產(chǎn)品20m10200B產(chǎn)品40818120其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān),m為待定常數(shù),其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價格決定,m∈[6,8].另外,年銷售x件B產(chǎn)品時需上繳0.05x2萬美元的特別關(guān)稅.假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當年銷售出去.(1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品的年利潤y1,y2(單位:萬美元)與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系,并指明其定義域;(2)如何投資才可獲得最大年利潤?請你做出規(guī)劃.題組二指數(shù)型函數(shù)模型、對數(shù)型函數(shù)模型3.(2021江蘇淮安高一期中,)“喊泉”是一種地下水的毛細現(xiàn)象,人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音時,聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池,進而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用,激起水波,形成涌泉.聲音越大,涌起的泉水越高.已知聽到的聲強m與標準聲調(diào)m0(m0約為10-12,單位:W/m2)之比的常用對數(shù)稱作聲強的聲強級,記作L(貝爾),即L=lgmm0,取貝爾的10倍作為響度的常用單位,簡稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音響度y(分貝)與噴出的泉水高度x(米)滿足關(guān)系式y(tǒng)=2x,現(xiàn)知A同學(xué)大喊一聲激起的涌泉最高高度為50米,若A同學(xué)大喊一聲的最大聲強大約相當于10個B同學(xué)同時大喊一聲的最大聲強,則B同學(xué)大喊一聲激起的涌泉最高高度約為(A.5米B.10米C.45米D.48米(2020云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考,)我們經(jīng)常聽到這樣一種說法:一張紙經(jīng)過一定次數(shù)對折之后,厚度能超過地月距離.但實際上,因為紙張本身有厚度,所以我們并不能將紙張無限次對折,當紙張的厚度超過紙張的長邊時,便不能繼續(xù)對折了,一張長邊為w,厚度為x的矩形紙張沿兩個方向不斷對折,則經(jīng)過兩次對折,長邊變?yōu)?2w,厚度變?yōu)?x.在理想情況下,對折次數(shù)n有下列關(guān)系:n≤2(注:lg2≈0.3),根據(jù)以上信息,一張長為21cm,厚度為0.05mm的紙最多能對折次.

5.(2020北京東城高一上期末,)某池塘中原有一塊浮草,浮草蔓延后的面積y(平方米)與時間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=at-1(a>0且a≠1),它的圖象如圖所示,給出以下命題:①池塘中原有浮草的面積是0.5平方米;②第8個月浮草的面積超過60平方米;③浮草每月增加的面積都相等;④若浮草面積達到10平方米,20平方米,30平方米所經(jīng)過的時間分別為t1,t2,t3,則2t2>t1+t3.其中正確命題的序號為.

6.(2020湖南長沙雅禮中學(xué)高一期中,)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放,過濾過程中廢氣的剩余污染物數(shù)量P(mg/L)與過濾開始后的時間t(小時)的關(guān)系為P=P0e-kt,其中P0為過濾開始時廢氣的污染物數(shù)量,k為常數(shù).如果過濾開始后經(jīng)過5個小時消除了10%的污染物,試求:(1)過濾開始后經(jīng)過10個小時還剩百分之幾的污染物;(2)污染物減少50%所需要的時間.(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.7,ln3≈1.1,ln5≈1.6)題組三函數(shù)模型的擬合7.()茶文化博大精深,茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明,某種綠茶用85℃的水泡制,再等到茶水溫度降至60℃時飲用,可以產(chǎn)生最佳口感.為分析泡制一杯最佳口感的茶水所需時間,某研究人員每隔1min測量一次茶水的溫度,根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出如圖所示的散點圖.觀察散點圖的分布情況,下列函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度y(℃)隨時間x(min)變化規(guī)律的是 ()A.y=mx2+n(m>0)B.y=mx+n(m>0)C.y=max+n(m>0,a>0,且a≠1)D.y=mlogax+n(m>0,a>0,且a≠1)8.(2021江蘇蘇州實驗中學(xué)高一月考,)環(huán)保生活,低碳出行,電動汽車正成為人們購車的熱門選擇.某型號電動汽車在一段平坦的國道上進行測試,國道限速80km/h(不含80km/h).經(jīng)多次測試,得到該汽車每小時耗電量M(單位:Wh)與速度v(單位:km/h)的下列數(shù)據(jù):v0104060M0132544007200為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關(guān)系,現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:M(v)=140v3+bv2+cv,M(v)=100023v+a,M(v)=300logav+b(a>0,a≠1,b(1)當0≤v<80時,請選出你認為最符合表格所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型,并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式;(2)現(xiàn)有一輛同型號汽車從A地駛到B地,前一段是200km的國道,后一段是50km的高速路,若已知高速路上該汽車每小時耗電量N(單位:Wh)與速度的關(guān)系是N(v)=2v2-10v+200(80≤v≤120),如何行駛才能使得總耗電量最少,最少為多少?9.(2021江蘇宿遷高一期末,)某廠家為增加某種商品的銷售量,決定增加廣告投入費用,據(jù)市場調(diào)查,增加的銷售量x(單位:千件)與廣告投入費用H(x)(單位:萬元)滿足下列數(shù)據(jù):(其中0≤x≤16)增加的銷售量x(千件)01245廣告投入費用H(x)(萬元)0.0000.4520.8161.3281.500為了描述增加的銷售量與投入廣告費的關(guān)系,現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:H(x)=ax3+bx2+cx,H(x)=0.5x+a,H(x)=klogax+b(a>0,a≠1,b∈R).(1)選出你認為最符合實際的函數(shù)模型,并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式;(2)你認為銷售量增加達到多少時,才能使每千件的廣告費用最少?答案全解全析8.2.2函數(shù)的實際應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)練1.D因為氣球內(nèi)氣體的氣壓是氣球體積的反比例函數(shù),所以可設(shè)P=kV(k≠0),由題圖可知,點A(1.5,64)在函數(shù)圖象上,所以64=k1.5,解得k=96,故P=962.A設(shè)顧客在商場購物總金額為x元時,可以獲得的折扣金額為y元.易知y=0因為50>0.05×(1300-800),所以此人購物總金額大于1300元.令0.1×(x-1300)+25=50,解得x=1550,故此人購物實際所付金額為1550-50=1500(元).故選A.3.答案23解析設(shè)f(x)=ax+b(a≠0,1≤x≤10,x∈N*),將點(1,10),(10,30)代入函數(shù)解析式,得a+b所以f(x)=209x+709(1≤x≤10,x∈N*在1月31日,即當x=7時,f(7)=209×7+709=2109故此人在1月31日大約賣出了23千克西紅柿.4.BC設(shè)每冊雜志定價為x(x>2)元,則發(fā)行量為10-x-20.2×0.5萬冊,所以銷售收入為10-x-20.2×0.5x萬元.令10-x-20.2×05.解析(1)將(0,320),(10,650)代入u(v)=kv+b,得650=10k+將(10,650)代入u(v)=450+av2,得650=450+a×102,解得a=2.所以u(v)=33(2)設(shè)船舶的航行時間為t(單位:小時),所需費用為z(單位:元),則t=20v,z=ut=當0<v<10時,函數(shù)z=660+6400v單調(diào)遞減,所以zmin當v≥10時,z=9000v+40v≥29000v×40v=29000×40=1200,當且僅當v=15綜上,船舶的航行速度為15千米/時時,航行所需費用最少.6.A將t=23,x=k02k代入x=k0得k02k=k0k(1-e-23k),化簡得即ln12=-23k,解得k=ln223≈0.69237.答案-ln54解析由題意得(1-80%)P0=P0·e4k,即0.2=e4k,所以k=14ln0.2=-ln5設(shè)經(jīng)過m小時后能夠按規(guī)定排放廢氣,則P0·e-ln54m≤0.25%P0,即-ln54m≤ln0.25%,所以m·ln5≥8ln20,解得m≥8ln20ln5=8log520=8(2log5所以正整數(shù)n的最小值為15-4=11.8.信息提?、僮⒁饬χ笖?shù)p與聽課時間t(單位:分鐘)之間滿足函數(shù)關(guān)系;②當t∈(0,14]時,曲線是開口向下,最高點為(12,82),且過(14,81)的二次函數(shù)圖象的一部分;當t∈(14,40]時,曲線是函數(shù)y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)且過點(14,81)的圖象的一部分;③注意力指數(shù)p大于或等于80時,聽課效果最佳.數(shù)學(xué)建模本題以學(xué)生上課注意力集中情況為情境,構(gòu)建注意力指數(shù)p與聽課時間t的函數(shù)模型,利用待定系數(shù)法求解模型,進而解決實際問題.解析(1)當t∈(0,14]時,設(shè)p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),將點(14,81)代入得c=-14∴當t∈(0,14]時,p=f(t)=-14(t-12)2當t∈(14,40]時,將點(14,81)代入y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1),得a=13∴當t∈(14,40]時,p=f(t)=log13(t綜上,p=f(t)=-(2)當t∈(0,14]時,令-14(t-12)2+82≥80,得12-22≤t≤當t∈(14,40]時,令log13(t-5)+83得14<t≤32.綜上,當t∈[12-22,32]時,學(xué)生聽課效果最佳.∵32-(12-22)=20+22>22,∴老師能夠經(jīng)過合理安排在學(xué)生聽課效果最佳時講完.9.A因為一丈等于十尺,所以“道高一尺,魔高一丈”更適合用y=10x,x>0來表示.故選A.10.解析(1)由題意得,符合公司要求的函數(shù)f(x)在[3000,9000]上為增函數(shù),?x∈[3000,9000],恒有f(x)≥100,且f(x)≤x5對于函數(shù)f(x)=0.03x+8,當x=3000時,f(3000)=98<100,不符合要求.對于函數(shù)f(x)=0.8x+200,其為減函數(shù),不符合要求.對于函數(shù)f(x)=100log20x+50,x∈[3000,9000],顯然f(x)為增函數(shù),且當x=3000時,f(3000)>100,因為f(x)≤f(9000)=100log209000+50<100log20160000+50=450,而x5≥30005=600,所以當x∈[3000,9000]時,f(x)max≤x5min,所以f(x)所以f(x)=100log20x+50,x∈[3000,9000]為滿足條件的函數(shù)模型.(2)令100log20x+50≥350,得log20x≥3,所以x≥8000.所以公司的投資收益至少要達到8000萬元.11.解析(1)由題意得P(10)·Q(10)=1+k10×110=121,解得k(2)由題表中的數(shù)據(jù)知,當時間變化時,該商品的日銷售量有增有減,并不單調(diào),而①,③,④中的函數(shù)均為單調(diào)函數(shù),故只能選②,即Q(x)=a|x-25|+b.由題表可得Q(10)=110,Q(20)=120,即15a+故Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N*).(3)由(2)知Q(x)=125-|x-25|=100+∴f(x)=P(x)·Q(x)=x當1≤x<25時,y=x+100x在區(qū)間[1,10)上單調(diào)遞減,在區(qū)間[10,25)上單調(diào)遞增∴當x=10時,f(x)取得最小值,且f(x)min=121;當25≤x≤30時,y=150x-x是單調(diào)遞減的,∴當x=30時,f(x)取得最小值,且f(x)min=124綜上所述,當x=10時,f(x)取得最小值,且f(x)min=121.故該商品的日銷售收入f(x)的最小值為121.能力提升練1.B因為第64天和第67天每個檢測對象平均耗時均為8小時,所以t0N0=8,N0因為第16天每個檢測對象平均耗時為16小時,所以t016=16,N0>16,解得t0將t0=64代入t0N0=8可得N所以t(n)=64所以第25天每個檢測對象平均耗時為t(25)=6425=645=12.8≈13(小時).2.解析(1)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤分別為y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20,0≤x≤200,且x∈N;y2=18x-(40+8x)-0.05x2=-0.05x2+10x-40=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120,且x∈N.(2)因為6≤m≤8,所以10-m>0,所以y1=(10-m)x-20為增函數(shù),又0≤x≤200且x∈N,所以當x=200時,生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤,最大利潤為(10-m)×200-20=1980-200m(萬美元).y2=-0.05(x-100)2+460,0≤x≤120且x∈N,所以當x=100時,生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤,最大利潤為460萬美元.(y1)max-(y2)max=(1980-200m)-460=1520-200m.令1520-200m>0,得6≤m<7.6;令1520-200m=0,得m=7.6;令1520-200m<0,得7.6<m≤8.所以當6≤m<7.6時,投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件獲得最大年利潤;當7.6<m≤8時,投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件獲得最大年利潤;當m=7.6時,投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件和投資B產(chǎn)品100件都可獲得最大年利潤,且最大年利潤一樣.3.C設(shè)B同學(xué)大喊一聲的最大聲強為m,噴出的泉水高度為x米,則A同學(xué)大喊一聲的最大聲強為10m,噴出的泉水高度為50米.由題意得10lg即lg10+lgmm0=10,lgmm0=0.24.答案8解析由題意得n≤23log2=2=23因為log210=1lg2≈1所以n≤8+23log221又0<log22120所以n的最大值為8.5.答案①②④解析由題圖知,函數(shù)y=at-1(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過點(2,2),所以2=a2-1,解得a=2,所以浮草蔓延后的面積y(平方米)與時間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式是y=2t-1.①當t=0時,y=12,故①正確②當t=8時,y=28-1=27=128>60,故②正確.③當t=1時,y=1,增加0.5;當t=2時,y=2,增加1,故每月增加的面積不相等,故③錯誤.④令2t1-1=10,解得t同理,t2=log220+1,t3=log230+1,所以2t2=2log220+2=log2400+2>t1+t3=log2300+2,故④正確.6.解析(1)由題意得(1-10%)P0=P0e-5k,解得k=-15ln0.9,∴P=P0e當t=10時,P=P0e(15ln0.9)×10=P0∴過濾開