高中數(shù)學(xué)解題思想方法(函數(shù)與方程思想方法)

十、函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)和性質(zhì)去剖析問(wèn)題、轉(zhuǎn)變問(wèn)題和解決問(wèn)題。方程思想，是從問(wèn)題的數(shù)目關(guān)系下手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混淆組），而后經(jīng)過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)變、接軌，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。Ⅰ、再現(xiàn)性題組：方程lgx＋x＝3的解所在的區(qū)間為_(kāi)____。A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)2.假如函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對(duì)于隨意實(shí)數(shù)t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。A.f(2)<f(1)<f(4)B.f(1)<f(2)<f(4)C.f(2)<f(4)<f(1)D.f(4)<f(2)<f(1)3.已知函數(shù)y＝f(x)有反函數(shù)，則方程f(x)＝a(a是常數(shù))______。A.有且僅有一個(gè)實(shí)根B.至多一個(gè)實(shí)根C.起碼一個(gè)實(shí)根D.不一樣于以上結(jié)論已知sinθ＋cosθ＝1，θ∈(π，π)，則tgθ的值是_____。A.－45－3243B.C.D.34p34≠q，p、q∈N)，則Spq＝_________。5.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且S＝Sq(p6.對(duì)于x的方程sin2x＋cosx＋a＝0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________。7.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°，則此棱錐的側(cè)面積為_(kāi)__________。8.建筑一個(gè)容積為8m3，深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，假如池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，則水池的最低造價(jià)為_(kāi)__________。Ⅱ、示范性題組：例1.設(shè)a>0，a≠1，試求方程loga(x－ak)＝loga2(x2－a2)有實(shí)數(shù)解的k的范圍。(xx全國(guó)高考)【解】將原方程化為：loga(x－ak)＝logax2a2，等價(jià)于xak0（a>0,a≠1）xakx2a2∴k＝x－(x21(|x|>1）,a)aa設(shè)x＝cscθ，θ∈(－π,0)∪(0,π)，則k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|a22當(dāng)θ∈(－π,0)時(shí)，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctgθ<－1，故k<－1；22當(dāng)θ∈(0,π)時(shí)，f(θ)＝2綜上，k的取值范圍是【注】引入新的變量，而用函數(shù)值域加以剖析，此法可解相關(guān)不等式、方程、最值、參數(shù)范圍之類(lèi)問(wèn)題。（分別參數(shù)法、三角換元法、等價(jià)轉(zhuǎn)變思想）【另解】（數(shù)形聯(lián)合法）：【再解】（方程議論法）：例2.設(shè)不等式2x－1>m(x2－1)對(duì)知足|m|≤2的一確實(shí)數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍?！酒饰觥看藛?wèn)題因?yàn)槌Ｓ械乃枷攵▌?shì)，易把它當(dāng)作對(duì)于x的不等式議論。但是，若變換一個(gè)角度以m為變量，記f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍笠淮魏瘮?shù)（或常數(shù)函數(shù)）f(m)的值在[-2,2]內(nèi)恒負(fù)時(shí)參數(shù)x應(yīng)知足的條件?！窘狻吭O(shè)f(m)＝(x2－1)m－(2x－1),則f(2)2(x21)(2x1)02(x2f(2)1)(2x1)0解得x∈（71,31）22【注】此題有別于對(duì)于x的不等式2x－1>m(x2－1)的解集是[-2,2]時(shí)求m的值、對(duì)于x的不等式2x－1>m(x2－1)在[-2,2]

上恒成即刻求

m的范圍。在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)識(shí)題中，確立適合的變量和參數(shù)，進(jìn)而揭露函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題更明亮化。例3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0。①.求公差d的取值范圍；②.指出S1、S2、、S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明原因。(xx【剖析】①問(wèn)用an、Sn易求；②問(wèn)利用Sn是n的二次函數(shù)而求什么時(shí)候取最大值?！窘狻?/p>

全國(guó)高考)【注】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式實(shí)質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，所以可利用函數(shù)思想來(lái)剖析或用函數(shù)方法來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題?！玖斫猗趩?wèn)】（追求an>0、an1<0）：例4.如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求異面直線(xiàn)PB和AC的距離?！酒饰觥慨惷嬷本€(xiàn)PB和AC的距離可當(dāng)作求直線(xiàn)PB上隨意一點(diǎn)到AC的距離的最小值，進(jìn)而設(shè)定變量，成立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值?！窘狻吭赑B上任取一點(diǎn)M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，P設(shè)MH＝x，則MH⊥平面ABC，AC⊥HD。∴MD2＝x2＋[(2r－x)sinθ]2＝(sin2＋1)x2－4rsin2θx＋4r2sin2θM＝(sin2θ＋1)[x－2rsin2θ]2＋4r2sin2θAHBDC1sin2θ1sin2θ即當(dāng)x＝2rsin2θ時(shí)，MD取最小值2rsinθ為兩異面直線(xiàn)的距離。1sin2θ12θsin【注】求最大值、最小值的實(shí)質(zhì)問(wèn)題，將文字說(shuō)明轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)語(yǔ)言后，成立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和相關(guān)知識(shí)解答。（見(jiàn)再現(xiàn)性題組第8題）例5.已知△ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tgA·tgC＝2＋3，又知極點(diǎn)C的對(duì)邊c上的高等于43,求△ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角?！窘狻坑葾、B、C成等差數(shù)列，可得B＝60°；由△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC，得tgA＋tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝3(1＋3)設(shè)tgA、tgC是方程x2－(3＋3)x＋2＋3＝0的兩根，解得x1＝1，x2＝2＋3設(shè)A<C，則tgA＝1，tgC＝2＋3，∴A＝π，C＝5π412例6.若(z－x)2－4(x－y)(y－z)＝0,求證：x、y、z成等差數(shù)列?！酒饰觥款}設(shè)正好是鑒別式b2－4ac＝0的形式，所以結(jié)構(gòu)一個(gè)一元二次方程求解?！咀C明】當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，可得x＝z，∴x、y、z成等差數(shù)列；當(dāng)x≠y時(shí)，設(shè)方程(x－y)t2－(z－x)t＋(y－z)＝0，由△＝0得t＝t，并易知t＝1是方程的根。12∴t1·t2＝y(tǒng)z＝1，即2y＝x＋z，∴x、y、z成等差數(shù)列xy【注】題設(shè)條件具備或經(jīng)變形整理后具備x1＋x2＝a、x1·x2＝b的形式，則利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)構(gòu)方程；具備b2－4ac≥0或b2－4ac≤0的形式，可利用根的鑒別式結(jié)構(gòu)一元二次方程。例7.△ABC中，求證：cosA·cosB·cosC≤1。8【證明】設(shè)k＝cosA·cosB·cosC＝1[cos(A＋B)＋cos(A－B)]·cosC＝1[－cosC＋cos(A－B)]cosC22整理得：cos2C－cos(A－B)·cosC＋2k＝0，即看作對(duì)于cosC的一元二次方程。∴△＝cos2(A－B)－8k≥0即8k≤cos2(A－B)≤1∴k≤1即cosA·cosB·cosC≤188【注】既是方程思想，也屬鑒別式法。還可用放縮法：cosA·cosB·cosC＝＝－1cos2C＋1cos(A－B)·cosC＝－1[cosC－cos(AB)]2＋1cos2(A－B)≤1cos2(A－B)222288例8.設(shè)f(x)＝lg12x4xa，假如當(dāng)x∈(-∞,1]時(shí)f(x)存心義，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍。31)2x＋(1)x＋a>0【解】由題可知，不等式1＋2x＋4xa>0在x∈(-∞,1]上恒成立，即：(22設(shè)t＝(1)x,則t≥1，又設(shè)g(t)＝t2＋t＋a，其對(duì)稱(chēng)軸為t＝－1222∴t2＋t＋a＝0在[1,+∞)上無(wú)實(shí)根，即g(1)＝(1)2＋1＋a>0，得a>－322224【注】二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者是密切聯(lián)系的。也可用分別參數(shù)法：Ⅲ、穩(wěn)固性題組：1.方程sin2x＝sinx在區(qū)間(0,2π)內(nèi)解的個(gè)數(shù)是_____。A.1B.2C.3D.42.已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，則_____。A.a<0,b<0,c>0B.a<0,b>0,c>0C.2a<2cD.2a＋2c<23.已知函數(shù)f(x)＝loga(x2－4x＋8)，x∈[0,2]的最大值為－2，則a＝_____。A.1B.1C.2D.41824已知{an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝18，a2＋a3＋a4＝－9，Sn＝a1＋a2＋＋an，那么limSn等于_____。n→∞等差數(shù)列{an}中，a4＝84，前n項(xiàng)和為Sn,已知S9>0，S10<0，則當(dāng)n＝______時(shí)，Sn最大。對(duì)于知足0≤p≤4的全部實(shí)數(shù)p，使不等式x2＋px〉4x＋p－3成立的x的取值范圍是________。7.若對(duì)于x的方程|x2－6x＋8|＝a恰有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________。8.已知點(diǎn)A(0,1)、B(2,3)及拋物線(xiàn)y＝x2＋mx＋2，若拋物線(xiàn)與線(xiàn)段AB訂交于兩點(diǎn)，務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍。已知實(shí)數(shù)x、y、z知足等式x＋y＋z＝5和xy＋yz＋zx＝3,試求z的取值范圍。已知lg2a－4·lga·lgb＝0，求證：b是a、c的等比中項(xiàng)。cbc設(shè)α、β、γ均為銳角，且cos2α＋cos2β＋cos2γ＋2cosα·cosβ·cosγ＝1，求證：α＋β＋γ＝π。12.當(dāng)p為什么值時(shí)，曲線(xiàn)y2＝2px(p>0)與橢圓1(x―2―p)2＋y2＝1有四個(gè)交點(diǎn)。(xx全國(guó)高考)2已知對(duì)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2＋ax＋b＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α、β。證明：①.假如|α|<2，|β|<2