高一數(shù)學(xué)26指數(shù)函數(shù)(備課資料)大綱人教版必修

●備課資料一、指數(shù)函數(shù)的定義函數(shù)y＝ax（a＞0且a≠1)叫指數(shù)函數(shù)，此中x是自變量，函數(shù)的定義域是(－∞，＋∞).說明：規(guī)定“a＞0且a≠1”的原因：假如a＝0，當(dāng)x0時,ax恒等于0,當(dāng)x0時,ax無心義假如a＜0，當(dāng)x取1，1數(shù)時，ax不存在.24假如a＝1，ax是一個常數(shù)1，對它沒有研究的必需.為了防止出現(xiàn)ax是一個常數(shù)或無心義等上述各樣狀況，因此規(guī)定：“a＞0

且

a≠1”.二、參照例題［例

1］若

y＝（a2－4）x是一個指數(shù)函數(shù)，求

a的取值范圍

.x剖析：指數(shù)函數(shù)y＝a的底數(shù)a一定知足：a＞0，且a≠1.a＞2或a＜－2，且a≠±5.故a的取值范圍是（－∞，－5）∪（－5，－2）∪（2，5）∪（5，＋∞）.評論：解題時要注意指數(shù)函數(shù)的定義，特別是指數(shù)函數(shù)y＝ax中底數(shù)的取值范圍.［例2］判斷函數(shù)y＝ax－2＋3的圖象能否恒過必定點(diǎn)?假如是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，假如不是，說明原因.剖析：函數(shù)y＝ax－2＋3的圖象是隨a的變化而變化，也就是說圖象的地點(diǎn)是不確立的.但這個函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過平移獲得的，而指數(shù)函數(shù)的圖象恒過一個定點(diǎn)，因此這個函數(shù)的圖象也應(yīng)當(dāng)過一個定點(diǎn).解：原函數(shù)可變成：y－3＝ax－2若設(shè)x－2＝x′，y－3＝y(tǒng)′，則y′＝ax′，這是一個指數(shù)函數(shù)，它的圖象恒過定點(diǎn)(0，1)，即x′＝0時，y′＝1，也就是：x－2＝0時，y－3＝1.解得：

x＝2，y＝4.因此，原函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)

(2

，4).評論：本題也可不換元而直接考慮指數(shù)等于

0的情況，因?yàn)楫?dāng)指數(shù)等于0時，只需底數(shù)不等于0，其結(jié)果就必定為1.［例3］求函數(shù)y＝ax＋k－1（a＞0且a≠1)的圖象不且只不經(jīng)過第四象限的充要條件.剖析：指數(shù)函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三、第四象限，假如把它向下平移，則所得的圖象便可能不經(jīng)過第三或第四象限.解：由已知以及指數(shù)函數(shù)的特色：可得a＞1，且－1＜k－1＜0，解得：a＞1且0＜k＜1.這就是說，函數(shù)y＝ax＋k－1（a＞0且a≠1）的圖象不且只不經(jīng)過第四象限的充要條件是：a＞1且0＜k＜1.評論：一般地，函數(shù)y＝f（x）＋k的圖象就是由函數(shù)y＝f（x）的圖象向上(k＞0)或向下(k＜0)平移｜k｜個單位獲得的.［例4］已知a＞0，且a≠1，x∈R，x≠1，當(dāng)ax21a2x時，求a的取值范圍.解：∵x∈R，x≠1x2＋1－2x＝（x－1）2＞0x2＋1＞2x又∵a＞0且a≠1，因此當(dāng)ax21a2x時，就有0＜a＜1.三、參照練習(xí)題指出以下函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)（1）y=4x;(2)y=x4;(3)y=－4x;y=(－4)x;y=πx;y=4x2;y=xx;y=(2a－1)x(a>1且a≠1).2剖析：依據(jù)指數(shù)函數(shù)定義進(jìn)行判斷.解：（1）、（5）、（8）為指數(shù)函數(shù)；（2）是冪函數(shù)；3）是－1與指數(shù)函數(shù)4x的乘積；4）中底數(shù)－4<0,∴不是指數(shù)函數(shù)；6）中指數(shù)不是自變量x,而是x的函數(shù)；7）中底數(shù)x不是常數(shù).它們都不切合指數(shù)函數(shù)的定義.評論：正確理解指數(shù)函數(shù)的定義是解好本問題的重點(diǎn).2.指數(shù)函數(shù)

y=f

(x)

的圖象經(jīng)過點(diǎn)（

π

,e

）

,

則f

(0)=

,

f

(1)=

,f(－π)=

.剖析：解答本題的重點(diǎn)是求得f(x),依據(jù)指數(shù)函數(shù)定義，可設(shè)指數(shù)函數(shù)為y=f(x)=ax.解：設(shè)y=f(x)=ax,它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（π,e).1∴e=aπ,a=e.x于是f(x)=e1∴f(0)=e0=1,f(1)=e,(－π)=e-1=1e●備課資料一、怎樣比較冪、指數(shù)值的大小利用函數(shù)的單一性比較大小波及到無理數(shù)和超越數(shù)的大小比較，一般須依據(jù)這些數(shù)的組成特色，追求某個函數(shù)作模型，而后將各數(shù)一致到這個模型中，利用函數(shù)單一性比較大小.結(jié)構(gòu)模型函數(shù)，其一般方法是：①指數(shù)同樣，底數(shù)不一樣時結(jié)構(gòu)冪函數(shù)；②底同樣，指數(shù)不一樣時結(jié)構(gòu)指數(shù)函數(shù).［例1］比較以下兩數(shù)的大小解：因?yàn)閥＝0.９x在x∈R上是減函數(shù).又因?yàn)椋╝＋1）（a＋2）≥0可得a≥－1或a≤－2.當(dāng)a≥－1時，（a＋3）2＝a2＋3a＋9＞（a＋1）（a＋2），此24a3(a1)(a2).時(0.9)20.9當(dāng)a≤－2時，（a＋3）＜0，∵a＋3＜(a21)(a2)，2此時，(0.9)(a3)(a1)(a2).2(0.9)作商法不一樣底指數(shù)的大小比較往常采納作商法.在am和bn（a＞0，b＞0）中，不如設(shè)m與n均大于零，am(an)m.nbbmnmnnmn若a≥bm時，a≥b；若a≤bm時，a≤b.［例2］比較1618與1816的大小.解：∵1618(16)16162(16)16(2)16(82)1611816181891618＞1816.利用“中間量”比較大小［例3］比較ab與ba（0＜a＜b＜1）的大小解：(1)先比較ab與aa的大小.考察函數(shù)y＝ax∵0＜a＜1∴函數(shù)y＝ax是減函數(shù).又a＜b，ab＜aa.再比較aa與ba的大小，考察函數(shù)y＝xa，∴a＞0∴函數(shù)在（0，＋∞)上是增函數(shù).又a＜b，∴aa＜ba綜上所述可知：ab＜ba.二、參照練習(xí)題將以下各數(shù)從小到大排起來剖析：比較兩數(shù)的大小，假如它們是同一個函數(shù)的函數(shù)值，則一般都是利用函數(shù)的單一性比較大小，若比許多個數(shù)的大小，則一般要先分類，而后在每一類中比較它們的大小.解：（6）0＝1，再把剩下的數(shù)分為三類：7(1)小于0的數(shù)：(－2）3，(2)大于0而小于1的數(shù)：（3)12，（5)31，5312(3)大于1的數(shù)：（2)3，(3)332而后將各種中的數(shù)進(jìn)行比較：∵0＜3＜1，（5)31＝(3)31(3)215355∵3＞1，2(2)3

1123(3)3(3)3.22因此各數(shù)從小到大挨次為：1（－2）3＜（3)2(5)53

13(6)0(2)73

2(3)3.22.設(shè)1＜（1）b＜（1）a＜1，那么（）222A.aa＜ab＜baB.aa＜ba＜abC.ab＜aa＜baD.ab＜ba＜aa解：依據(jù)1(1)b(1)a1考察函數(shù)y＝（1）x是R上的減函數(shù)，2222∴0＜a＜b＜1再用特別值進(jìn)行查驗(yàn)清除：取a＝1，b＝11111，b＝baa32333331(1)31232∵32333ab＜aa＜ba應(yīng)選C.如圖:指數(shù)函數(shù)①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象，則a、b、c、d與1的大小關(guān)系是A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c剖析：依據(jù)圖象直觀可先分為兩類，③、④的底數(shù)必定大于1，①②的底數(shù)小于1，再由③④中比較c、d的大小，由①②中比較a、b的大小.當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時，圖象上漲，且底數(shù)越大時圖象向上越湊近y軸，當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時，圖象降落，底數(shù)越小，圖象向右越湊近x軸.選B.●備課資料一、參照例題［例1］(1998年全國)函數(shù)y＝a｜x｜(a＞1)的圖象是解：∵a＞1y＝a｜x｜＝ax,x0ax,x0當(dāng)x≥0，y＝a｜x｜與y＝ax（a＞1）的圖象一致，故由此選B.二、參照練習(xí)題求函數(shù)f（x）＝(1)x22x的值域.3解：設(shè)y＝（1）ｕ，u＝x2－2x.3∵函數(shù)y＝（1）u是單一減函數(shù).3∴函數(shù)y＝f（x）與u＝x2－2x增減性相反，∵u有最小值－1，無最大值，∴y有最大值（1）-1＝3，無最小值，3又由指數(shù)函數(shù)值域y＞0知所求函數(shù)的值域?yàn)椋?，3].證明f（x）＝ax＋a-x在x∈（0，＋∞）上為增函數(shù)（a＞1）證明：設(shè)0＜x1＜x2，則f（x1）－f（x2）＝(ax1ax1)(ax2ax2)(ax1ax2)[1a(x1x2)]∵a＞1，且x1＜x2∴ax1ax2.又∵x1＞0，x2＞0由－（x1＋x2）＜0得a(x1x2)＜1∴(ax1ax2)[1a(x1x2)]＜0∴f（x1）－f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在x∈（0，＋∞)上為增函數(shù).3.若函數(shù)f（x）＝1＋a是奇函數(shù)，試求a的值.2x1解：由已知得f（－x）＝－f（x）恒建立，∴1a(x1a)恒建立.x1212而1a2xa(2x1)1a1112x12xa2x12x1因此－11a111)恒建立，即－2x(2xa111恒建立2xa2xa11∴解得a＝1.2已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（－∞，＋∞）上的增函數(shù)，試判斷函數(shù)F（x）＝2－f（x）的單一性.解：設(shè)x1＜x2，∵f（x）是定義在區(qū)間(－∞，＋∞）上的增函數(shù).∴f（x1）＜f（x2）則F（x1）－F（x2）＝2f(x1)2f(x2)又－f（x1）＞－f（x2），y＝2x是增函數(shù)，∴2f(x1)2f(x2)∴2f(x1)2f(x2)＞0∴F（x1）－F（x2）＞0即F（x1）＞F（x2）∴F（x）＝2－f（x）在（－∞，＋∞)區(qū)間上是單一減函數(shù).5.函數(shù)y＝2x－2-x的反函數(shù)（）A.是奇函數(shù)，且在（0，＋∞）上是減函數(shù)B.是偶函數(shù)，且在（0，＋∞）上是減函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在（0，＋∞）上是增函數(shù)D.是偶函數(shù)，且在（0，＋∞）上是增函數(shù)解：∵f（x）＝2x－2-xf（－x）＝2-x－2x＝－（2x－2-x）＝－f（x）f（x）是奇函數(shù).當(dāng)x增大時，2x增大，－x減小，2-x減小，－2-x增大.因此2x－2-x增大.∴f（x）是增函數(shù).應(yīng)選C.6.假如ax25xax7(此中a>0,a≠1),求x的取值范圍.解：依照指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分兩種狀況解答：（1）當(dāng)a>1時，∵ax25xax7x2－5x>x+7即x2－6x－7>0.解之得x<－1或x>7.(2)當(dāng)0<a<1時，∵ax25xax7x2－5x<x+7即x2－6x－7<0解之得－1<x<7.綜上所述：x的取值范圍是：當(dāng)a>1時，x<－1或x>7;當(dāng)0<a<1時，－1<x<7.評論：底數(shù)為字母a的題目，解答時，一般的應(yīng)分a>1或0<a<1兩種狀況，分別求解.議論函數(shù)f(x)=(1)|1+2x|+|x－2|的增減性.2剖析：第一須去掉指數(shù)中的絕對值符號，去絕對值符號須區(qū)分區(qū)間，分類議論.另外f(x)是指數(shù)函數(shù)f(t)=(1)t與函數(shù)2t=|1+2x|+|x－2|的復(fù)合函數(shù)，f(t)是減函數(shù)，因此主要議論函數(shù)t的單一性.解：設(shè)t=|1+2x|+|x－2|當(dāng)x≤－1時，2=－(1+2x)－(x－2)=－3x+1;當(dāng)－1<x<2時，2=(1+2x)－(x－2)=x+3;(3)當(dāng)x≥2時，t=(1+2x)+(x－2)=3x－1,∴當(dāng)x≤－1時，t為減函數(shù)，2當(dāng)x>－1時，t為增函數(shù).2又y=(1)t是減函數(shù)2∴當(dāng)x≤－1時，f(x)為增函數(shù).2當(dāng)x>－1時，f(x)為減函數(shù).2評論：議論函數(shù)的單一性，一定依據(jù)增、減函數(shù)的定義及復(fù)合函數(shù)單一性判斷原則，同時，要注意對函數(shù)分析式的變形.8.議論函數(shù)f(x)=ax22x1(a>0,a≠1)的奇偶性和單一性.剖析