2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選

出符合題目要求的一項.

1.已知集合4={%|-1<%<1},B={JC|0<X<2},則ADB=（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|—l<x<2）

C.{x|0<x<l}D.{x|0<x<2}

2.復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足（l—i）z=2,則2=（）

A.-1-zB.-1+zC.1-zD.1+Z

3.已知是定義在上［0,1］的函數(shù)，那么“函數(shù)/（x）在［0,1］上單調(diào)遞增”是“函數(shù)/（x）

在［0,1］上的最大值為了⑴”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充

分也不必要條件

4.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

H-1―HH—1―H

正（主）視圖便（左）視圖

廠

俯視圖

A-+—B.3+GC.-+V3D.3+—

2222

22

5.若雙曲線C:'?-春■=1離心率為2,過點（夜,則該雙曲線的方程為（）

2

22222

A.2x-y=1B.x--=lC.5x-3y=1D.

3

22

土-匕=1

26

6.《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃

色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長4,4，。3,4,4（單位:cm）成等差

數(shù)列，對應(yīng)的寬為伍也也也,伉（單位:cm）,且長與寬之比都相等，已知％=288,%=96,

，=192,則仿=

A.64B.96C.128D.160

7.函數(shù)/（x）=8sx-cos2x是

A.奇函數(shù)，且最大值為2B.偶函數(shù)，且最大值為2

99

C.奇函數(shù)，且最大值為-D.偶函數(shù)，且最大值為一

88

8.某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚

的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：mm）.24h降雨量的等級劃分如下：

在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm,高為300mm的圓錐形雨量器.

若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示），則這24h降雨

量的等級是

A.小雨B.中雨C.大雨I）.暴雨

9.已知直線丫=履+，"（加為常數(shù)）與圓V+y2=4交于點M,N,當女變化時，若此WI

的最小值為2,則加=

A±1B.+-</2C.土也D.±2

10.已知｛4｝是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且弓23,若q+%+…+/=100,則〃的最大

值為（）

A.9B.10C.11D.12

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題5小題，每小題5分，共25分.

11.在(丁-')4的展開式中，常數(shù)項為.

X

12.已知拋物線V=4%的焦點為產(chǎn)，點M在拋物線上，垂直X軸與于點N.若

|ME|=6,則點M的橫坐標為；的面積為.

13.已知向量1,51在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則

(a-^b)-c=；a-b-?

14.若點A(cos，,sin6)關(guān)于>軸對稱點為8(cosS+5),sin(e+。)，寫出。的一個取值為

66

15.已知函數(shù)."x)=|lg.q-丘-2,給出下列四個結(jié)論:

①若左=0,7(X)恰有2個零點；

②存在負數(shù)A,使得/(x)恰有個1零點；

③存在負數(shù)%,使得/(幻恰有個3零點；

④存在正數(shù)k,使得/(%)恰有個3零點.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

2笈

16.在△ABC1中，c=2bcosB,C=——.

3

(1)求RB；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使AABC存在且唯

一確定，求BC邊上中線的長.

條件①：c="?；

條件②：△ABC的周長為4+2百;

條件③：AABC的面積為

4

17.如圖：在正方體ABC?！狝gCQi中，E為4。中點，8cl與平面CDE交于點F.

(1)求證：廠為5G的中點；

(2)點M是棱A與上一點，且二面角加一/?！狤的余弦值為正，求禁的值.

3A耳

18.在核酸檢測中,2合V'混采核酸檢測是指：先將4個人的樣本混合在一起進行1次檢測,

如果這A個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢

測結(jié)束:如果這4個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進行1次

檢測，得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.

現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準確.

(I)將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù)；

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的

分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).

(II)將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y

是檢測總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)

3-2r

19.已知函數(shù)/(%)=2+.

(1)若〃=0,求曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的切線方程；

(2)若/(x)在x=-l處取得極值，求/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

22

20.已知橢圓E:=+==l(a>b>0)一個頂點A(0,-2),以橢圓E的四個頂點為頂點

a~h~

的四邊形面積為4石.

(1)求橢圓E的方程；

(2)過點尸(0,-3)的直線/斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線A8,AC

分別與直線交)=-3交于點M,N,當|尸必+|尸川?15時，求左的取值范圍.

21.設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列｛4｝滿足如下三個性質(zhì)，則稱｛4｝為叫,數(shù)列：

①4+p20,且1+p=0；

②*<4,,("=12…)；

③a,?,?s｛a?,+an+p,am+a?+p+\],(m,n=1,2,???;?=1,2,--?).

(1)如果數(shù)列｛%｝的前4項為2,-2,-2,-1,那么｛4｝是否可能為況2數(shù)列？說明理由;

(2)若數(shù)列｛%｝是況。數(shù)列，求生;

(3)設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項和為S”.是否存在況,，數(shù)列｛4｝,使得S“N$o恒成立？如果存

在，求出所有的p；如果不存在，說明理由.

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(xué)

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題

1.

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合題意利用并集的定義計算即可.

【詳解】由題意可得：AU5=｛x|-l<x<2｝.

故選：B.

2.

【答案】D

【解析】

【分析】由題意利用復(fù)數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.

22(1+/)2(l+z)

【詳解】由題意可得：z=-~~;=7：―=---=l+i.

l-i(l-z)(Jl+?)2

故選：D.

3.

【答案】A

【解析】

【分析】利用兩者之間推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】若函數(shù)1(%)在［0/上單調(diào)遞增，則/(尤)在［0』上的最大值為41),

若/(可在［0川上的最大值為"1),

(1V

比如/(%)=x-鼻,

\3)

(IV「11「1-

但/(x)=%—9在0,-為減函數(shù)，在-,1為增函數(shù)，

\3/-L

故"X)在［0,1］上的最大值為41)推不出“X)在［0,1］上單調(diào)遞增，

故“函數(shù)/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增”是““X)在［0,1］上的最大值為了⑴”的充分不必

要條件，

故選：A.

4.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體(三棱錐)，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計算該幾何

體的表面積.

【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐O-ABC,

其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，

由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1,

故其表面積為3x,xlxl+@x(后f=出2,

24'/2

故選：A.

5.

【答案】B

【解析】

【分析】分析可得。=瓜，再將點（、歷,6）代入雙曲線的方程，求出。的值，即可得出

雙曲線的標準方程.

【詳解】?.?e=—=2,則c=2a,b=Jc2-a2=J3?＞則雙曲線的方程為與―=1，

aa3cr

將點（后,6）的坐標代入雙曲線的方程可得5-7=*=1,解得a=l,故6=百，

2

因此，雙曲線的方程為無2-21=1.

3

故選：B

6.

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為d,求得d=T8,得到q=192,結(jié)合黨旗長與寬之比

都相等和4=192,列出方程，即可求解.

【詳解】由題意，五種規(guī)格黨旗的長4，。2，%，4,4（單位:cm）成等差數(shù)列，設(shè)公差為Q,

因為4=288,%=96,可得d=四二色=%匚生=-48,

5-13

可得q=288+（3-1）x（—48）=192,

a,a,,a,-h192x192

又由長與寬之比都相等，且偽=192,可得U=言，所以｝&=128.

b、h3a1288

故選：c.

7.

【答案】D

【解析】

【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次

函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.

【詳解】由題意，/(-x)=cos(-x)-cos(-2%)=COSA：-cos2x=/(x),所以該函數(shù)為

偶函數(shù)，

（]j9

又fM=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+l=-2cosx——?+8,

I4

19

所以當COSX*時，，㈤取最大值g.

故選：D.

8.

【答案】B

【解析】

【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.

【詳解】由題意，一個半徑為等=100(mm)的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為

200150

-------x--------=50(mm),高為150(mm)的圓錐,

2300

12

I^x50-X150

屬于中雨.

所以積水厚度,=3___________12.5（mm）,

―-乃X100?

故選：B.

9.

【答案】C

【解析】

【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據(jù)弦長最小值得出〃?

【詳解】由題可得圓心為(0,0),半徑為2,

則圓心到直線的距離d

則弦長為|MN|=2

則當左=0時，弦長MNI取得最小值為2"Z/=2,解得加=±J5.

故選：C.

10.

【答案】c

【解析】

【分析】使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項及求和公式求得〃可能的最大

值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到”的最大值.

【詳解】若要使“盡可能的大，則4,遞增幅度要盡可能小，

不妨設(shè)數(shù)列｛“”｝是首項為3,公差為1的等差數(shù)列，其前"項和為S”，

3+14

則4=〃+2,S12=^—xl2=102>100,

所以〃All.

對于q”=〃+2,S”=—―xl1=88<100.

取數(shù)列｛%｝各項為。“="+2（〃=1,2,…10）,%=25,

貝lj4+%+…+%=100,

所以〃的最大值為11.

故選：C.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題5小題，每小題5分，共25分.

11.

【答案】-4

【解析】

【分析】利用二項式定理求出通項公式并整理化簡，然后令x的指數(shù)為零，求解并計算得到

答案.

【詳解】x3—展開式的通項

令12—4廠=0,解得r=3,

故常數(shù)項為4=（一1代：=-4.

故答案：-4.

12.

【答案】①.5②.4不

【解析】

【分析】根據(jù)焦半徑公式可求M的橫坐標，求出縱坐標后可求S/MN.

【詳解】因為拋物線的方程為產(chǎn)=4尤，故p=2且尸(1,0).

因為明同=6,xM+-^=6,解得知=5,故％=±2行，

所以久的=；x(5-l)x2石=4右，

故答案為：5；4石.

13.

【答案】①.0②.3

【解析】

【分析】根據(jù)坐標求出&+5,再根據(jù)數(shù)量積的坐標運算直接計算即可.

【詳解】以萬,B交點為坐標原點，建立直角坐標系如圖所示：

則出=(2,1),5=(2,—1),5=(0,1),

a+b=(4,0),.\(a+b)-c=4x0+0xl=0,

.,.0?B=2x2+lx(-l)=3.

故答案：0；3.

14.

【答案】(滿足9喑+版?次eZ即可)

【解析】

7T

【分析】根據(jù)A8在單位圓上，可得o,e+-關(guān)于y軸對稱，得出

6

7T

0-\-----\-0=7T+2k7T,kGZ求解.

6

、

【詳解】；A(cos6,sin。)與8cos^+^j,sin(9+^J關(guān)于N軸對稱,

7T

即仇。+—關(guān)于y軸對稱，

6

0+—+。="+2kji,keZ,

5萬

則。=攵?+—,keZ,

12

57r

當左=0時，可取。的一個值為

12

、冗57r

故答案為：—(滿足6=攵乃+己一代eZ即可).

1212

15.

【答案】①②④

【解析】

【分析】由〃x)=0可得出旭%|="+2,考查直線丁=依+2與曲線g(x)=|lgx|的左、

右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.

【詳解】對于①，當攵=0時，由/(x)=|lgR-2=0,可得x=」一或x=100,①正確;

100

對于②，考查直線丁=丘+2與曲線y=-lgx(0<x<l)相切于點P(r,—lgr),

e

\kt+2=-\%tt-----

對函數(shù)y=-lgx求導(dǎo)得y=一一二，由題意可得L1，解得100

xlnlOK=-----------,100,

IflnlOk-------lge

e

所以，存在％=—?lge<0,使得/(x)只有一個零點，②正確；

對于③，當直線丁=依+2過點(1,0)時，女+2=0,解得A=—2,

所以，當—W21ge<A<-2時，直線丁=丘+2與曲線y=—lgx(()<x<l)有兩個交點，

e

若函數(shù)/(x)有三個零點，則直線丁=丘+2與曲線y=—lgx(0<x<l)有兩個交點，

100

直線y=H+2與曲線y=lgx(x>l)有一個交點，所以，(一g<?<(一2,此不等式

%+2>0

無解,

因此，不存在左＜0,使得函數(shù)/（X）有三個零點，③錯誤；

對于④，考查直線y=依+2與曲線y=lgx（x＞l）相切于點

&+2=1g/f=100e

對函數(shù)y=lgx求導(dǎo)得y'=」一，由題意可得,，1，解得＜

心―

xlnlOk=-----

100e

【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都

是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：

（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；

（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；

（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍.

三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.

【答案】（1）?；（2）答案不唯一，具體見解析.

O

【解析】

【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；

（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存；

若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求;

若選擇③：由面積公式可求各邊長，再由余弦定理可求.

【詳解】（1）?.?c=2/7cos3,則由正弦定理可得sinC=2sin3cos3,

."…生=立，

323

TTTT

：.2B=-,解得8=一；

36

旦

（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得￡="￡==-=6,

hsinB1

2

與,=無矛盾，故這樣的AA6c不存在；

7T

若選擇②：由（1）可得A=—,

6

設(shè)AAHC的外接圓半徑為R,

JT

則由正弦定理可得a=b=2Rsin-=R

6f

r\

c=2/?sin—=V3/?,

3

則周長a+b+c=2A+GR=4+2g,

解得R=2,則a=2,c=26，

由余弦定理可得8c邊上的中線的長度為：

jr

若選擇③：由（1）可得A=—，即a=b,

6

則S.?r=—a/?sinC=—crx2^1.=2^1,解得°=石，

?2224

則由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：

卜+⑶-2x犬xcos券=,3+（+@乎=孚?

17.

【答案】（1）證明見解析；（2）4v=i-

4月2

【解析】

【分析】（1）首先將平面C0E進行擴展，然后結(jié)合所得的平面與直線51G的交點即可證得

題中的結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標系，利用空間直角坐標系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求

得實數(shù)2的值.

【詳解】（1）如圖所示，取4G的中點尸，連結(jié)。

由于ABCO-ABiG"為正方體，瓦尸為中點，故所'||8,

從而瓦尸,C,。四點共面，即平面CDE即平面CDEF,

據(jù)此可得：直線與G交平面CQE于點F，

當直線與平面相交時只有唯一的交點，故點尸與點尸'重合，

即點E為4G中點.

(2)以點O為坐標原點，方向分別為X軸，y軸，Z軸正方向，建立空間直角

=A(O</1<1),

則：M(2,22,2),C(0,2,0),F(l,2,2),E(l,0,2),

從而：MC=(-2,2-2/l,-2),CF=(l,O,2),FE=(O,-2,O))

設(shè)平面MCF的法向量為：，〃=(x，x，zj,則：

m,MC———2玉+(2—2X)y—2z1——0

in-CF=玉+2Z]=0

1

令Z|=-l可得：m=\2,

1-25

設(shè)平面CFE的法向量為：方=（工2，%*2），貝也

n-FE=-2y2=0

n-CF=x2+2Z2=0

令Z|=-l可得：H=（2,0,-1）,

【點睛】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象

能力和邏輯推理能力，對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解

平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.

18.

320

【答案】⑴①20次；②分布列見解析；期望為幣-；（2）E（r）＞E（X）.

【解析】

【分析】（1）①由題設(shè)條件還原情境，即可得解；

②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進而可得分布列，再由期望的公式即可得解;

（2）求出兩名感染者在一組的概率，進而求出￡（丫），即可得解.

【詳解】（1）①對每組進行檢測，需要10次；再對結(jié)果為陽性的組每個人進行檢測，需要

10次；

所以總檢測次數(shù)為20次；

②由題意，X可以取20,30,

P（X=20）=—,P（X=30）=l--=p,

則X的分布列：

X2030

10

PT777

所以E(X)=20XL+30XW=320

v711117F：

(2)由題意，丫可以取25,30,

_20C；C；8495

兩名感染者在同一組的概率為［：,不在同一組的概率為［二-f

G丸99

則E(y)=25xW+30x^=^^>￡(X).

―999999')

19.

【答案】⑴4x+y-5=0；⑵函數(shù)/(x)的增區(qū)間為(-8,-1)、(4,用)，單調(diào)遞減區(qū)

間為(一1,4),最大值為1，最小值為

【解析】

【分析】(1)求出/(1)、/'(1)的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；

(2)由/'(-1)=0可求得實數(shù)。的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(X)的單調(diào)性與極值，由

此可得出結(jié)果.

【詳解】⑴當a=0時，/")=土學(xué)，則/⑴=2/3),=r(l)=T,

XX

此時，曲線y=/(H在點(1,/(1))處的切線方程為y—l=T(x—1),即4x+y-5=o；

2

o9r_2(f+Q)―2x(3—2x)2(%—3x—tz)

⑵因為〃x)=等，則1~~工片、2)，

x2+a(f+a)(x2+a)

2(4-a)

由題意可得r(—i)==0,解得a=4,

(a+1)2

故《人./A"1’列表如下:

X(-8,-1)-1(-1,4)4(4,+oo)

「(力+0—0+

/(x)增極大值減極小值增

所以，函數(shù)/（X）的增區(qū)間為（-8,-1）、（4,”），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1,4）.

當x<2時，/（x）>0；當x>,時，/（x）<0.

4

所以，〃xLx=/（T）=l'/Wmin=/（）=4-

20.

22

【答案】（1）二+匕=1；（2）[—3,—1）51,3].

54

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓所過的點及四個頂點圍成的四邊形的面積可求從而可求橢圓的

標準方程.

（2）設(shè)3（內(nèi),必）,。（馬,%），求出直線AB,AC的方程后可得的橫坐標，從而可得

\PM\+\PN\,聯(lián)立直線BC的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達定理化簡歸根+歸川，從而

可求攵的范圍，注意判別式的要求.

【詳解】（1）因為橢圓過4（0,-2）,故8=2,

因為四個頂點圍成的四邊形的面積為46，故gx2ax2b=4石，即。=石，

22

故橢圓的標準方程為：工+二=1.

54

設(shè)3（4,乂）,。（毛,％），

因為直線6C的斜率存在，故西々。0,

…y+2-x.x、

故直線一x-2,令y=—3,則=----、，同理=----、

%X+2%+2

直線BC:y=Ax—3,由":“一：可得（4+5/）*2—30.+25=0,

4%2+5/=20'）

故八二四。左2一100（4+5公）＞0,解得左＜—1或%＞1.

又斗+工2=-------J,X|X=------—9故玉工2〉。，所以知乙＞。

4十DK24十DK

又|PM|+|PM=M+%=X]I工2

乂+2必+2

50k_30%

_%?23々一（玉+公）_4+5K4+5G=5|用

kxt-1Ax2-1|一%（玉+工2）+125左2_30左2+]

4+5/―4+5/+

故5陶415即陶《3,

綜上，一3〈左<一1或1<ZW3.

21.設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列｛4｝滿足如下三個性質(zhì)，則稱｛4｝為由,,數(shù)列:

①q+pNO,且%+p=0；

②?！癐<%"，（"=1，2,…）；

③凡,+"w｛??,+a?+p,am+an+p+\｝,（加,〃=1,2,…;〃=1,2,…）.

（1）如果數(shù)列也｝的前4項為2,-2,-2,-1,那么｛《,｝是否可能為見2數(shù)列？說明理由;

（2）若數(shù)列｛