數(shù)學(xué)建模入門(mén)教程

數(shù)學(xué)建模入門(mén)教程（一）數(shù)學(xué)模型概述數(shù)學(xué)模型的歷史可以追朔到人類開(kāi)始使用數(shù)字的時(shí)代。隨著人類使用數(shù)字，就不斷地建立各種數(shù)學(xué)模型，以解決各種各樣的實(shí)際問(wèn)題。真正開(kāi)始提出并研究它是20世紀(jì)70年代后，由于它的廣泛性與實(shí)用性，于是迅速推廣開(kāi)來(lái)。大家可能記得，從20世紀(jì)80年代起，我國(guó)科技界興起一股不論對(duì)什么問(wèn)題進(jìn)行研究，都要建立數(shù)學(xué)模型的風(fēng)氣。從此不論是經(jīng)濟(jì)、法律、醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、交通、軍事等領(lǐng)域，數(shù)學(xué)模型已不再是陌生的名詞。在工程領(lǐng)域，電氣工程師必須建立所要控制的生產(chǎn)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，以便對(duì)控制裝置做出相應(yīng)的設(shè)計(jì)和計(jì)算，才能實(shí)現(xiàn)有效的過(guò)程控制。氣象工作者為了得到準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)，一刻也離不開(kāi)根據(jù)氣象站、氣象衛(wèi)星匯集的氣壓、雨量、風(fēng)速等資料建立數(shù)學(xué)模型。生理醫(yī)學(xué)專家有了藥物濃度在人體內(nèi)隨時(shí)間、空間變化的數(shù)學(xué)模型，就可以分析藥物的療效，有效的指導(dǎo)臨床用藥。城市規(guī)劃者需要建立一個(gè)包括人口、經(jīng)濟(jì)、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為領(lǐng)導(dǎo)層對(duì)城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學(xué)依據(jù)。廠長(zhǎng)經(jīng)理們應(yīng)該能夠根據(jù)產(chǎn)品的需求狀況、生產(chǎn)條件和成本、貯藏費(fèi)用等信息，籌劃出一個(gè)合理安排生產(chǎn)和銷(xiāo)售的數(shù)學(xué)模型。就是在平時(shí)對(duì)大學(xué)生的綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)、對(duì)教師的工作業(yè)績(jī)的評(píng)定以及諸如訪友、采購(gòu)等日?；顒?dòng)，都可以建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，確立一個(gè)最佳方案。對(duì)于廣大的科學(xué)技術(shù)工作者對(duì)大學(xué)生的綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)、對(duì)教師的工作業(yè)績(jī)的評(píng)定以及諸如訪友、采購(gòu)等日?；顒?dòng)，都可以建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，確立一個(gè)最佳方案。建立數(shù)學(xué)模型是溝通擺在面前的實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁。（二）數(shù)學(xué)模型概念什么是數(shù)學(xué)模型？國(guó)外曾有人為它下了一個(gè)簡(jiǎn)單的定義：把實(shí)際問(wèn)題中各變量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)形式表示出來(lái)，叫數(shù)學(xué)模型。由于它的廣泛性，這樣的定義是難以真正理解它的真實(shí)含義的。下面舉例來(lái)說(shuō)明。1、各種應(yīng)用題的解過(guò)程都是數(shù)學(xué)模型。小學(xué)的數(shù)學(xué)題可以分為文字題、碼字題兩類，文字題較難，何況還可以有不同的方法、思路，這部分就是在建模。碼字題是以有算式，只需要求解可看作是模型的求解。有這樣一道題：雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？用x,y分別表示雞與兔，可以列出方程x+y=46,2x+4y=128實(shí)際上，這組方程就是上述雞兔同籠問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。列出方程，原問(wèn)題已轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題。方程的解為x=28,y=18,這就是雞兔同籠問(wèn)題的答案。2、九大行星的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。太陽(yáng)系有金星、木星、水星、火星、土星、地球、天王星、海王星和冥王星等九大行星。在人類發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，很早就通過(guò)觀察注意到了金、木、水、火、土五星與其他星不同，中國(guó)歷史上的“五行”一說(shuō)也來(lái)源于此。在伽利略、哥白尼的太陽(yáng)中心說(shuō)確立后，到它們與地球一起是太陽(yáng)系的行星，不久又發(fā)現(xiàn)了天王星，之后就沒(méi)有單純依靠觀測(cè)發(fā)現(xiàn)其它行星。微積分發(fā)展起來(lái)之后，人們開(kāi)始計(jì)算太陽(yáng)系每顆行星的軌道?？茖W(xué)家發(fā)現(xiàn)除了天王星之外，其它行星的理論軌道基本吻合，而天王星相差較大，仿佛受到變化的外力，估計(jì)有另外的行星通過(guò)萬(wàn)有引力在影響著它的運(yùn)動(dòng)。于是根據(jù)天王星運(yùn)動(dòng)的差異，經(jīng)過(guò)計(jì)算確定在天空的某一位置應(yīng)有一顆行星，這樣在確定的區(qū)域里去尋找，終于發(fā)現(xiàn)了第八顆行星——海王星。后來(lái)，有人又用同樣方法發(fā)行了冥王星。用數(shù)學(xué)模型的方法找到海王星的事例，是人類最初也是最重要的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的范例。3、美國(guó)總統(tǒng)競(jìng)選的模擬?？偨y(tǒng)競(jìng)選是西方國(guó)家政治上的頭等大事。早在20世紀(jì)30年代美國(guó)有人企圖用模擬的方法去預(yù)測(cè)一下評(píng)選結(jié)果，于是國(guó)家出資成立一個(gè)專門(mén)的預(yù)測(cè)機(jī)構(gòu)。通過(guò)收集資料，設(shè)計(jì)不同的模擬方法，進(jìn)行預(yù)測(cè)。開(kāi)始沒(méi)有使用計(jì)算機(jī)，后來(lái)使用計(jì)算機(jī)，前后預(yù)測(cè)了十幾屆的總統(tǒng)選舉，都收到非常好的效果。首先選舉結(jié)果沒(méi)有預(yù)測(cè)錯(cuò)，其次票數(shù)也基本一致，這里主要是采用模擬模型。4、到處都有數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題。不是只有那些大型、核心的問(wèn)題才有數(shù)學(xué)模型問(wèn)題。在我們身邊到處都是需解決的問(wèn)題。20年前中央發(fā)下的售房的價(jià)格通知中，有這樣一個(gè)公式，根據(jù)房子成本價(jià)、使用年限以及工齡等可算出應(yīng)售出的價(jià)格。公式中有一括號(hào)，括號(hào)內(nèi)是加減運(yùn)算，其中一項(xiàng)是工齡，括號(hào)外是一乘法運(yùn)算，因子是用房子使用年限構(gòu)成的“成新率”，含義是按使用年限對(duì)房屋進(jìn)行折舊。但是有心人馬上能看出公式有毛??；工齡也被折舊了！本來(lái)對(duì)這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的公式，只要對(duì)大家都公平，沒(méi)有仔細(xì)推敲，也都知道這不是出于數(shù)學(xué)工作者之手，不必求全責(zé)備?？善皇沁@樣，明顯看出這種公式對(duì)工齡越長(zhǎng)、住房越久的人越不公平。從這個(gè)問(wèn)題更看出普及建模能力的必要性。從以上我們可以看出數(shù)學(xué)建模的威力，它正在滲透在科學(xué)研究、工、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、我們?nèi)粘Ｉ畹雀鞣矫妗Ｄ敲磾?shù)學(xué)建模的精確定義是什么呢？數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和工具，對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的信息（現(xiàn)象、數(shù)據(jù)）加以翻譯、歸納的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)模型經(jīng)過(guò)演繹、求解以及推斷，給出數(shù)學(xué)上的分析、預(yù)測(cè)、決策或控制，再經(jīng)過(guò)翻譯和解釋，回到現(xiàn)實(shí)世界中。最后，這些推論或結(jié)果必須經(jīng)受實(shí)際的檢驗(yàn)，完成實(shí)踐——理論——實(shí)踐這一循環(huán)，如果檢驗(yàn)的結(jié)果是正確或基本正確的，即可用來(lái)指導(dǎo)實(shí)際，否則，要重新考慮翻譯、歸納的過(guò)程，修改數(shù)學(xué)模型。作為一種數(shù)學(xué)思考方法，數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)的對(duì)象通過(guò)心智活動(dòng)構(gòu)造出的一種能抓住其重要而且有用的（常常是形象化的或者是符號(hào)的）表示。更具體的，它是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，為了某個(gè)特定目的，做出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，動(dòng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)性態(tài)，或者能預(yù)測(cè)對(duì)象的未來(lái)狀況，或者能提供處理對(duì)象的最優(yōu)決策或控制。數(shù)學(xué)模型的分類方法有多種，以下是常見(jiàn)的幾種分類：（1）按照建模所用的數(shù)學(xué)方法的不同，可分為：人口模型、運(yùn)籌學(xué)模型、微分方程模型、概率統(tǒng)計(jì)模型、控制論模型等。（2）按照數(shù)學(xué)模型應(yīng)用領(lǐng)域的不同，可分為：人口模型、交通模型、體育模型、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)模型、金融模型、環(huán)境模型、生理模型、生態(tài)模型、企業(yè)管理模型等。（3）按照模型的表現(xiàn)特性可分為：確定性與不確定性模型，不確定模型包括隨機(jī)性與模糊性模型；靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型；離散模型與連續(xù)模型；線性模型與非線性模型。（三）建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題是多種多樣的，而且大多比較復(fù)雜，所以建立數(shù)學(xué)模型需要哪些步驟并沒(méi)有固定的模式，建立數(shù)學(xué)模型的方法也是多種多樣的。但是建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟也有一些共性的東西，掌握這些共同的規(guī)律，將有助于數(shù)學(xué)模型的建立。下面介紹數(shù)學(xué)建模的基本步驟：1、模型準(zhǔn)備對(duì)原始實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行調(diào)查了解，抽象出語(yǔ)言敘述的模型及相應(yīng)的數(shù)據(jù)條件等，常稱為原始模型。（建模競(jìng)賽時(shí)常換為問(wèn)題重述）實(shí)際上抽象出原始模型時(shí)常常已對(duì)模型的進(jìn)一步建立及求解有了一些想法，比如采用哪種類型模型等。此步驟注意要將所有搜集到信息表述出來(lái)，不得遺漏。2、模型的假設(shè)這是非常關(guān)鍵的步驟，不同的假設(shè)將導(dǎo)致不同的模型。利用合理的、必要的假設(shè)，可簡(jiǎn)化模型使無(wú)法下手的問(wèn)題易于解決。但過(guò)度的簡(jiǎn)化而得到模型可能無(wú)實(shí)用價(jià)值，舍不得簡(jiǎn)化又可能導(dǎo)致得到一個(gè)無(wú)法求解的模型或模型的解非常復(fù)雜，以致無(wú)法應(yīng)用。到底簡(jiǎn)化到什么程度要看問(wèn)題的性質(zhì)與建模的目的以及建立模型中的某些需要。這里要提醒注意的是：對(duì)于一個(gè)假設(shè)，最重要的是它是否符合實(shí)際情況，而不是為了解決問(wèn)題的方便。通常做出合理假設(shè)的依據(jù)一是處于對(duì)問(wèn)題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)，二是來(lái)自對(duì)數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析，也可是兩者的綜合。作假設(shè)時(shí)既要運(yùn)用與問(wèn)題相關(guān)的物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等方面的知識(shí)，又要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別問(wèn)題的主次，抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量使問(wèn)題簡(jiǎn)化（比如線形化、均勻化等）。經(jīng)驗(yàn)在這里也常起重要作用有些假設(shè)在建模過(guò)程中才會(huì)發(fā)現(xiàn)。因此在建模是要注意調(diào)整假設(shè)。3、模型的建立根據(jù)所做的假設(shè)，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立各個(gè)量之間的等式或不等式關(guān)系，列出表格，畫(huà)出圖形或確定其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是建立數(shù)學(xué)模型的第三步。為了完成這項(xiàng)數(shù)學(xué)模型的主體工作，人們常常需要廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，除了微積分、微分方程、線形代數(shù)及概率統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)外，還會(huì)用到諸如規(guī)劃論、排隊(duì)論、圖與網(wǎng)絡(luò)及對(duì)策論等。推而廣之，可以說(shuō)任何一個(gè)數(shù)字分支都可能應(yīng)用到建模過(guò)程中。當(dāng)然，這并非是要求你對(duì)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支都精通，事實(shí)上，建模時(shí)還有一個(gè)原則，即盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具，以便使更多的人了解和使用。當(dāng)然建模時(shí)需要有靈活、清醒的頭腦和創(chuàng)造性思維的能力。4、模型的求解根據(jù)模型的性質(zhì)，選擇適當(dāng)方法去解?？赡苁墙馕龇椒?，也可是求近似解。再根據(jù)建模目的對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，決策與控制。5、模型的檢驗(yàn)把上述結(jié)果翻譯回原問(wèn)題，并與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用性與合理性。如果模型不實(shí)用，必須從模型假設(shè)那里重新開(kāi)始，直到得到可用模型。6、模型的推廣在一個(gè)領(lǐng)域里解決問(wèn)題時(shí)建立的模型，常常簡(jiǎn)單的稍加處理推廣到其他領(lǐng)域。討論一下這方面內(nèi)容?？稍黾幽Ｐ偷膽?yīng)用價(jià)值。（四）數(shù)學(xué)建模實(shí)例----燒開(kāi)水問(wèn)題課題背景：北京市發(fā)改委發(fā)布的《北京市“十一五”時(shí)期能源發(fā)展及節(jié)能規(guī)劃》指出：“十一五”期間，北京將逐步建立能源儲(chǔ)備，調(diào)整能源結(jié)構(gòu)，使萬(wàn)元GDP能耗比2005年降低20%?，F(xiàn)在許多家庭都以燃?xì)猓ㄔ诔鞘幸话阌锰烊粴?、燃?xì)?、液化氣，在農(nóng)村一般用液化氣、沼氣）為燒水做飯的燃料，節(jié)約用氣是非常現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題。同時(shí)，節(jié)約燃?xì)庖彩墙档蜕钅芎牡闹匾緩?。?jié)約燃?xì)庥卸喾N途徑。在本節(jié)課題中給定以下具體任務(wù)：取定一壺水，希望在不更換水壺，且不能對(duì)壺中的水進(jìn)行其他處理的情況下，只通過(guò)控制燃?xì)忾y門(mén)改變氣流量，使燒開(kāi)這壺水所用的燃?xì)饬孔钚?。（因?yàn)殛P(guān)閉時(shí)，燃?xì)庑o的位置為豎直方向，我們把這個(gè)位置定為，燃?xì)忾_(kāi)到最大時(shí)，旋轉(zhuǎn)了。為方便計(jì)算，將五等分如下圖，其他位置選取方法學(xué)生可進(jìn)行嘗試）數(shù)學(xué)建模入門(mén)孟敏摘要：本文主要介紹數(shù)學(xué)建模課程的發(fā)展歷史、數(shù)學(xué)模型的概念，數(shù)學(xué)建模的基本要求和步驟以及簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，最后介紹一個(gè)《燒開(kāi)水問(wèn)題》的教學(xué)案例。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；模型表示；模型建立；模型歸納；模型假設(shè)（一）數(shù)學(xué)模型概述數(shù)學(xué)模型的歷史可以追朔到人類開(kāi)始使用數(shù)字的時(shí)代。隨著人類使用數(shù)字，就不斷地建立各種數(shù)學(xué)模型，以解決各種各樣的實(shí)際問(wèn)題。真正開(kāi)始提出并研究它是20世紀(jì)70年代后，由于它的廣泛性與實(shí)用性，于是迅速推廣開(kāi)來(lái)。大家可能記得，從20世紀(jì)80年代起，我國(guó)科技界興起一股不論對(duì)什么問(wèn)題進(jìn)行研究，都要建立數(shù)學(xué)模型的風(fēng)氣。從此不論是經(jīng)濟(jì)、法律、醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、交通、軍事等領(lǐng)域，數(shù)學(xué)模型已不再是陌生的名詞。在工程領(lǐng)域，電氣工程師必須建立所要控制的生產(chǎn)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，以便對(duì)控制裝置做出相應(yīng)的設(shè)計(jì)和計(jì)算，才能實(shí)現(xiàn)有效的過(guò)程控制。氣象工作者為了得到準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)，一刻也離不開(kāi)根據(jù)氣象站、氣象衛(wèi)星匯集的氣壓、雨量、風(fēng)速等資料建立數(shù)學(xué)模型。生理醫(yī)學(xué)專家有了藥物濃度在人體內(nèi)隨時(shí)間、空間變化的數(shù)學(xué)模型，就可以分析藥物的療效，有效的指導(dǎo)臨床用藥。城市規(guī)劃者需要建立一個(gè)包括人口、經(jīng)濟(jì)、交通、環(huán)境等大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為領(lǐng)導(dǎo)層對(duì)城市發(fā)展規(guī)劃的決策提供科學(xué)依據(jù)。廠長(zhǎng)經(jīng)理們應(yīng)該能夠根據(jù)產(chǎn)品的需求狀況、生產(chǎn)條件和成本、貯藏費(fèi)用等信息，籌劃出一個(gè)合理安排生產(chǎn)和銷(xiāo)售的數(shù)學(xué)模型。就是在平時(shí)對(duì)大學(xué)生的綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)、對(duì)教師的工作業(yè)績(jī)的評(píng)定以及諸如訪友、采購(gòu)等日?；顒?dòng)，都可以建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，確立一個(gè)最佳方案。對(duì)于廣大的科學(xué)技術(shù)工作者對(duì)大學(xué)生的綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)、對(duì)教師的工作業(yè)績(jī)的評(píng)定以及諸如訪友、采購(gòu)等日?；顒?dòng)，都可以建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，確立一個(gè)最佳方案。建立數(shù)學(xué)模型是溝通擺在面前的實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)工具之間聯(lián)系的一座必不可少的橋梁。（二）數(shù)學(xué)模型概念什么是數(shù)學(xué)模型？國(guó)外曾有人為它下了一個(gè)簡(jiǎn)單的定義：把實(shí)際問(wèn)題中各變量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)形式表示出來(lái)，叫數(shù)學(xué)模型。由于它的廣泛性，這樣的定義是難以真正理解它的真實(shí)含義的。下面舉例來(lái)說(shuō)明。1、各種應(yīng)用題的解過(guò)程都是數(shù)學(xué)模型。小學(xué)的數(shù)學(xué)題可以分為文字題、碼字題兩類，文字題較難，何況還可以有不同的方法、思路，這部分就是在建模。碼字題是以有算式，只需要求解可看作是模型的求解。有這樣一道題：雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？用x,y分別表示雞與兔，可以列出方程x+y=46,2x+4y=128實(shí)際上，這組方程就是上述雞兔同籠問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。列出方程，原問(wèn)題已轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題。方程的解為x=28,y=18,這就是雞兔同籠問(wèn)題的答案。2、九大行星的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。太陽(yáng)系有金星、木星、水星、火星、土星、地球、天王星、海王星和冥王星等九大行星。在人類發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，很早就通過(guò)觀察注意到了金、木、水、火、土五星與其他星不同，中國(guó)歷史上的“五行”一說(shuō)也來(lái)源于此。在伽利略、哥白尼的太陽(yáng)中心說(shuō)確立后，到它們與地球一起是太陽(yáng)系的行星，不久又發(fā)現(xiàn)了天王星，之后就沒(méi)有單純依靠觀測(cè)發(fā)現(xiàn)其它行星。微積分發(fā)展起來(lái)之后，人們開(kāi)始計(jì)算太陽(yáng)系每顆行星的軌道?？茖W(xué)家發(fā)現(xiàn)除了天王星之外，其它行星的理論軌道基本吻合，而天王星相差較大，仿佛受到變化的外力，估計(jì)有另外的行星通過(guò)萬(wàn)有引力在影響著它的運(yùn)動(dòng)。于是根據(jù)天王星運(yùn)動(dòng)的差異，經(jīng)過(guò)計(jì)算確定在天空的某一位置應(yīng)有一顆行星，這樣在確定的區(qū)域里去尋找，終于發(fā)現(xiàn)了第八顆行星——海王星。后來(lái)，有人又用同樣方法發(fā)行了冥王星。用數(shù)學(xué)模型的方法找到海王星的事例，是人類最初也是最重要的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的范例。3、美國(guó)總統(tǒng)競(jìng)選的模擬?？偨y(tǒng)競(jìng)選是西方國(guó)家政治上的頭等大事。早在20世紀(jì)30年代美國(guó)有人企圖用模擬的方法去預(yù)測(cè)一下評(píng)選結(jié)果，于是國(guó)家出資成立一個(gè)專門(mén)的預(yù)測(cè)機(jī)構(gòu)。通過(guò)收集資料，設(shè)計(jì)不同的模擬方法，進(jìn)行預(yù)測(cè)。開(kāi)始沒(méi)有使用計(jì)算機(jī)，后來(lái)使用計(jì)算機(jī)，前后預(yù)測(cè)了十幾屆的總統(tǒng)選舉，都收到非常好的效果。首先選舉結(jié)果沒(méi)有預(yù)測(cè)錯(cuò)，其次票數(shù)也基本一致，這里主要是采用模擬模型。4、到處都有數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題。不是只有那些大型、核心的問(wèn)題才有數(shù)學(xué)模型問(wèn)題。在我們身邊到處都是需解決的問(wèn)題。20年前中央發(fā)下的售房的價(jià)格通知中，有這樣一個(gè)公式，根據(jù)房子成本價(jià)、使用年限以及工齡等可算出應(yīng)售出的價(jià)格。公式中有一括號(hào)，括號(hào)內(nèi)是加減運(yùn)算，其中一項(xiàng)是工齡，括號(hào)外是一乘法運(yùn)算，因子是用房子使用年限構(gòu)成的“成新率”，含義是按使用年限對(duì)房屋進(jìn)行折舊。但是有心人馬上能看出公式有毛??；工齡也被折舊了！本來(lái)對(duì)這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的公式，只要對(duì)大家都公平，沒(méi)有仔細(xì)推敲，也都知道這不是出于數(shù)學(xué)工作者之手，不必求全責(zé)備?？善皇沁@樣，明顯看出這種公式對(duì)工齡越長(zhǎng)、住房越久的人越不公平。從這個(gè)問(wèn)題更看出普及建模能力的必要性。從以上我們可以看出數(shù)學(xué)建模的威力，它正在滲透在科學(xué)研究、工、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、我們?nèi)粘Ｉ畹雀鞣矫?。那么?shù)學(xué)建模的精確定義是什么呢？數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和工具，對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的信息（現(xiàn)象、數(shù)據(jù)）加以翻譯、歸納的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)模型經(jīng)過(guò)演繹、求解以及推斷，給出數(shù)學(xué)上的分析、預(yù)測(cè)、決策或控制，再經(jīng)過(guò)翻譯和解釋，回到現(xiàn)實(shí)世界中。最后，這些推論或結(jié)果必須經(jīng)受實(shí)際的檢驗(yàn)，完成實(shí)踐——理論——實(shí)踐這一循環(huán)，如果檢驗(yàn)的結(jié)果是正確或基本正確的，即可用來(lái)指導(dǎo)實(shí)際，否則，要重新考慮翻譯、歸納的過(guò)程，修改數(shù)學(xué)模型。作為一種數(shù)學(xué)思考方法，數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)的對(duì)象通過(guò)心智活動(dòng)構(gòu)造出的一種能抓住其重要而且有用的（常常是形象化的或者是符號(hào)的）表示。更具體的，它是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，為了某個(gè)特定目的，做出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，動(dòng)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)性態(tài)，或者能預(yù)測(cè)對(duì)象的未來(lái)狀況，或者能提供處理對(duì)象的最優(yōu)決策或控制。數(shù)學(xué)模型的分類方法有多種，以下是常見(jiàn)的幾種分類：（1）按照建模所用的數(shù)學(xué)方法的不同，可分為：人口模型、運(yùn)籌學(xué)模型、微分方程模型、概率統(tǒng)計(jì)模型、控制論模型等。（2）按照數(shù)學(xué)模型應(yīng)用領(lǐng)域的不同，可分為：人口模型、交通模型、體育模型、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)模型、金融模型、環(huán)境模型、生理模型、生態(tài)模型、企業(yè)管理模型等。（3）按照模型的表現(xiàn)特性可分為：確定性與不確定性模型，不確定模型包括隨機(jī)性與模糊性模型；靜態(tài)模型與動(dòng)態(tài)模型；離散模型與連續(xù)模型；線性模型與非線性模型。（三）建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題是多種多樣的，而且大多比較復(fù)雜，所以建立數(shù)學(xué)模型需要哪些步驟并沒(méi)有固定的模式，建立數(shù)學(xué)模型的方法也是多種多樣的。但是建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟也有一些共性的東西，掌握這些共同的規(guī)律，將有助于數(shù)學(xué)模型的建立。下面介紹數(shù)學(xué)建模的基本步驟：1、模型準(zhǔn)備對(duì)原始實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行調(diào)查了解，抽象出語(yǔ)言敘述的模型及相應(yīng)的數(shù)據(jù)條件等，常稱為原始模型。（建模競(jìng)賽時(shí)常換為問(wèn)題重述）實(shí)際上抽象出原始模型時(shí)常常已對(duì)模型的進(jìn)一步建立及求解有了一些想法，比如采用哪種類型模型等。此步驟注意要將所有搜集到信息表述出來(lái)，不得遺漏。2、模型的假設(shè)這是非常關(guān)鍵的步驟，不同的假設(shè)將導(dǎo)致不同的模型。利用合理的、必要的假設(shè)，可簡(jiǎn)化模型使無(wú)法下手的問(wèn)題易于解決。但過(guò)度的簡(jiǎn)化而得到模型可能無(wú)實(shí)用價(jià)值，舍不得簡(jiǎn)化又可能導(dǎo)