用構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式

用構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)嘉定外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校徐紅潔在高中數(shù)學(xué)教材中，有很多已知等差數(shù)列的首項(xiàng)、公比或公差(或者通過(guò)計(jì)算可以求出數(shù)列的首項(xiàng),公比),來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。但實(shí)際上有些數(shù)列并不是等差、等比數(shù)列,給出數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式,要求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。而這些題目往往可以用構(gòu)造法，根據(jù)遞推公式構(gòu)造出一個(gè)新數(shù)列，從而間接地求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式。對(duì)于不同的遞推公式，我們當(dāng)然可以采用不同的方法構(gòu)造不同的類型的新數(shù)列。下面給出幾種我們常見(jiàn)的構(gòu)造新數(shù)列的方法：一．利用倒數(shù)關(guān)系構(gòu)造數(shù)列。例如：中，若求an+4,即＝４。｝是等差數(shù)列?？梢酝ㄟ^(guò)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出,然再求后數(shù)列{an}的通項(xiàng)。練習(xí)：1)數(shù)列{an}中，an≠0，且滿足求an2)數(shù)列{an}中，求an通項(xiàng)公式。3)數(shù)列{an}中,求an.二．構(gòu)造形如的數(shù)列。例：正數(shù)數(shù)列{an}中，若解：設(shè)練習(xí)：已知正數(shù)數(shù)列{an}中，,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。三．構(gòu)造形如的數(shù)列。例：正數(shù)數(shù)列{an}中，若a1=10,且求an.解：由題意得：。即.即練習(xí)：（選自2002年高考上海卷）數(shù)列{an}中，若a1=3,,n是正整數(shù)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。四．構(gòu)造形如的數(shù)列。例：數(shù)列{an}中，若a1=6,an+1=2an+1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：an+1+1=2an+2,即an+1+1=2（an+1）設(shè)bn=an+1,則bn=2bn-1則數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，公比是2,首項(xiàng)b１=a１+1＝7,構(gòu)造此種數(shù)列，往往它的遞推公式形如：如：an+1＝can+d,設(shè)可化成an+1+x=c(an+x),an+1=can+(c-1)x用待定系數(shù)法得：(c-1)x＝d∴x=.又如：Ｓn+an=n+2,則Ｓn-1+an-1=n+1,二式相減得：Ｓn－Ｓn-1+an－an-1=１，即an+an－an-1=１?！?an－an-1=１。an=an-1+.如上提到bn=an＋d=an–1練習(xí)：1.數(shù)列{an}滿足an+1=3an+2,求an2.數(shù)列{an}滿足Ｓn+an=2n+1,求an五．構(gòu)造形如的數(shù)列。例：數(shù)列{an}中，若a1=１，a２=3,an+2+4an+1-5an=0(nN),求an。解：an+2+4an+1-5an=0得：an+2－an+1=-5（an＋１－an）設(shè)bn=an＋１－an。則數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，公比是-5,首項(xiàng)b１=a2-a1＝2,∴an＋１－an=2?(-5)n-1即a２－a１=2?(-5)a３－a２=2?(-5)２a４－a３=2?(-5)３┄an－an－１=2?(-5)n-2以上各式相加得：an－a１=2?［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］即：an－a１=2?即，（n當(dāng)遞推公式中，an＋１與an的系數(shù)相同時(shí)，我們可構(gòu)造bn=an＋１－an，然后用疊加法得：b1+b2+b3+b4+┄+bn=an-a1通過(guò)求出數(shù)列｛bn｝前n-1項(xiàng)和的方法，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。1)當(dāng)遞推公式中形如:an+1=an+an+b;an+1=an+qn(q≠1);an+1=an+qn+an+b等情形時(shí)?？梢詷?gòu)造bn=an＋１－an,得:bn=an+b；bn=qn;bn=qn+an+b。求出數(shù)列前n-1項(xiàng)的和Tn-1,Tn-1=;Tn-1=；Tn-1=+即：an－a１=;an－a１=;an－a１=+從而求出an=a１+;an=a１+;an=a１++。2）當(dāng)遞推公式中形如:an+1=an+；an+1=an+；an+1=an+等情形可以構(gòu)造bn=an＋１－an,得:：bn=；bn=；bn=即bn=；bn=；bn=從而求出求出數(shù)列前n-1項(xiàng)的和Tn-1,Tn-1=；Tn-1=；Tn-1=即：an－a１=;an－a１=;an－a１=從而求出an=a１+;an=a１+;an=a１+練習(xí)：1）數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1-an=2n,求通項(xiàng)an.2）數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1-an=2n,求通項(xiàng)an.3)數(shù)列{an}中，若a1=2，，求通項(xiàng)an.六．構(gòu)造形如的形式。例：數(shù)列{an}中，若a1=1，，求an.解：由得：∴，，，…用累乘法把以上各式相乘得：∴。當(dāng)遞推公式形如：；；等形式，我們可以構(gòu)造。可得:;;.然后用疊乘法得：。令數(shù)列{bn}的前n-1項(xiàng)的積為An-1,則;從而得到：；；；；。練習(xí)：1）數(shù)列{an}中，若a1=2，，求an.七．構(gòu)造形如的形式。例：數(shù)列{an}中，a1=2，Sn=4an-1+1，求an.解：Sn=4an-1+1，Sn-1=4an-2+1二式相減：Sn-Sn-1=4an-1-4an-2an=4an-1-4an-2an-2an-1=2（an-1-an-2）設(shè)bn=an+1-2an。當(dāng)遞推公式形如