高中數(shù)學(xué)試題命制的常見失誤分析與命題思考

高中數(shù)學(xué)試題命制的常見失誤分析與命題思考

一份優(yōu)質(zhì)的試卷對(duì)教與學(xué)具有導(dǎo)向作用，它使教學(xué)更具針對(duì)性，使學(xué)習(xí)目標(biāo)更明確.具有亮點(diǎn)的試題令人精神愉悅、回味無窮，蹩腳的試題則形同雞肋、索然無味.試題的命制充滿著不可預(yù)知性，它對(duì)命題者提出了挑戰(zhàn).目前，有關(guān)命題理論的著作不少，體現(xiàn)命題者命題心路歷程的文章也比較多.但命題失誤在各類測(cè)試中層出不窮，令人遺憾與嘆息.下面筆者從教學(xué)中遇到的錯(cuò)題中摘選幾例進(jìn)行分析，以期能對(duì)讀者解題與教師命題有所幫助.一、命題失誤舉例（一）無中生有型命題者為了強(qiáng)化某些知識(shí)點(diǎn)、思想方法或特殊技巧，試題設(shè)計(jì)時(shí)過于聚焦目標(biāo)而忽視了載體的存在性，導(dǎo)致結(jié)論的無中生有.若對(duì)局部細(xì)節(jié)仔細(xì)推敲，依照通性通法推理演算，就能發(fā)現(xiàn)試題的科學(xué)性缺陷，這類錯(cuò)誤常見于整體法，忽略前提套用公式、幾何問題等.點(diǎn)評(píng)：求解“兩個(gè)向量的夾角為鈍角”的充要條件一般采用“割補(bǔ)法”（根據(jù)差集的定義先求m·n（二）有悖常理型數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活，促進(jìn)人們更好地生活.數(shù)學(xué)的應(yīng)用體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性與生命力，在考試中多以應(yīng)用題形式進(jìn)行考查.應(yīng)用題是用語言或文字?jǐn)⑹鲇嘘P(guān)事實(shí)、反映某種數(shù)量關(guān)系，并求解未知數(shù)量的題目.因其能較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)而備受命題者的青睞.應(yīng)用題的設(shè)計(jì)要以客觀事實(shí)為準(zhǔn)繩，符合客觀認(rèn)知規(guī)律，謹(jǐn)防捏造事實(shí)或隨意杜撰規(guī)則.例2某創(chuàng)業(yè)投資公司計(jì)劃于2019年開發(fā)一種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬元到1000萬元的投資收益，現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過9萬元，同時(shí)不超過收益資金的20%.（1）請(qǐng)分析函數(shù)是否符合公司要求的獎(jiǎng)勵(lì)模型，并說明原因；（略）（2）若該公司采用函數(shù)模型作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，試確定最小正整數(shù)a的值.點(diǎn)評(píng)：對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問題，在考慮數(shù)學(xué)問題科學(xué)性時(shí)，還需充分調(diào)研問題的背景，對(duì)真實(shí)的對(duì)象進(jìn)行模型化（適度的簡(jiǎn)化與加工）處理，切忌閉門造車，造成學(xué)生認(rèn)知上的矛盾與困惑，即現(xiàn)實(shí)情境設(shè)置中還要做到“合情、合理、合法、合標(biāo)”.從題設(shè)看，獎(jiǎng)金y應(yīng)為正數(shù)（不同于表示收益的隨機(jī)變量的取值），即若令g（x）≥0恒成立，得，與矛盾.大部分學(xué)生意識(shí)到了這一點(diǎn)，得到了更加符合實(shí)際的結(jié)論.這要求我們對(duì)相關(guān)問題的理解要全面細(xì)致，命題時(shí)要語言規(guī)范（不引起歧義）、準(zhǔn)確得當(dāng)（讓學(xué)生思維關(guān)注點(diǎn)比較集中）.（三）條件冗余型一個(gè)條件往往意味著一個(gè)或多個(gè)結(jié)論.這類問題往往表現(xiàn)為命題者過于聚焦目標(biāo)，給出諸多條件，按照既定程序得到結(jié)論.“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，對(duì)象不同，視角迥異，發(fā)現(xiàn)某些條件已經(jīng)蘊(yùn)含于其他條件之中，造成重復(fù)現(xiàn)象，或出現(xiàn)某些條件始終沒有貢獻(xiàn)，成為結(jié)論推導(dǎo)的旁觀者.點(diǎn)評(píng)：目前考試中的試題均為結(jié)構(gòu)良好試題，即題目條件適當(dāng)，利用條件恰好得出結(jié)論.本題條件“2α∈[0，2π）”純屬多余.如果去掉這一條件，仿照解法1可得，得，故可更好地甄別學(xué)生的思維水平，如：有的學(xué)生對(duì)k進(jìn)行奇偶分類、有的學(xué)生利用正切函數(shù)的周期性等.部分學(xué)生因?yàn)榻忸}未用盡條件而惴惴不安，影響了后續(xù)做題的效率.通過仔細(xì)審題設(shè)條件，盡可能地從不同角度分析求解，以期驗(yàn)證條件的必要性.一般試題盡可能設(shè)置為結(jié)構(gòu)良好的試題，可將條件冗余等試題作為試水的探究性問題.（四）自相矛盾型很多試題涉及面廣，難度較大，命題者給出相關(guān)條件，不能兼容.這類問題表現(xiàn)為通過條件會(huì)得到相互矛盾的結(jié)論，常見于抽象函數(shù)、分段函數(shù)等為載體的試題.（五）思維單一型命題者往往按照既定的思維設(shè)置求解策略，面對(duì)思維方式、解題方向各不相同的學(xué)生，稍不留意就會(huì)遭遇意外，如一題多解、答案形異質(zhì)同等.因此，試題的設(shè)計(jì)與發(fā)展必須保持在可控的范圍之內(nèi).例5航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，如圖1所示，已知飛機(jī)的高度為海拔10000m，速度為180km/h.飛機(jī)先看到山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420s后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，求山頂?shù)暮０胃叨龋ǎ?點(diǎn)評(píng)：若用精確值殊途同歸得，當(dāng)將估值“”代入，時(shí)機(jī)不同，結(jié)果相差較大.命題者忽視了學(xué)生思維的多樣性帶來的答案的差異性.教師在命題時(shí)，可合理設(shè)定估算替代的時(shí)機(jī)，讓學(xué)生在思維發(fā)散中適時(shí)適度地收斂于同一點(diǎn)，如對(duì)解題行進(jìn)過程中某一整體進(jìn)行賦值，則會(huì)有效避免這種情況.尺有所短，寸有所長(zhǎng)，命題后盡可能讓學(xué)生試做、同行審閱，模擬中及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題并逐步完善.（六）直覺經(jīng)驗(yàn)型經(jīng)驗(yàn)是把雙刃劍，隨機(jī)應(yīng)變則能錦上添花、精益求精；抱殘守缺則會(huì)僵化教條、墨守成規(guī).這類問題表現(xiàn)為命題者根據(jù)教學(xué)、命題經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行試題的原創(chuàng)和改編，囿于習(xí)慣對(duì)形同質(zhì)異的問題缺乏警惕性，往往用直覺感知代替理性分析，容易出現(xiàn)張冠李戴或想當(dāng)然等情況.如數(shù)形結(jié)合思想方法中“形的誤導(dǎo)”.直覺引領(lǐng)思維方向，邏輯完善思維發(fā)展.點(diǎn)評(píng)：本題中，滿足條件的幾何體還有多面體、多面體體積為等.已知三視圖如何確定該幾何體？學(xué)生不僅需要熟知常見幾何體的三視圖，更需要明晰其中的邏輯關(guān)系：投影方向不變的條件下，某幾何體確定，其三視圖唯一確定；反之，三視圖確定，其幾何體未必唯一.通過發(fā)散思維利用三個(gè)集合的交集進(jìn)而確定該幾何體.只有我們用知識(shí)武裝頭腦，深化對(duì)數(shù)學(xué)、學(xué)生、教學(xué)、技術(shù)等全方位的理解，才能用理性駕馭經(jīng)驗(yàn).二、命題思考（一）樹立命題意識(shí)，感悟基本套路考試是根據(jù)一定的考核目的，讓被試者在規(guī)定時(shí)間內(nèi)，按指定的方式、要求來解答問題，并對(duì)其解答結(jié)果評(píng)等級(jí)、記分.具有評(píng)定、診斷、反饋、預(yù)測(cè)和激勵(lì)的功能，是教育測(cè)量的工具之一.教學(xué)中檢測(cè)可能隨時(shí)發(fā)生，因此命題是教師必備的一項(xiàng)基本素質(zhì).然而教學(xué)中發(fā)現(xiàn)多數(shù)教師對(duì)多種方式（教輔、網(wǎng)絡(luò)等）獲得的各種成題（高考真題或?qū)W業(yè)水平真題與模擬題、同步檢測(cè)題等）實(shí)行“拿來主義”，盡管使用時(shí)不能得心應(yīng)手，但因其缺乏對(duì)試題的改編與原創(chuàng)能力也只能聽之任之.首先，教師要認(rèn)識(shí)到命題的重要性與迫切性.不少教師認(rèn)為學(xué)校（年級(jí)）內(nèi)命題是學(xué)科組長(zhǎng)的事情，與己無關(guān)；縣市級(jí)以上大范圍考試命題是命題專家的事，自己遙不可及.事實(shí)上，命題是教師必須掌握的一項(xiàng)基本功，只有我們具備一定的命題水平才能更好地駕馭課堂.其次，教師要學(xué)習(xí)命題必要的知識(shí)與技能.如：好問題的標(biāo)準(zhǔn)是什么？命題有哪些基本原則？改編試題有哪些基本方式？原創(chuàng)試題有哪些注意點(diǎn)等.它們引領(lǐng)著命題的方向，也是我們命題時(shí)力求達(dá)成的目標(biāo).再次，教師要通過不斷解題提高解題能力.教師只有多研究試題、研究學(xué)情，才能合理命制試題.“老師要跳進(jìn)題海，讓學(xué)生走出題?！?教師解題不能局限于當(dāng)前教學(xué)需求層次，只有廣泛涉獵才能胸有成竹.如高中數(shù)學(xué)教師不僅要弄透教材，熟悉學(xué)業(yè)水平和高考相關(guān)試題，還要研習(xí)歷年來各地（包括國(guó)外）的競(jìng)賽與自主招生試題等.只有弄清問題的來龍去脈，才能深化對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知，更好地構(gòu)建數(shù)學(xué)整體.以高考試題為例，我們可以以高考真題、市級(jí)以上模擬題為素材，通過解答全卷、分類專題梳理、各種題型過關(guān)等方式進(jìn)行，力爭(zhēng)實(shí)現(xiàn)“博觀約取，見微知著”.最后，教師要注意收集最新信息和把握教學(xué)發(fā)展前沿動(dòng)態(tài).只有不斷學(xué)習(xí)才能與時(shí)俱進(jìn)，才能緊跟時(shí)代發(fā)展的步伐.（二）強(qiáng)化命題實(shí)踐，反思是非功過紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.命制高質(zhì)量的試題不僅需要深厚的數(shù)學(xué)功底和精湛的命題技術(shù)，更需要大量的實(shí)戰(zhàn)練習(xí).命題者要善于抓住機(jī)會(huì)，捕捉靈感，探究問題本質(zhì)，留心收集素材.如教師可積極參與學(xué)?；蚪逃鞴懿块T開展的命題業(yè)務(wù)培訓(xùn)、命題比賽活動(dòng)等，通過對(duì)散亂的知識(shí)的合理整合、雜亂思緒的有序輸出可使命題者對(duì)命題程序形成清晰的脈絡(luò).又如教師及時(shí)記錄師生問題深入探究的結(jié)果及課堂教學(xué)的靈感本身就是命題的重要素材.班杜拉的自我效能理論認(rèn)為：“多次的失敗會(huì)降低個(gè)體的自我效能感，多次的成功體驗(yàn)則會(huì)提高個(gè)體的自我效能感.”剛開始命題時(shí)，盡可能準(zhǔn)備充分些，步子更小一點(diǎn)，多嘗試改編一些簡(jiǎn)單題.試題檢測(cè)不是命題的終結(jié)，而是命題反思的開始.試題診斷是否達(dá)到了預(yù)期？出現(xiàn)偏差的原因有哪些？經(jīng)常在考試后聽到命題教師的疑惑：“試題難度不大，學(xué)生咋考得這么差呢？”這表明命題教師對(duì)學(xué)情把握不準(zhǔn)，用自己的臆想（如學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)情境、語言、背景的理解等）代替學(xué)生的理解.教師要加強(qiáng)與學(xué)生的交流、多向?qū)W科組教師請(qǐng)教，及時(shí)撰寫命題反思.借助實(shí)戰(zhàn)的切膚之痛，獲得真正的經(jīng)驗(yàn).通過對(duì)所命試題使用后的跟蹤分析，積累改進(jìn)與完善命題方法，進(jìn)一步提高命題質(zhì)量.（三）重視命題評(píng)價(jià)，強(qiáng)化自我提升熟讀唐詩三百首，不會(huì)作詩也會(huì)吟.試題評(píng)價(jià)是積累命題經(jīng)驗(yàn)的重要方式.當(dāng)教師解題或?qū)W生復(fù)試后，教師可根據(jù)師生的答題情況進(jìn)行分析評(píng)價(jià).如知識(shí)點(diǎn)如何整合？解題方法有哪些？問題具有怎樣的邏輯關(guān)系？解法的特殊之處在哪里？答案