平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（學(xué)案）

6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（學(xué)案）知識自測知識自測一．平面向量基本定理1.定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使＝λ1＋λ22.基底：不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．二．平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1.平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量、作為基底．對于平面內(nèi)的一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x，y，使得＝x＋y，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量的坐標(biāo)，記作＝(x，y)，其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)，＝(x，y)就叫做向量的坐標(biāo)表示．顯然，＝(1,0)，＝(0,1)，＝(0,0).三．平面向量的加、減運算的坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運算法則：＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則1.加法：兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和，即＋＝(x1＋x2，y1＋y2)2.減法：兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差，即－＝(x1－x2，y1－y2)3.兩點求坐標(biāo)：若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示1.已知＝(x，y)，λ∈R，則λ＝(λx，λy)，即實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘以原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)．2.中點坐標(biāo)公式若P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，線段P1P2的中點P的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式為線段P1P2的中點坐標(biāo)公式.3.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中b≠0.則，共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使＝λ.如果用坐標(biāo)表示，可寫為(x1，y1)＝λ(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時，向量，(≠0)共線.可簡記為：縱橫交錯積相減.五．在平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：1.已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則·＝x1x2＋y1y2．即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．2.平面向量的模與夾角的坐標(biāo)表示：(1)向量的模長公式：若＝(x，y)，則||＝eq\r(x2＋y2)．（2）兩點間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).(3)向量的夾角公式：設(shè)，都是非零向量，＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是與的夾角，則cosθ＝＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))．(4)兩個向量垂直的充要條件：設(shè)非零向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則⊥b?x1x2＋y1y2＝0．知識簡用知識簡用題型一平面向量的基本定理【例1-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）如圖，在中，為的中點，為的中點，設(shè)，以向量為基底，則向量（????）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為為的中點，則．因為為的中點，則．所以，即.故選：A．【例1-2】．（2022·全國·高一課時練習(xí)）在平行四邊形中，點在對角線上，點在邊上，，，且，，則（????）A． B． C． D．【答案】C【解析】．故選：C．【例1-3】．（2022·安徽）在平行四邊形ABCD中，，G為EF的中點，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】．故選：B.【例1-4】（2022·貴州）在平行四邊形中，分別是的中點，交于點，則（???????）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，過點作的平行線交于，則是的中點，且，，又，所以，即，所以，又，故選：B【例1-5】（2022·廣東揭陽·高一期末）已知在中，點為上的點，且，若，則（????）A． B．0 C． D．1【答案】C【解析】由題意得，所以，所以.故選：C題型二平面向量線性運算的坐標(biāo)表示【例2-1】（2022·云南）已知，且點，則點B的坐標(biāo)為（????）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點B的坐標(biāo)為，則，所以，即點B的坐標(biāo)為．故選：B【例2-2】（2022·廣東）已知向量，，則（????）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，故選：A【例2-3】（2022·新疆）已知向量，則的坐標(biāo)是（????）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為向量，所以.故選：B【例2-4】（2022·江蘇·靖江高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量，則（????）A．(1，－2) B．(1，2)C．(5，6) D．(2，0)【答案】A【解析】因為向量，所以，故選：A.題型三平面向量垂直平行的坐標(biāo)運算【例3-1】（2022·湖北）已知向量，若∥，則等于（????）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】因為，若∥，所以，所以，所以.故選：C.【例3-2】（2022·吉林）已知向量，，且，則（????）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】因為，所以，解得，則所以，所以.故選：A【例3-3】（2022·四川省）設(shè)，向量，且，則等于（????）A． B． C．3 D．4【答案】B【解析】由知：且，則，可得，即，由知：，可得，即，所以，故.故選：B【例3-4】（2022·上海）已知為坐標(biāo)原點，且，若三點共線，則實數(shù)_____．【答案】【解析】因為三點共線，所以，，，所以，解得：.故答案為：【例3-5】（2022·江蘇·濱?？h五汛中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，.(1)當(dāng)為何值時，與共線；(2)若，且三點共線，求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，，，，又與共線，，即；（2）解：，，、、三點共線，，即．題型四平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示【例4-1】（2022·山東東營·高一期中）已知向量，，則（????）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，∴.故選：C.【例4-2】（2022·湖北）已知向量，，則向量在向量方向上的投影為（）A．1 B． C． D．-1【答案】B【解析】由題意，，，可得，則，所以，，所以向量在向量方向上的投影為.故選：B.【例4-3】（2022·四川省高縣中學(xué)校高一階段練習(xí)（文））平面向量與的夾角為，則（????）A． B． C．4 D．12【答案】B【解析】因為平面向量與的夾角為，所以，，所以，故選：B【例4-4】（多選）（2022山東）設(shè)向量，，則（）A． B．C． D．與的夾角為【答案】CD【解析】因為，，所以，所以，故A錯誤；因為，，所以，又，則，所以與不平行，