3二面角求法（學(xué)生版）

第-1-頁共4頁二面角求法一、知識準備1．二面角的概念：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面.

2．二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角。3．二面角的大小范圍：[0°，180°]4．三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直5．二面角做法：做二面角的平面角主要有3種方法：

（1）定義法：在棱上取一點，在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的2條射線，這2條所夾的角；

（2）垂面法：做垂直于棱的一個平面，這個平面與2個半平面分別有一條交線，這2條交線所成的角；

（3）三垂線法：過一個半平面內(nèi)一點（記為A）做另一個半平面的一條垂線，過這個垂足（記為B）再做棱的垂線，記垂足為C，連接AC，則∠ACB即為該二面角的平面角。二、二面角的基本求法及練習(xí)1、定義法：ABCABCDA1B1C1D1例1在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求：（1）二面角的大小；（2）平面與平面所成角的正切值。例2如圖1，設(shè)正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為CC1中點，求截面A1BD和EBD所成二面角的度數(shù)。2、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．通常當點P在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。ABCDFEG例3平面平面，是正方形，是矩形且AF=AD=，G是EF的中點，ABCDFEG（1）求證：平面平面；（2）求GB與平面AGC所成角的正弦值；（3）求二面角的大小。例4點P在平面ABC外，是等腰直角三角形，，是正三角形，。（1）求證：；（2）求二面角的大小。3、垂面法:由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角。例如：過二面角內(nèi)一點A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于點O，則∠BOC就是二面角的平面角。

例5，（1）求證：；（2）求二面角的大?。唬?）求異面直線SC與AB所成角的余弦值。例6如圖，已知PA與正方形ABCD所在平面垂直，且AB＝PA，求平面PAB與平面PCD所成的二面角的大小。4．無棱二面角的處理方法（1）補棱法本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決例7如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.ABCA1B1C1D例8如圖，設(shè)正三棱柱各棱長均為，為ABCA1B1C1D（2）射影面積法（）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。ABCDA1B1C1D1E例9正方體ABCD-AABCDA1B1C1D1E例10如圖，在三棱錐中，，，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的大?。焕?1如圖3-5，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分別是AC，AB上的點，CD＝BE＝eq\r(2)，O為BC的中點．將△ADE沿DE折起，得到如圖(2)所示的四棱錐A′-BCDE，其中A′O＝eq\r(3).(1)(2)(1)證明：A′O⊥平面BCDE(1)(2)(2)求二面角A′-CD-B