高中數(shù)學(xué)第1章基本初等函數(shù)(Ⅱ)122單位圓與三角函數(shù)線教案新人教B新人教B高一數(shù)學(xué)教案

單位圓與三角函數(shù)線學(xué)習(xí)目標(biāo)核心修養(yǎng)1．經(jīng)過三角函數(shù)線觀點的學(xué)習(xí)，培育學(xué)生的數(shù)1．認(rèn)識三角函數(shù)線的意義．(要點)學(xué)抽象和直觀想象核心修養(yǎng)．．會用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、2．借助三角函數(shù)線的應(yīng)用，培育學(xué)生的邏輯推余弦和正切．(難點)理及直觀想象核心修養(yǎng).1．單位圓一般地把半徑為1的圓叫做單位圓．角α的余弦和正弦分別等于角α終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．2．三角函數(shù)線思慮：三角函數(shù)線的方向是如何確立的？[提示]三角函數(shù)線的方向，即規(guī)定的有向線段的方向：凡三角函數(shù)線與x軸或y軸同向的相應(yīng)三角函數(shù)值為正當(dāng)，反向的為負(fù)值．1.如圖，在單位圓中角α的正弦線、正切線完整正確的選項是( )→→A．正弦線PM，正切線A′T′→→B．正弦線MP，正切線A′T′→→C．正弦線MP，正切線AT→→D．正弦線PM，正切線ATC[由三角函數(shù)線的定義知C正確．]π6π2．角5和角5有同樣的()A．正弦線B．余弦線C．正切線D．不可以確立π6π的終邊互為反向延伸線，故它們有同樣的正切線．]C[與555π3．角6的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)是________．315π5π3－2，2[因為角6的終邊與單位圓的交點橫坐標(biāo)是cos6＝－2，縱坐標(biāo)是sin5π16＝2，5π31.]∴角6的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)是－2，2三角函數(shù)線的觀點【例1】(1)設(shè)P點為角α的終邊與單位圓O的交點，且sinα＝MP，cosα＝OM，則以下命題建立的是( )A．總有MP＋OM＞1B．總有MP＋OM＝1C．存在角α，使MP＋OM＝1D．不存在角α，使MP＋OM＜04分別作出4π和－7π的正弦線、余弦線和正切線．(1)C[明顯，當(dāng)角α的終邊不在第一象限時，＋＜1，＋＜0都有可能建立；MPOMMPOM當(dāng)角α的終邊落在x軸或y軸正半軸時，MP＋OM＝1，應(yīng)選C.]3(2)解：①在直角坐標(biāo)系中作單位圓，如圖甲，以O(shè)x軸為始邊作4π角，角的終邊與單位圓交于點，作⊥軸，垂足為，由單位PPMOxM圓與Ox軸正方向的交點A作Ox軸的垂線，與的反向延伸線交于TOP3333點，則sin4π＝MP，cos4π＝OM，tan4π＝AT，即4π的正弦線為→→→MP，余弦線為OM，正切線為AT.4②同理可作出－7π的正弦線、余弦線和正切線，如圖乙．sin4117＝MP，cos4117＝OM，44→→→11，余弦線為11，正切線為1.tan－π＝11，即－π的正弦線為17AT7MPOMAT1．作正弦線、余弦線時，第一找到角的終邊與單位圓的交點，而后過此交點作x軸的垂線，獲得垂足，從而獲得正弦線和余弦線．→2．作正切線時，應(yīng)從A(1,0)點引單位圓的切線交角的終邊于一點T，即可獲得正切線AT，要特別注意，當(dāng)角的終邊在第二或第三象限時，應(yīng)將角的終邊反向延伸，再按上述作法來作正切線．1．以下四個命題中：α一準(zhǔn)時，單位圓中的正弦線必定；②單位圓中，有同樣正弦線的角相等；③α和α＋π有同樣的正切線；④擁有同樣正切線的兩個角終邊在同一條直線上．不正確命題的個數(shù)是( )A．0B．1C．2D．3C[由三角函數(shù)線的定義①④正確，②③不正確．②中有同樣正弦線的角可能不等，如5πππ6與6；③中當(dāng)α＝2時，α與α＋π都沒有正切線．]利用單位圓解三角不等式【例2】在單位圓中畫出合適以下條件的角α終邊的范圍，并由此寫出角α的會合．(1)sin3α≥2；1(2)cosα≤－2.31[思路研究]作出知足sinα＝2，cosα＝－2的角的終邊，而后依據(jù)已知條件確立角α終邊的范圍．3[解]

(1)作直線

y＝

2

，交單位圓于

A，B兩點，連結(jié)

OA，OB，則

OA與

OB圍成的區(qū)域(圖(1)中暗影部分)即為角α的終邊的范圍．故知足條件的角α的會合為π2πα2kπ＋3≤α≤2kπ＋3，k∈Z.1作直線x＝－2，交單位圓于C，D兩點，連結(jié)OC與OD，則OC與OD圍成的地區(qū)(圖中的暗影部分)即為角α的終邊的范圍．故知足條件的角α的會合為2π4π.α2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z331．經(jīng)過解答此題，我們能夠總結(jié)出用三角函數(shù)線來解基本的三角不等式的步驟：作出取等號的角的終邊；利用三角函數(shù)線的直觀性，在單位圓中確立知足不等式的角的范圍；將圖中的范圍用不等式表示出來．2．求與三角函數(shù)有關(guān)的定義域時，先轉(zhuǎn)變?yōu)槿遣坏仁?組)，而后借助三角函數(shù)線解此不等式(組)即可得函數(shù)的定義域．2．求y＝lg(1－2cosx)的定義域．[解]如下圖，1－2cosx＞0，2cosx＜2，π7π∴2kπ＋4＜x＜2kπ＋4(k∈Z)，∴函數(shù)定義域為2kπ＋π，2kπ＋7π(k∈Z).44三角函數(shù)線的綜合應(yīng)用[研究問題]1．為何在三角函數(shù)線上，

點P的坐標(biāo)為

(cos

α，sin

α)，點

T的坐標(biāo)為

(1，tan

α)呢？[提示]

由三角函數(shù)的定義可知

sin

yα＝r，cos

xα＝r，而在單位圓中，

r＝1，因此單位圓上的點都是

(cos

α，sin

α)；此外角的終邊與直線

x＝1

的交點的橫坐標(biāo)都是

1，因此依據(jù)

tan

yα＝x，知縱坐標(biāo)

y＝tan

α，因此點

T的坐標(biāo)為

(1，tan

α)．2．如何利用三角函數(shù)線比較大小？[提示]

利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時，一般分三步：

(1)角的地點要“對號入坐”；

(2)比較三角函數(shù)線的長度；

(3)確立有向線段的正負(fù)．π【例

3】

已知

α∈

0，2

，試比較

sin

α，α，tan

α的大小．[思路研究

]

此題能夠利用正弦線，所對的弧長及正切線來表示

sin

α，α，tan

α，并借助它們所在的扇形及三角形的面積大小來解決．[解]

如下圖，設(shè)角

α的終邊與單位圓交于點

P，單位圓交x軸正半軸于點A，作PM⊥x軸，PN⊥y軸，作AT⊥x軸，交α的終邊于點T，由三角函數(shù)線定義，得sinα＝MP，tanα＝AT，又α＝AP的長，11S△AOP＝2·OA·MP＝2sinα，1S扇形AOP＝·AP·OA21AP1，＝·＝22α1·1.△AOT＝·＝tanαS2OAAT2又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，sinα＜α＜tanα.1．此題的實質(zhì)是數(shù)形聯(lián)合思想，即要求找到與所研究問題相應(yīng)的幾何解說，再由圖形有關(guān)性質(zhì)解決問題．2．三角函數(shù)線是單位圓中的有向線段，比較三角函數(shù)值大小時，一般把三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為單位圓中的某些線段，從而用幾何方法解決問題．3．利用三角函數(shù)線證明：|sinα|＋|cosα|≥1.[證明]在△中，＝1，＝|cosα|，＝|sinα|，因為三角形兩邊之和大OMPOPOMMP于第三邊，因此|sinα|＋|cosα|＞1.當(dāng)點P在座標(biāo)軸上時，|sinα|＋|cosα|＝1.綜上可知，|sinα|＋|cosα|≥1.(教師用書獨具)1．應(yīng)用三角函數(shù)線比較大小的策略①三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的表現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向能夠看出三角函數(shù)值的正負(fù)，其長度是三角函數(shù)值的絕對值．②比較兩個三角函數(shù)值的大小，不單要看其長度，還要看其方向．2．利用三角函數(shù)線解三角不等式的方法①正弦、余弦型不等式的解法關(guān)于sinx≥b，cosx≥a(sinx≤b，cosx≤a)，求解要點是合適地追求點，只要作直線y＝b或x＝a與單位圓訂交，連結(jié)原點與交點即得角的終邊所在的地點，此時再依據(jù)方向即可確立相應(yīng)的范圍．②正切型不等式的解法關(guān)于tanx≥c，取點(1，c)連結(jié)該點和原點并反向延伸，即得角的終邊所在的地點，聯(lián)合圖象可確立相應(yīng)的范圍．1．已知α(0＜α＜2π)的正弦線和余弦線長度相等，且符號同樣，那么α的值為( )3ππ5π7πA.4或4B.4或4π5ππ7πC.4或4D.4或4C[由題意α的終邊為一、三象限的均分線，且0＜α＜2π，故得α＝π5π或.]4412．在[0,2π]上知足sinx≥的x的取值范圍是( )2ππ5πA.0，B.6，66C.π2πD.5π6，6，π31π5πB[畫出單位圓(圖略)，聯(lián)合正弦線得出sinx≥2的取值范圍是6，.]63．用三角函數(shù)線比較sin1與cos1的大小，結(jié)果是_____