第三章理論分布與抽樣分布

第一節(jié)概率-頻率的穩(wěn)定性一、統(tǒng)計概率的概念事件的概率：在相同條件下進行n次重復(fù)試驗，事件A發(fā)生的次數(shù)為α，則α與n之比，稱為事件A的頻率，如果試驗次數(shù)逐漸增多，事件A的頻率越來越穩(wěn)定地接近定值ρ，ρ就稱為事件A的概率。P(A)=ρ當(dāng)前1頁，總共35頁。統(tǒng)計概率的概念當(dāng)n充分大時，事件A的頻率作為該事件概率的近似值，稱為統(tǒng)計概率。概率的基本性質(zhì)：任一事件的概率不可能大于1，也不可能小于0[0≤P(A)≤1]；必然事件的概率等于1[P(A)=1]；不可能事件的概率等于0[P(A)=0]當(dāng)前2頁，總共35頁。假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗就是根據(jù)總體的理論分布和小概率原理，對未知或不完全知道的總體提出兩種彼此對立的假設(shè)，然后由樣本的實際結(jié)果，經(jīng)過一定的計算．作出在一定概率意義上應(yīng)該接受的那種假設(shè)的推斷。如果抽樣結(jié)果使小概率發(fā)生。則拒絕假設(shè)．如抽樣結(jié)果沒有使小概率發(fā)生，則接受假設(shè)。一般認為小于0.05或0.01的概率為小概率。通過假設(shè)檢驗，可以正確分析處理效應(yīng)和隨機誤差，作出可取的結(jié)論。當(dāng)前3頁，總共35頁。隨機事件的概率表示了隨機事件在一次試驗中出現(xiàn)的可能性大小。若隨機事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，稱之為小概率事件。小概率事件實際不可能性原理當(dāng)前4頁，總共35頁。小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次試驗中出現(xiàn)的可能性很小，不出現(xiàn)的可能性很大，以至于實際上可以看成是不可能發(fā)生的。在統(tǒng)計學(xué)上，把小概率事件在一次試驗中看成是實際不可能發(fā)生的事件稱為小概率事件實際不可能性原理，亦稱為小概率原理。小概率事件實際不可能性原理是統(tǒng)計學(xué)上進行假設(shè)檢驗（顯著性檢驗）的基本依據(jù)。當(dāng)前5頁，總共35頁。假設(shè)檢驗的步驟1.提出假設(shè)無效假設(shè)(nullhypothesis)：備選假設(shè)(alternativehypothesis)：“無效”指處理效應(yīng)與總體參數(shù)之間沒有真實的差異，試驗結(jié)果中的差異乃誤差所致。引進一醋的新曲種，以原生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)為對照，已知原生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)醋酸含量為=9.75%，采用新曲種釀造10個樣本的醋酸含量平均數(shù)為11.99%，標(biāo)準(zhǔn)差S為1.3%，試分析采用新曲種是否提高了醋酸的含量。假設(shè)：

即：是來自隨機誤差當(dāng)前6頁，總共35頁。2.確定顯著水平以多大概率接受或否定無效假設(shè)？通常規(guī)定5%（）和1%（）為測試差異是否顯著的概率標(biāo)準(zhǔn)，稱為檢驗水平或顯著標(biāo)準(zhǔn)，一般以a表示。當(dāng)前7頁，總共35頁。3.推斷是否接受假設(shè)當(dāng)時，認為差異顯著，標(biāo)記為“*”，否定；當(dāng)時，便認為差異非常顯著，標(biāo)記“**”號；當(dāng)時，則認為其差異不顯著，其差值為零，差值是來自誤差，接受當(dāng)前8頁，總共35頁。二、概率的運算法則1.概率的加法定理：互斥事件。某種產(chǎn)品的正品率與次品率。2.概率的乘法定理：互不排斥或相容的事件。某生產(chǎn)流水線上第一道工序產(chǎn)品與第二道工序產(chǎn)品的正品率。當(dāng)前9頁，總共35頁。第二節(jié)二項分布有些總體的各個個體的某種性狀，只有兩種結(jié)果，非此即彼，此和彼是對立事件。這種由非此即彼事件構(gòu)成的總體，叫做二項總體。這些資料的理論分布為二項分布。當(dāng)前10頁，總共35頁。二項分布的概念

如某實驗中小白鼠染毒后死亡概率P為0.8,則生存概率為=1-P=0.2，故對一只小白鼠進行實驗的結(jié)果為：死（概率為P）或生（概率為1-P）

對二只小白鼠（甲乙）進行實驗的結(jié)果為：甲乙均死（概率為P2）、甲死乙生[概率為P(1-P)]、乙死甲生[概率為(1-P）P]或甲乙均生[概率為(1-P）2]，概率相加得P2+P(1-P)+(1-P）P+(1-P）2=[P+(1-P)]2

依此類推，對n只小白鼠進行實驗，所有可能結(jié)果的概率相加得Pn+cn1P(1-P)n-1+...+cnxPx(1-P)n-x+...+(1-P)x=[P+(1-P)]n其中n為樣本含量,即事件發(fā)生總數(shù)，x為某事件出現(xiàn)次數(shù),cnxPx(1-P)n-x為二項式通式，cnx=n!/x!(n-x)!,P為總體率。

因此，二項分布是說明結(jié)果只有兩種情況的n次實驗中發(fā)生某種結(jié)果為x次的概率分布。其概率密度為：

,x=0,1,...n。

當(dāng)前11頁，總共35頁。二項分布的應(yīng)用條件每次實驗只有兩類對立的結(jié)果；n次事件相互獨立；每次實驗?zāi)愁惤Y(jié)果的發(fā)生的概率是一個常數(shù)。當(dāng)前12頁，總共35頁。二項分布的形狀(1)二項分布圖形的形狀取決于P和n的大小；(2)當(dāng)P=0.5時，無論n的大小，均為對稱分布；(3)當(dāng)P<>0.5,n較小時為偏態(tài)分布,n較大時逼近正態(tài)分布。當(dāng)前13頁，總共35頁。當(dāng)前14頁，總共35頁。二項分布的參數(shù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差二項分布的平均數(shù)μ=np，二項分布的標(biāo)準(zhǔn)差為np(1-p)的算術(shù)平方根。當(dāng)前15頁，總共35頁。正態(tài)分布

1、正態(tài)分布也稱高斯(Gauss)分布，是一種連續(xù)型隨機變量的理論分布。它的分布狀態(tài)是多數(shù)變量都圍繞在平均值左右，由平均值到分布的兩側(cè)，變量數(shù)減少。正態(tài)分布的概率函數(shù)為：

為正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，表示某一定x值出現(xiàn)的概率密度。表示總體平均數(shù)，表示總體方差。

正態(tài)分布是一種在統(tǒng)計理論和應(yīng)用上最重要的分布。試驗誤差的分布一般服從于這種分布，許多生物現(xiàn)象的計量資料均近似服從這種分布。正態(tài)分布記為N（，）。

當(dāng)前16頁，總共35頁。當(dāng)時，f(x)值最大，所以正態(tài)分布曲線是以平均數(shù)為中心分布。當(dāng)?shù)慕^對值相等時，f(x)值也相等，所以正態(tài)分布是以為中心向左右兩側(cè)對稱的分布。標(biāo)準(zhǔn)離差u=的絕對值越大，f(x)值就越小，但f(x)永遠不會等于0，所以正態(tài)分布以x軸為漸近線，x的取值區(qū)間為。正態(tài)分布曲線完全由位置參數(shù)和形態(tài)參數(shù)來決定。確定正態(tài)分布曲線在x軸上的中心位置，確定正態(tài)分布的變異度。正態(tài)分布具有以下特征：

當(dāng)前17頁，總共35頁。當(dāng)前18頁，總共35頁。值不同，值相同的三條正態(tài)分布曲線值相同，值不同的三條正態(tài)分布曲線當(dāng)前19頁，總共35頁。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布記為N（0,1）

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)前20頁，總共35頁。為了方便，令即可將的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。欲求一定區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下的面積只需查附表1即可。當(dāng)前21頁，總共35頁。有一批面包，重量平均為100g，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2g，試求其單個面包重量從100g到102g的概率是多少？根據(jù)公式得：查表得當(dāng)u=1.66時，對應(yīng)的概率P=0.451，從100g到102g的面包占總面包數(shù)量的45.1%當(dāng)前22頁，總共35頁。t分布

當(dāng)樣本容量較大（），用樣本方差估計。但當(dāng)樣本容量不大（）時，如果仍用估計，這時標(biāo)準(zhǔn)離差就不呈正態(tài)分布，而是服從自由度為的t分布。

當(dāng)前23頁，總共35頁。t分布具有以下特征：

t分布曲線也是左右對稱的，以0為中心向兩側(cè)遞降。t分布受自由度df=n-1的制約，每個自由度都有一條t分布曲線。和正態(tài)分布相比，t分布的頂部偏低，尾部偏高，自由度df>30時，其曲線就比較接近正態(tài)分布曲線，當(dāng)時則和正態(tài)分布曲線重合。當(dāng)前24頁，總共35頁。抽樣誤差當(dāng)前25頁，總共35頁。系統(tǒng)誤差和隨機誤差系統(tǒng)誤差是指測定值的數(shù)學(xué)期望與真值之差用ε表示。

ε=x∞－x真值

隨機誤差是指n次測量中各次測量值x與測量數(shù)學(xué)期望之差。用σi表示：

σi=xi－x∞

數(shù)學(xué)期望：指當(dāng)測量次數(shù)n趨向無窮大（n→∞）時算術(shù)平均值的極限。用x∞表示：

當(dāng)前26頁，總共35頁。x真值、x∞和xi關(guān)系的示意圖。從圖中得知，隨機誤差σi說明各次測量值與x∞的離散程度，即精密度，σi越小說明數(shù)據(jù)的重復(fù)性好、精密度高；而系統(tǒng)誤差ε可做為x∞與真值x真值偏離的尺度，ε越小，即準(zhǔn)確度越高。當(dāng)前27頁，總共35頁。平均誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤差平均誤差可用下式表示：

其中：；用平均誤差表示測量誤差，計算方便，但由于采用平均值的方法，容易掩蓋個別質(zhì)量不高的測量。

當(dāng)前28頁，總共35頁。標(biāo)準(zhǔn)誤差σ又稱均方根誤差。通常真值x是未知的，而且測量次數(shù)n有限，這時可以用貝塞爾（Bessel）式得出在有限次測量情況下，單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)離差S，且把測量的標(biāo)準(zhǔn)離差（S）作為標(biāo)準(zhǔn)誤差（σ）的估計，σ≈S，這樣標(biāo)準(zhǔn)誤差σ就表示為：

當(dāng)前29頁，總共35頁。絕對誤差與相對誤差絕對誤差是測量值與真值之間的偏差，某次實驗的絕對誤差可用下式計算：

絕對誤差＝測量值－真值

視測量值與真值相比較大小不同，絕對誤差可以是正值，也可以是負值，它的單位與測量的單位相同。

相對誤差是絕對誤差與真值的比值（百分數(shù)表示），某次實驗的相對誤差可用下式計算：當(dāng)前30頁，總共35頁。樣本異常值的判斷和處理

１、概念

樣本異常值是指樣本中的個別值，其數(shù)值明顯偏離它所在樣本的其余觀測值。

異常值可能僅僅是數(shù)據(jù)中固有的隨機誤差的極端表現(xiàn)，也可能是過失誤差。異常值檢驗的顯著性水平，推薦的值為１％。當(dāng)前31頁，總共35頁。２、異常值的處理

Ａ、異常值保留在樣本中參加其后的數(shù)據(jù)統(tǒng)計計算。Ｂ、允許剔除異常值，即把異常值從樣本中排除。Ｃ、允許剔除異常值并追加適宜的觀測值代入樣本。Ｄ、在找到實際原因時修正異常值。處理規(guī)則為：（1）對于任何異常值，若無充分的技術(shù)上的原因，則不得剔除或修正。（2）異常值中除有充分的技術(shù)上的或?qū)嶒炆系睦碛赏?，在統(tǒng)計上表現(xiàn)為高異常，才允許剔除或修正。當(dāng)前32頁，總共35頁。３、簡單的壞值及其剔除原則

（１）拉依達原則

如果某個測量值Ｘd的離差Ｕd滿足:

Ud>3

就認為Ｘd是含有過失誤差的壞值，須剔除，誤差絕對值大于3的概率為0.26％.（２）肖維勒準(zhǔn)則

如果某個測量值Ｘd的離差Ｕd滿足:

Ud>Wn

式中wn與測量值的測試次數(shù)n有關(guān)

壞值Xd應(yīng)剔除。當(dāng)前33頁，總共35頁。肖維勒系數(shù)wn數(shù)值表