《分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用》論文

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安陽師范學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)論文分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

作者***

院(系)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

年級(jí)****級(jí)

學(xué)號(hào)

指導(dǎo)老師***

論文成績(jī)

日期****年**月**日

學(xué)生誠(chéng)信答應(yīng)書

本人鄭重答應(yīng):所呈交的論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下舉行的研究工作及取得的研究成果．盡我所知，除了文中特殊加以標(biāo)注和致謝的地點(diǎn)外，論文中別包含其他人差不多發(fā)表或撰寫的研究成果，也別包含為獲得安陽師范學(xué)院或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書所使用過的材料．與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的講明并表示了謝意．簽名:日期:

論文使用授權(quán)講明

本人徹底了解安陽師范學(xué)院有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即:學(xué)校有權(quán)保留送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱和借閱；學(xué)校能夠發(fā)布論文的全部或部分內(nèi)容，能夠采納影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文．

簽名:導(dǎo)師簽名:日期:

分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

牛紅姣

（安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南安陽455002）

摘要：在解數(shù)學(xué)咨詢題時(shí)，應(yīng)用分類討論思想，經(jīng)過正確分類，能夠使復(fù)雜的咨詢題得到清楚，完整，嚴(yán)密的解答．分類討論的思想在解決某些數(shù)學(xué)咨詢題時(shí)，其解決過程包括多種情形，需要依照所研究的對(duì)象存在的差不，按一定標(biāo)準(zhǔn)把原咨詢題分為幾個(gè)別同的種類，并對(duì)每一類逐一地加以分析和討論，再把每一類結(jié)果和結(jié)論舉行匯總，最后使得整個(gè)咨詢題在總體上得到解決．

關(guān)鍵詞：正確分類；應(yīng)用；分類討論思想；標(biāo)準(zhǔn)

1簡(jiǎn)述分類討論思想

由于在研究咨詢題過程中浮現(xiàn)了別同事情，從而對(duì)別同事情舉行分類研究的思想，我們稱之為分類討論思想，事實(shí)上質(zhì)是一種邏輯劃分的思想，是一種“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略．

分類討論思想，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種邏輯辦法，并且又是一種重要的解題策略．分類討論思想具有較高的邏輯性及非常強(qiáng)的綜合性，有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，縝密性，科學(xué)性，因此在數(shù)學(xué)解題中占有重要的位置．2分類討論的要求、原則及其意義

分類討論的要求：正確應(yīng)用分類討論思想，是完整解題的基礎(chǔ)．應(yīng)用分類討論思想解決咨詢題，必須保證分類科學(xué)，統(tǒng)一，別重復(fù)，別遺漏，在此基礎(chǔ)上減少分類，簡(jiǎn)化分類討論過程．

為了分類的正確性，分類討論必需遵循一定的原則舉行，在中學(xué)時(shí)期，我們經(jīng)常用到的有以下四大原則:

⑴同一性原則

分類應(yīng)按照同一標(biāo)準(zhǔn)舉行，即每次分類別能并且使用幾個(gè)別同的分類依照．能夠經(jīng)過集合的思想來解釋，假如把研究對(duì)象看作全集I，iA是I的子集并以此分類，且IAAAn=??K21，則稱這種分類()AnAAK,,２１符合同一性原則．

⑵互斥性原則

分類后的每個(gè)子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互別相容，即做到各個(gè)子項(xiàng)相互排斥，分類后別能有點(diǎn)元素既屬于那個(gè)子項(xiàng)，又屬于另一具子項(xiàng)．即關(guān)于研究對(duì)象I，()niAiK1=是I的子集，且作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，若()jinjiAAji≠=Φ=?,1,K，則稱這種分類符合互斥性原則．

⑶相稱性原則

分類應(yīng)當(dāng)相稱，即劃分后子項(xiàng)外延的總和（并集），應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)的外延相等．⑷層次性原則

分類有一次分類和多次分類之分，一次分類是對(duì)被討論對(duì)象只分類一次；多次分類是把分類后的所有的子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再次舉行分類，直到滿腳需要為止．

分類討論的意義：在解決數(shù)學(xué)咨詢題時(shí)，關(guān)于因?yàn)榇嬖谝恍﹦e確定因素?zé)o法解答或者結(jié)論別能賦予統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)咨詢題，我們往往將咨詢題按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干類或若干個(gè)局部咨詢題來解決，經(jīng)過正確的分類，可以克服思維的片面性，能夠使復(fù)雜的咨詢題得到清楚，完整，嚴(yán)密的解答．

3分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1分類討論思想在集合中的應(yīng)用

在集合運(yùn)算中也常常需結(jié)合元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系分類討論，尤其是對(duì)一些

含參數(shù)的集合咨詢題，常需要舉行分類討論求解．

例1設(shè)2{|2},{|23,},{|,},AxxaByyxxACzzxxA=-≤≤==+∈==∈且BC?，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

分析當(dāng)ax≤≤-2時(shí)2zx=的范圍與實(shí)數(shù)a取值的正負(fù)號(hào)，a與2的大小均有關(guān)系，所以必須對(duì)a分事情討論，從而得到集合C，再依照BC?，求出a的取值范圍．

解{}axxA≤≤-=2Θ，

}{AxxyyB∈+==∴,32{}321+≤≤-=ayy．

⑴當(dāng)20a-≤≤時(shí)，2{|4}Czaz=≤≤，因?yàn)镃B?，因此423a≤+，解得

12

a≥，

與20a-≤≤矛盾．

⑵當(dāng)02a時(shí)，2{|0}Czza=≤≤，因?yàn)镃B?，因此223aa≤+，解得

13a-≤≤，

故

23a時(shí)，

()3122fxxxx=-++=-；即

22,1

()4,13

22,3

xx

fxx

xx

-+≤-

?

?

=-

?

．

故()

fx的函數(shù)圖像為如圖（1）所示:

圖（1）

3.2.2函數(shù)中含參數(shù)的分類討論

例3已知函數(shù)()3

2

22+

-

=ax

x

x

f在區(qū)間[]1,1

-上有最小值，記作g(a)，求g(a)的函數(shù)表達(dá)式．

解原式配方得

2

2

2()3

22

aa

yx

=-+-，

其對(duì)稱軸方程為

2

a

x=，

⑴當(dāng)1

2

a

≤-時(shí)，即2

a≤-時(shí)，y在[]1,1

-上遞增，

在1

x=-時(shí)，

()25

gaa

=+；

⑵當(dāng)11

2

a

-

-x

x．

分析解此別等式需要去掉根號(hào)，而去掉根號(hào)時(shí)，需要思考兩邊是否同為正，才干并且平方而別改變別等號(hào)方向，所以依照運(yùn)算要求舉行分類討論．

解原別等式等價(jià)于

10

30

x

x

-≥

?

?

--

??

；

解得

3

1≤

≤x，

或

5

3．

分析原別等式是對(duì)于x的一元二次別等式，可化為

2

()()0

xaxa

-->．

由于a與2a無法確定，此別等式無法解下去，所以對(duì)a舉行討論，討論的著眼點(diǎn)應(yīng)該在a與2

a的大小上．

解⑴當(dāng)1

0

a或0

na，若

()nn

nSb1-=，求數(shù)列{}nb的前n項(xiàng)的和nT．

解⑴Ⅰ當(dāng)1=n時(shí)，由

2

11121??

?

??+==aSa，

得

11=a；

Ⅱ當(dāng)2≥n時(shí)，由

2

121

2121??

???+-?????+=-=--nnnnnaaSSa，得

()()0211=--+--nnnnaaaa．

0>naΘ，21=-∴-nnaa，

即{}na是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，從而2nSn=，()()211nSbn

nn

n-=-=．

⑵Ⅰ當(dāng)()+∈=Nmmn2，即偶數(shù)時(shí)，mnTT2=

()()2

2

22222124321mm++-+-=K

()()()()[]

2

222221223412--++-+-=mmK()2122+=mm()2

1+=

nn；Ⅱ當(dāng)()Nmmn∈-=12，即奇數(shù)時(shí)，

()()2

12122212+-=--=-==-nnnnnbTTTmmmn．綜上所述

()()()+∈+?-=NnnnTnn,2

11．

3.6分類討論思想在圓錐曲線中的應(yīng)用

例10如圖（2）所示，給定點(diǎn)()()00>aaA，

和直線l上的動(dòng)點(diǎn)AB，BOA∠的角平分線交AB于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的軌跡方程，并講啥曲線．

（圖2）

分析由于動(dòng)點(diǎn)因點(diǎn)在直線l上的位置的變動(dòng)而變化，故設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)()()為參數(shù)，

bb,1-，由題意知C點(diǎn)應(yīng)為b的表達(dá)式，消去參數(shù)，即得C點(diǎn)的軌跡方程．本體的關(guān)鍵是怎么求C點(diǎn)的坐標(biāo)，辦法有多種，如利用角平分線的定義，性質(zhì)可得．

解依題意，記)(),,1(RbbB∈，則直線OA和OB的方程分不為0=y和bxy-=．設(shè)點(diǎn)()yxC,，則有

ax，求AB與平面α的距離．分析作ACα

⊥，垂腳為C，則AC即為所求距離．作BDα

⊥，垂腳為D，//

ABα

Q//

ABCD

∴，由已知可證AB⊥面

1

AAC，同理可證⊥

AB面

1

BBD，

∴面

1

//

AAC面

1

BBD，由面面平行的性質(zhì)定理可知

11

//

AC

BD．思考到

11

,

AB在CD的同側(cè)或CD異側(cè)，因此分兩種事情討論．

解⑴如圖（3），

11

,

AB在CD的同側(cè)時(shí)，過點(diǎn)

1

B作

11

BEAC

⊥，垂腳為E，由已知

30

1

AAC?

∠=，

1

60

BBD?

∠=．

設(shè)ACx

=，則可用x表示，在

11

RtAEB

?中，利用勾股定理列方程，解得

22

3

2

xba

=-．

圖(3)圖(4)

⑵如圖（4），

11

,

AB在CD異側(cè)時(shí)，在平面α內(nèi)作

11

AE

BD

⊥，交其延長(zhǎng)線于E，同理可得

22

3

4

ACba

=-

3.8分類討論思想在實(shí)際咨詢題中的應(yīng)用

近幾年來，考試命題從知識(shí)轉(zhuǎn)向能力測(cè)試，浮現(xiàn)了大量有鮮活背景的實(shí)際應(yīng)用題，這種應(yīng)用題，往往需要有分類討論的思想才干順利解決．其解題思路是：用數(shù)學(xué)的語言加以表達(dá)和交流，敏捷的同意試題所提供的信息，并和所學(xué)的有關(guān)知識(shí)相結(jié)合，確定適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，把一具復(fù)雜的應(yīng)用題分解成幾個(gè)較簡(jiǎn)單的咨詢題，從而使咨詢題獲解．

例12有一批物資，如在本月初出售，可獲利10萬元，然后將本利都存入銀行，每月利

率為%

4.2，如在下月出售，可獲利12萬元，但要付

5.0萬元物資保管費(fèi)，試咨詢這批物資在本月初出售合算依然下月初出售合算?

解設(shè)這批物資的成本a萬元．

⑴若這批物資在本月初出售，將本利存入銀行，到下月初貨主有金額

()()%4.2

1

10+

+

=a

m；

⑵若這批物資在下月初出售，貨主有金額為

5.0

12-

+

=a

n；

⑶()5.52

024

.0

26

.1

024

.0-

=

-

=

-a

a

n

m，

∴當(dāng)成本5.

52

>

a時(shí)，應(yīng)該本月初出售合算；

當(dāng)成本5.

52

=

a時(shí)，在本月初出售或下月初出售都一樣；

當(dāng)成本5.

52

<

a時(shí)，在下月初出售合算．

4怎么簡(jiǎn)化分類討論

分類討論是一種重要的解題策略，但他別是萬能的，別是唯一的，關(guān)于分類討論的咨詢題，在熟悉和掌握分類討論的并且，要注意克服盲目討論的思維定勢(shì)，要仔細(xì)審查題目的特點(diǎn)，充分挖掘題中潛在的特別性和簡(jiǎn)單性，盡量幸免分類討論，簡(jiǎn)化分類討論過程，從而提高分類討論的效果．下面關(guān)于幸免和簡(jiǎn)化分類討論簡(jiǎn)單舉個(gè)例子：

例13對(duì)于x的方程0

1

2

22

2=

-

+

+m

mx

x至少有1個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．分析本題若正面思考，則必須分為下列3種事情加以討論:

⑴有2個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根；

⑵有1個(gè)正實(shí)數(shù)根和1個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根；

⑶有1個(gè)負(fù)