直線與平面垂直學(xué)案-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

8.6.2直線與平面垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)理解直線與平面垂直的定義。理解直線與平面垂直的判定定理。理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理，并能夠證明。能運(yùn)用判定定理證明直線與平面垂直的簡單命題。能運(yùn)用性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。基礎(chǔ)梳理一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α。直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面。直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P

叫做垂足。過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條。過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離。一般地，我們有如下判定直線與平面垂直的定理：定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直。如圖，一條直線l與一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足。過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂足PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上射影，平面的一條斜線和它平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°。直線與平面所成的角θ的取值范圍是0°≤θ≤我們得到了直線與平面垂直的一條性質(zhì)定理：定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離。如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離。隨堂訓(xùn)練1、已知,表示兩條不同直線,表示平面,下列說法正確的是(

)A.若,,則 B.若,,則

C.若,,則 D.若,,則 2、如圖，為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.平面 B.

C.平面 D.異面直線與所成的角為3、如圖，點(diǎn)N為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點(diǎn)，則()A．，且直線是相交直線

B．，且直線是相交直線

C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線4、如圖,在正四棱錐中,是的中點(diǎn),點(diǎn)在內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng),并且總有,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與組成的圖形是(

)A.B.

C.D.5、如圖,在正方形中,分別是和的中點(diǎn),是的中點(diǎn).分別沿及將折起,使點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為,則下列結(jié)論成立的是(

)A.平面

B.平面

C.平面

D.平面6、如圖,正方體的棱長為1,動(dòng)點(diǎn)E在線段上,F、M分別是AD、CD的中點(diǎn),則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B．平面C．存在點(diǎn)E,使得平面平面 D．三棱錐的體積為定值7、如圖，是的直徑，C是圓周上不同于的任意一點(diǎn)，平面，則四面體的四個(gè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)有()A.4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)8、在長方體中,底面是邊長為的正方形,高為,則點(diǎn)到截面的距離是()A. B. C. D.9、如圖,所在的平面,AB是的直徑,C是上的一點(diǎn),于E,于F,

下列四個(gè)命題中：

①面PAC；

②面PBC；

③；

④面PBC．

其中正確命題的是______請(qǐng)寫出所有正確命題的序號(hào)10、已知正方體的棱長為a，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱AB，的中點(diǎn)．下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是______．①過E，F(xiàn)，G三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為正六邊形；②∥平面EFG；③⊥平面；④異面直線EF與所成角的正切值為；⑤四面體的體積等于11、已知，為平面外一點(diǎn)，，點(diǎn)到兩邊的距離均為，那么到平面的距離為___________．12、如圖,在三棱臺(tái)中,平面平面,.

(1)求證:平面;

(2)求直線與平面所成角的余弦值.13、如圖,在四棱錐中,平面,,,,,,.(1).求異面直線與所成角的余弦值;(2).求證:平面;答案隨堂訓(xùn)練1答案及解析：答案：B解析：對(duì)于選項(xiàng)A,與還可以相交或異面;

對(duì)于選項(xiàng)C,還可以是;

對(duì)于選項(xiàng)D,還可以是或或與相交.2答案及解析：答案：D解析：A中因?yàn)?，正確；B中因?yàn)?，由三垂線定理知正確；

C中由三垂線定理可知，，故正確；

D中顯然異面直線與所成的角為

故選：D．

A中因?yàn)榭膳?，B和C中可由三垂線定理進(jìn)行證明；而D中因?yàn)?，所以即為異面直線所成的角，．

本題考查正方體中的線面位置關(guān)系和異面直線所成的角，考查邏輯推理能力．3答案及解析：答案：B解析：作于，連接，過M作于．連，平面平面．平面，平面，平面，與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長為2，易知，．，故選B．4答案及解析：答案：A解析：取的中點(diǎn),的中點(diǎn).連接,則,∵在正四棱錐中,在平面內(nèi)的射影在上,且,∴,故.又,∴,∴平面,∴當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí),總有.故選A.5答案及解析：答案：B解析：折起后,,∴SG平面,故選B.6答案及解析：答案：C解析：在A中,因?yàn)镕、M分別是AD、CD的中點(diǎn),所以,故A正確；在B中,F,M是底面正方形邊的中點(diǎn)，由平面幾何得，又底面，所以，,所以平面,故B正確；在C中,BF與平面有交點(diǎn),所以不存在點(diǎn)E,使得平面平面,故C錯(cuò)誤．在D中,三棱錐以面BCF為底,則高為上下底面的距離，所以三棱錐的體積為定值,故D正確．7答案及解析：答案：A解析：∵是圓O的直徑，∴，∴是直角三角形；又平面，∴，；∴是直角三角形；又，∴平面，∴，∴是直角三角形；∴四面體的四個(gè)面中，直角三角形有4個(gè)。故答案為：A.8答案及解析：答案：C解析：點(diǎn)到截面的距離是,由可得解得.9答案及解析：答案：①②③解析：∵所在的平面,

∴,

又∵AB是的直徑

∴,由線面垂直的判定定理,可得面PAC,故①正確；

又由平面PAC

∴,結(jié)合于F,

由線面垂直的判定定理,可得面PBC,故②正確；

又∵于E,結(jié)合②的結(jié)論

我們易得平面PAB

由平面PAB,可得,故③正確；

由②的結(jié)論,及過一點(diǎn)有且只一條直線與已知平面垂直,故④錯(cuò)誤；

故答案為：①②③

根據(jù)已知中,所在的平面,AB是的直徑,C是上的一點(diǎn),于E,于F,結(jié)合線面垂直的判定定理,我們逐一對(duì)已知中的四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判定,即可得到答案．10答案及解析：答案：①③④解析：延長分別與的延長線交于連接交于H,設(shè)與的延長線交于P,連接交于I，交于M，連FH，HG，GI，IM，ME，則截面六邊形EFHGIM為正六邊形，故①正確；與HG相交,故與平面EFG相交，所以②不正確；∵,且AC與相交,所以平面，故③正確；以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量的夾角可得異面直線EF與的夾角的正切值為，故④正確；四面體的體積等于正方體的體積減去四個(gè)正三棱錐的體積,即為，故⑤不正確。故答案為：①③④11答案及解析：答案：解析：作分別垂直于，平面，連，知，，平面，平面，，．，，，為平分線，，又，．12答案及解析：答案：(1)延長相交于一點(diǎn),如圖所示,

因?yàn)槠矫嫫矫?且,

所以平面,因此,

又因?yàn)?

所以為等邊三角形,且為的中點(diǎn),則,

所以平面.

(