【名師解析】浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2015屆高三高考摸底測(cè)試數(shù)學(xué)理試題Word版含解析

2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高考摸底測(cè)試數(shù)學(xué)（理科）試題【試卷綜評(píng)】突出考查數(shù)學(xué)主干知識(shí),側(cè)重于中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查；側(cè)重于知識(shí)交匯點(diǎn)的考查。全面考查了考試說(shuō)明中要求的內(nèi)容，明確了中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)方向和考生的學(xué)習(xí)方向,適度綜合考查，提高試題的區(qū)分度.通過(guò)考查知識(shí)的交匯點(diǎn)，對(duì)考生的數(shù)學(xué)能力提出了較高的要求.選擇題部分（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.UR，集合M{x|xx0},N{x|x2n1,nZ}，則MN1．已知全集2（）。A．{0}B．{1}【知識(shí)點(diǎn)】集合的交集.C．{0，1}D．φ{(diào)}{}N=奇數(shù)，所以MN=1,{}M=0,1,集合B解析：解：由題意可知集合【答案解析】故選B.【思路點(diǎn)撥】先求出兩個(gè)集合在求交集即可.p:k,kZ,q:f(x)sin(x)(0)是偶函數(shù)，則2．若p是q的（）。2A．充要條件C．必要不充分條件B．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷;函數(shù)的奇偶性.pf(x)=sin(wx+p2+kp)=coswx，所以j=+kp，則【答案解析】A解析：解：若2()有f(x)=f-x，故函數(shù)為偶函數(shù)，充分性成立；若f(x)=sin(wx+j)是偶函數(shù)，則()()f(x)=f-x，即sin(wx+j)=sin-wx+j，所以wx+j=-wx+j+2kp（舍去）或wx+j-wx+j=2kp+p，解得j=p+kp，故選A.22【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與左視圖均為半2徑是的圓，則這個(gè)幾何體的表面積是（）。1281614A．B．C．表面積.A解析：解：由三視圖可知該幾何體為一個(gè)球D．【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求幾何體的正視圖左視圖【答案解析】31R=2，缺口部分為挖去球體的．球的半徑4體的，43表面積等于球的表面積的加上大圓的面4這個(gè)幾何體的俯視圖3積．S=?4pR2pR2=16p,故選A．431【思路點(diǎn)撥】由三視圖可知該幾何體為一個(gè)球體的，缺口部分為挖去球體的，44據(jù)此可得出這個(gè)幾何體的表面積．x=(sina)，y=(cosa)logsina，則x與y的大小關(guān)系為（）。p4．，logcosa,p42A．xyB．xyC．xyD．不確定【知識(shí)點(diǎn)】換底公式；比較大小.驏()()，y=cosalogsinappp"琪,，x=sina【答案解析】C解析：解：因?yàn)殓鱝logcosa，p42桫所以x>0,y>0，然后兩邊同時(shí)取以p為底的對(duì)數(shù)可以得到logx=logcosalogsina，ppplogy=logcosalogsina，所以由兩式可得logx=logy，即x=y，故選C.ppppp【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)a的范圍判斷出x>0,y>0，然后兩邊同時(shí)取以p為底的對(duì)數(shù)即可比較大小.1(x)5．二項(xiàng)式6的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）。xA．-15B．15C．-20D．20【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用;二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式;求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù).驏琪-16【答案解析】B解析：解：二項(xiàng)式x的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為琪桫x()3r-3r=C1rx-66-=0C4=15，6Tr+12，令，求得r=4，故展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為r62故選：B．【思路點(diǎn)撥】先求得二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)的值．6．若函數(shù)yfx在0,上的導(dǎo)函數(shù)為，且不等式xfxfx恒成立，又fx常數(shù)a,b滿足ab0，則下列不等式一定成立的是（）。D．a(chǎn)fabfbA．bfaafbB．a(chǎn)fabfbC．bfaafb.【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【答案解析】A解析：解：令g(x)=f(x)()xf￠(x)-f(x)(x>0)；x2x>0，則g￠(x)=x又∵xfxfx，∴()g￠(x)>0；∴函數(shù)g(x)在0,+上是增函數(shù)．f(a)()fb()()又∵ab0，∴ga>gb，即>，∴bfaafb．a(chǎn)b故選：A.g(x)=f(x)()￠x>0，求g(x)，利用利用導(dǎo)數(shù)判定【思路點(diǎn)撥】構(gòu)造g（x）的單調(diào)x性，可以得出結(jié)論．7．函數(shù)f(x)sin(2x)(||)的圖象向左平移個(gè)單位后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)26f(x)在上的最小值為（）。[0,]23121C．23D．2A．B．2【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(wx+j)的圖象變換；函數(shù)的值域.f(x)sin(2x)(||)的圖象向左平移個(gè)單【答案解析】A解析：解：函數(shù)26驏(fx）=sin[琪2x++j=]sinx(+2p+jp)．位后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為琪6桫3f(x）=sin(2x+p3+j為)奇函數(shù)，故+j=kp，p再由所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得3輊p?犏0,[]2x?0,ppp∴j．可得函數(shù)，又因?yàn)閤，，所以就有=-f(x）=sin(2x-)33犏2臌輊p2p32x-p?犏,pp2，故當(dāng)x，函數(shù)有最小值，最小值為，故選2-=-A.3犏33臌33【思路點(diǎn)撥】根據(jù)y=Asinw(x+j的)圖象變換規(guī)律可得，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為f(x）=sin(2x+p3+j．)根據(jù)f(x）=sin(2x+p3+j為)奇函數(shù)，p可得+j=kp,求得j的值可得函數(shù)解析式，然后在定義域內(nèi)求最值即可.3822．將1﹑2﹑3﹑4四個(gè)數(shù)字隨機(jī)填入右方的方格中﹐每個(gè)方格中恰填一數(shù)字﹐但數(shù)字可重復(fù)使用﹒試問(wèn)事件「A方格的數(shù)字大于方格的數(shù)字﹑且C方格的數(shù)字大于D方格的數(shù)字」的機(jī)率為（）。B1A．169B．6425C．649D．256【知識(shí)點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；排列、組合的運(yùn)用。B解析：解：因?yàn)閷?個(gè)數(shù)字可重復(fù)的填入4個(gè)方格中﹐所以共有44=256種【答案解析】a,b,且ab﹒此時(shí)數(shù)對(duì)a,b有以填法,設(shè)填入A,B兩方格的數(shù)字分別為下6種填法﹕2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3﹒同理﹐填入C,D兩方格的數(shù)字也有6種填法﹒669因此﹐所求機(jī)率為﹒故選B﹒2566422【思路點(diǎn)撥】先求出四個(gè)數(shù)字隨機(jī)填入的方格中的總數(shù)，再求出滿足題意的基本事件數(shù)，最后求比值即可.9．將一圓的六個(gè)等分點(diǎn)分成兩組相間的三點(diǎn)﹐它們所構(gòu)成的兩個(gè)正三角形扣除內(nèi)部六條線段后可以形成一正六角星﹐如圖所示的正六角星是以原點(diǎn)O為中心﹐其中﹐分別為原點(diǎn)O到兩個(gè)頂點(diǎn)O到正六角星12個(gè)頂點(diǎn)的向量﹐都寫成為ab的最大值為（）。xy的向量﹒若將原點(diǎn)的形式﹐則axbyA．2【知識(shí)點(diǎn)】向量的表示；分類討論.【答案解析】D解析：解：B．3C．4D．5ab的最大值﹐所以考慮右圖中的6個(gè)頂點(diǎn)之向量即可﹒因?yàn)槿羟笥懻撊缦漏s(1)若OAx﹐故a,b1,0﹒(2)若OBOFFBy3x﹐故a,b3,1﹒(3)若OCOFFCy2x﹐故a,b2,1﹒(4)若ODOFFEEDyxOCyxy2x2y3x﹐a,b3,2﹒故(5)若OEOFFEyx﹐故﹒a,b1,1(6)若OFy﹐故﹒a,b0,1325ab的最大值為﹒故選因此﹐D﹒【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意分類討論即可.10．設(shè)f為實(shí)系數(shù)三次多項(xiàng)式數(shù)函.已知五個(gè)方程式的相異實(shí)根個(gè)數(shù)如下表所述﹕fx200fx10013311fx100fx200fx0關(guān)于f的極小值﹐試問(wèn)下列（）選項(xiàng)是正確的﹖2010010A．【知識(shí)點(diǎn)】方程的根與函數(shù)的B．C．D．不存在關(guān)系；數(shù)函的極值.f(x)k0f(x)k的相異實(shí)根數(shù)等價(jià)于函數(shù)【答案解析】C解析：解：方程式y(tǒng)f(x)與直線yk兩圖形的交點(diǎn)數(shù)﹒依題意可得兩圖形的略圖有以下兩種情形﹕(1)當(dāng)f(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)﹕(2)當(dāng)f(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)﹕y0與y10之間﹐所以其y坐標(biāo)（即極小值）的范圍因?yàn)闃O小值點(diǎn)A位于兩水平線為﹒故選C﹒方程式f(x)k0f(x)k的相異實(shí)根數(shù)等價(jià)于函數(shù)yf(x)與直線yk的交點(diǎn)數(shù)，然后畫圖形即可.非選擇題部分（共100分）：本大題共7小題，每小題4分，共28分．二、填空題11．某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用表示，椐統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)變量的概率分布如下圖，則的數(shù)學(xué)期望為。01230.10.32aap【知識(shí)點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望.1.7【答案解析】解析0.1+0.3+a2+a=1a=0.2，解得，：解：由概率分布的性質(zhì)有∴ξ的概率分布為:01230.10.3p0.40.2\Ex=0?0.11?0.32?0.43?0.21.71.7，故答案為：.對(duì)于隨機(jī)變量的所有可能的取值，其相應(yīng)的概率之和都是1，所以可以求出a值，再利用數(shù)學(xué)期望的定義求解．果執(zhí)行右面的程序框圖，輸入正整數(shù)，滿足nm，【思路點(diǎn)撥】,nm12．如右圖，如那么輸出的P等于?！局R(shí)點(diǎn)】循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖；排列公式.A解析：解：第一次循環(huán)：k=1,p=1,p=n-m+1；m【答案解析】n()()第二次循環(huán)：k=2,p=n-m+1n-m+2；()()()第三次循環(huán)：k=3,p=n-m+1n-m+2n-m+3;?()()()第m次循環(huán)：k=m,p=n-m+1n-m+2...n-1n()()()此時(shí)結(jié)束循環(huán)，輸出p=n-m+1n-m+2...n-1n=mAn故答案為：A.mn【思路點(diǎn)撥】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序可知：該程序的作用是利用循環(huán)計(jì)算并輸出變量P的值，用表格對(duì)程序運(yùn)行過(guò)程中各變量的值進(jìn)行分析即可．xy1xy1，若目標(biāo)函數(shù)zaxby(a0,b0)的最大13．已知x、滿足約束條件y2xy2347,則的最小值為。ab值為【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用；簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．xy1xy1表示的平面區(qū)域，【答案解析】7解析：解：作出不等式組2xy2得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）設(shè)zaxby(a0,b0)，將直線觀察直線在xll：zaxby進(jìn)行平移，并=+3a+4b=7．軸上的截距變化，可得B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值,即當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)341()驏341驏1b2+1a2+=3a+4b琪+=琪25+，ab因此，琪琪ab7桫ab7桫12b12a匙212b12a=24，∵a>0,b>0，可得+abab341驏12b+12a1()34++=琪25+?2524=7a=b=1，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小ab∴琪ab7桫ab7值為7．故答案為：7【思路點(diǎn)撥】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，利=+zaxby取得3a+4b=7最大值為7，即．再用直線平移法求出當(dāng)x=3且y=4時(shí)，a=b=1時(shí)的最小值為7．根據(jù)基本不等式加以計(jì)算，可得利用整體代換法，當(dāng)a2a24，則S且滿足條件114．設(shè)S是各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)的等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和，109nn的最大值為?！局R(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式；三角換元,三角函數(shù)的最值.a2a24，可設(shè)a=rcosq，a=rsinq，所110241【答案解析】解析：解：由110以r￡2．設(shè)a的公差為d，則a-a=9d=rsinq-rcosq，101nrsinq-rcoqsa=a-d=rsinq-rsinq-rcoqs，9910所以d=，所以99(rcosq+rsinq-rsinq-rcosq)=r(10cosq+8sinq2)9(a+a)=9241,241S=91922?10cosq8sinq=241sin(q+j)所以S的最大值為241,故答案為。9【思路點(diǎn)撥】由a2a24，可設(shè)a=rcosq，a=rsinq，代入求和公式，利用110110三角函數(shù)的有界性即可求得其最大值．15．已知橢圓C：xa2221(ab0)的左右焦點(diǎn)分別為F,F，點(diǎn)P為橢圓C上的任意一yb212點(diǎn)，若以F,F,P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形一不定可能為鈍角三角形，則橢圓C的離心率的12取值范圍是。【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義與離心率.【答案解析】[21,22]解析：解：因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x滿足-c＃xc，且當(dāng)點(diǎn)P00ìb2a??￡2c，所以橢圓C的離心率的取值在短軸頂點(diǎn)時(shí)，DFPF一是定銳角或直角，所以í?12?a32c?22].范圍是[21,2]，故答案為[21,2【思路點(diǎn)撥】先確定出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的范圍，在根據(jù)DFPF是銳角或直角解不等式組即012可.16．把座位編號(hào)為1、2、3、4、5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為：。（用數(shù)字作答）【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合的應(yīng)用.96【答案解析】解析：解：先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人一張，1人2張，且分得的票必須是連號(hào)，相當(dāng)于將1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)用3個(gè)板子隔開(kāi)，分為四部分且不存在三連號(hào)．在4個(gè)空位插3個(gè)板子，共有C3=4種情況，再對(duì)應(yīng)到4個(gè)人，有A4=24種情況，則444?2496共有種情況．96故答案為．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，先將票分為符合題意要求的4份，用隔板法易得其情況數(shù)目，再將分好的4份對(duì)應(yīng)到4個(gè)人，由排列知識(shí)可得其情況數(shù)目，再由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案．f(x)2sinax}在[,]17．已知M{a|上是增函數(shù)，N{b|方程3b10}有|x1|34xn實(shí)數(shù)解，設(shè)DMN，且定義在R上的奇函數(shù)f(x)在內(nèi)沒(méi)有最小值，則mDx2m的取值范圍是?！局R(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；奇函數(shù)．3ax}在[,]上是增函數(shù)，可得【答案解析】解析：解：∵{a|f(x)2sinMm342T2p2p2p333且a>0，即，解得a￡，故M={a|a3},232a3223b10}有實(shí)數(shù)解，，所以可得N={b|1<b2}∵{b|方程N(yùn)|1|x纟xnxm23∴D=MN?1,,∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),=?úú2棼()xxn∴f0=0可得n=0,∴f(x)=，又f(x)在D內(nèi)沒(méi)有最小值xmx+m22x1=，m∴f(x)=x2+mx+x3若m￡0,函數(shù)f(x)在D上是減函數(shù),函數(shù)在右端點(diǎn)處取到最小值,不合題意.2()()在D內(nèi)沒(méi)有最小值可轉(zhuǎn)化為在Dhxmf(x)xn若m>0，令hx=x+，則xmx2()內(nèi)沒(méi)有最大值，下面對(duì)hx在D內(nèi)的最大值進(jìn)行研究：()()()￠hx=1+m，令hx>0，可解得x>m，令hx<0，可解得，￠￠x<m由于x2()()0,mm,+由此知，函數(shù)h（x）在是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，39()hx當(dāng)m3時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在m3D上是減函數(shù)，不存在最大值,符合題意24()驏3當(dāng)m￡1時(shí)，即m￡1時(shí)，函數(shù)hx在D上是增函數(shù)，存在最大值h琪，不符琪桫2合題意()1<m<時(shí)，即1<m<93hx1,m()驏琪,琪m2桫3當(dāng)時(shí)，函數(shù)在是減函數(shù)，在上是24驏3()成立，才能滿足函數(shù)在上沒(méi)有最大值，即有hxD()h1h>琪增函數(shù)，必有琪2桫3m31+m>+，解得m>，符合題意322233m的取值范圍是m>，故答案為.m>綜上討論知，22xnx2m求出集合D的范圍．再根據(jù)f(x)M,N的范圍，【思路點(diǎn)撥】先確定出集合在D內(nèi)沒(méi)有最小值，對(duì)函數(shù)的最小值進(jìn)行研究，可先求其導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，確定出函數(shù)的最小值在區(qū)間D的左端點(diǎn)取到即可，由于1直接研究()=+mxf(x)=有一定困難，可將函數(shù)變?yōu)?，構(gòu)造新函hxx，將研x2+mx+mxx究原來(lái)函數(shù)沒(méi)有最確定出新函數(shù)的最值，從而解出參數(shù)【典型總結(jié)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的角函數(shù)的周期求法及對(duì)三角函數(shù)圖象特征的理解，指數(shù)函數(shù)的值算．考查了轉(zhuǎn)化的思想及分類討論的思想，計(jì)算的能力，本題綜合性強(qiáng)涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，屬于綜合題中的難題．三、解答題：本大題共5小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明分14分）在ABC中，三個(gè)內(nèi)角分別為，且小值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)沒(méi)有最大值的m的取值范圍正負(fù)情況之間的關(guān)系，三域及集合的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)工具易．運(yùn)、證明過(guò)程或演算步驟．A,B,Ccos(A)2cosA．18．（本小題滿36（1）若cosC,求BC3AC．,34（2）若B(0,)，且cos(AB)，求sinB．35【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛筒畹恼嘞夜降膽?yīng)用;正弦定理.1）16（2）sinB=43-3.AC【答案解析】（10cos(A)2cosA，得：解：因?yàn)閏osAcossinAsin2cosA，33解析3即sinA3cosA，因?yàn)锳0,，且cosA0，，所以tanA所以3A。363（1）因?yàn)閟in2Ccos2C，cosC1，C0,，所以sinC333613323又sinBsin()sincosACACcossinAC，23236ACBC由正弦定理知：AC16。，即sinBsinA（2）因?yàn)锽(0,)3，所以ABB0,，333sin2(AB)cos2(AB)1，所以sin(AB)，5AB)43310sinBsinAABsinAcos(AB)cosAsin(所以.【思路點(diǎn)撥】先結(jié)合已知條件利用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求出角A，（1）先求sinB，再利用正弦定理可求結(jié)果，（2）先求sin(A-B)，再求sinB即可.S，S2a2.nnn19．（本小題滿分14分）已知數(shù)列a的前n項(xiàng)和為n（1）求數(shù)列a的通項(xiàng)公式；n1（2）設(shè)bloga，＝c，記數(shù)列c的前n項(xiàng)和.若對(duì)nNT，bbn2nnnnnn1Tkn4恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．n【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；裂項(xiàng)求和；恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化；基本不等式的性質(zhì).11）a=2n（2）,9n【答案解析】（n1a2，當(dāng)n2時(shí)，aSS2a2(2a2)n1解析：解：（1）當(dāng)時(shí)，1nnn1na即：，數(shù)列為以為公比的等比數(shù)列a2n22naan1nn11nn11nn11（2）由nb＝log2an得bn＝log22n＝n，則nc＝＝＝－，bbnn1111111n1n1nTn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.223nnn(n＋1)(n＋4)n2＋5n＋441nn1＝∵≤k(n＋4)，∴k≥＝.＋5n1n＋n444n＝，即n＝2時(shí)等號(hào)成立，n∵n＋＋5≥2n＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)nn14111,9∴≤，因此k≥，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為99n＋＋5n=-aSS，再利用等比n1a2．當(dāng)時(shí)，n2【思路點(diǎn)撥】（1）當(dāng)時(shí)，解得1nnn-1數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得b，利用n“裂項(xiàng)求和”即可得出：數(shù)列c的前nn14nn1項(xiàng)和T．由于對(duì)nNnTkn4n，恒成立，可得≤k(n＋4)，化為k≥n＋＋5n，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．在直三棱柱ABCABC中，11120．（本小題滿分15分）如圖，ABAC,ABAC2,AA4,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)1（1）求異面直線AB與CD所成角的余弦值11（2）求平面ADC與ABA所成二面角的正弦值。11【知識(shí)點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；異面直線及其所成的角．3105【答案解析】（1）（2）103解析：解：（AB,AC,AA為為空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，1）以單位正交基底建立1則A(0,0,0)B(2,0,0)，C(0,2,0),A(0,0,4),D(1,1,0),C(0,2,4)11∴AB(2,0,4),AB(1,1,4)11ABCDABCD1831010∴cos,11112018ABCD11310∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為1101（2）AC(0,2,0)是平面ABA的的一個(gè)法向量1設(shè)平面ADC的法向量為m(x,y,z)，∵1AD(1,1,0),AC(0,2,4)1由mAD,mAC∴xy0z1取，得y2,x2，2y4z01∴平面ADC的法向量為m(2,2,1),設(shè)平面ADC與ABA所成二面角為111ACm42ACm5，得sin3∴coscosACm,2335.∴平面ADC與ABA所成二面角的正弦值為131【思路點(diǎn)撥】（1）以AB,AC,AA為為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，1，利用向量法能求出異面直線AB與CD所成角的余弦值．11（2）分別求出平面ABA的法向量和平面ADC的法向量，利用向量法能求出平11面ADC與ABA所成二面角的余弦值，再由三角函數(shù)知識(shí)能求出平面ADC與111ABA所成二面角的正弦值．1421．（本小題滿分15分）在平面直角坐標(biāo)系中，給定三點(diǎn)A(0,),B(1,0),C(1,0)，點(diǎn)P3到直線BC的距離是該點(diǎn)到直線AB，AC距離的等比中項(xiàng)。（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若直線L經(jīng)過(guò)ABC的內(nèi)心（設(shè)為D），且與P點(diǎn)的軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，求L的斜率k的取值范圍。【知識(shí)點(diǎn)】軌跡方程的求法;斜率的取值范圍;分類討論思想.【答案解析】（1）2x22y23y20,8x217y212y80.1234(2){0,,,2}.2217解析：解：（1）直線AB、AC、BC的方程依次為y(x1),y4(x1),y0。點(diǎn)4P(x,y)到AB、AC、BC的距離依次為33d1|4x3y4|,d1|4x3y4|,d|y|。依設(shè)，55123ddd2,得|16x2(3y4)2|25y2，即12316x2(3y4)225y20,或16x2(3y4)225y20，化簡(jiǎn)得點(diǎn)2x22y23y20與雙曲線T:82x17y212y80P的軌跡方程為圓S：（2）由前知，點(diǎn)P的軌跡包含兩部分圓S：2x22y3y20①②28x17y12y80與雙曲線T：22因?yàn)锽（－1，0）和C（1，0）是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，所以點(diǎn)B和點(diǎn)C在點(diǎn)P的軌跡上，且點(diǎn)P的軌跡曲線S與T的公共點(diǎn)只有B、C兩點(diǎn)。1ABCddd，解得D(0,)，且知它在圓S上。的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，由2123直線L經(jīng)過(guò)D，且與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)，所以，L的斜率存在，設(shè)L的方程為ykx12③1（i）當(dāng)k=0時(shí)，L與圓S相切，有唯一的公共點(diǎn)D；此時(shí)，直線平行于x軸，表明Ly2與雙曲線有不同于D的兩（ii）當(dāng)k0時(shí)，L與圓S有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。......10分個(gè)不同的交點(diǎn)。這時(shí)，L與點(diǎn)P的軌跡恰有3個(gè)公共點(diǎn)只能有兩種情況：C，此時(shí)L的斜率k1L經(jīng)過(guò)點(diǎn)B或點(diǎn)，直線L的方程為x(2y1)。2情況1：直線5454。表明直線y(3y4)0，解得E(,)或F(-,)代入方程②得BD與曲線T有2個(gè)交3333點(diǎn)B、E；直線CD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)C、F。故當(dāng)k12時(shí)，L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。1情況2：直線L不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和C（即k），因?yàn)長(zhǎng)與S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以L與雙28x17y12y8022曲線T有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。即方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，消ykx1225去y并化簡(jiǎn)得(817k2)x25kx04該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是817k20④25或(5k)24(817k2)0⑤4234，解方程⑤得k2.解方程④得k172綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集{0,1,234,2}.2172【思路點(diǎn)撥】(1)先求直線AB、AC、BC的方程，在求出點(diǎn)P(x,y)到AB、AC、BC的距離依次為d1，d2，d3．由此能求出點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程．(2)點(diǎn)P的軌跡包含圓S：2x22y23y20與雙曲線：8x217y212y80．△ABC的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，由ddd，3T12解得D(0,1)．設(shè)l的方程為ykx12．再分情況討論能夠求出直線l的斜率k的2取值范圍．xaln(1x),g(x)ln(1x)bx.22．（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)f(x)1x（1）若函數(shù)()在x0處有極值，求函數(shù)f(x)的最大值；fx（2）①是否存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的不等式g(x)0在上恒成立？若存在，0,求出b的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；.n1,2,kk211②證明：不等式1nlnn2k1【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【答案解析】（1）f(0)0（2）①[1,+);②見(jiàn)解析.1a1x解析：解：（1）由知已得：