專題強化訓練6

專題強化訓練(六)一、選擇題1．(2020·安徽蕪湖模擬)已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是()A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a[解析]∵－1<b<0，∴0<b2<1，∴－1<b<0<b2<1.又∵a<0，∴ab>ab2>a.[答案]D2．(2020·湖北龍泉中學、宜昌一中月考)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))\f(1－x,x)≥0))，B＝{x|y＝lg(2x－1)}，則A∩B＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))[解析]∵A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))\f(1－x,x)≥0))＝(0,1]，B＝{x|y＝lg(2x－1)}＝{x|2x－1>0}＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，∴A∩B＝eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故選C.[答案]C3．(2020·陜西咸陽模擬)已知不等式ax2＋5x＋b>0的解集是{x|2<x<3}，則不等式bx2－5x＋a>0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))－\f(1,2)<x<－\f(1,3)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))x<－\f(1,2)或x>－\f(1,3)))C．{x|x<－3或x>－2}D．{x|－3<x<－2}[解析]∵不等式ax2＋5x＋b>0的解集是{x|2<x<3}，∴a<0，且方程ax2＋5x＋b＝0的根為x＝2或x＝3.由一元二次方程根與系數的關系得，2＋3＝－eq\f(5,a)，2×3＝eq\f(b,a)，∴a＝－1，b＝－6.∴不等式bx2－5x＋a>0即－6x2－5x－1>0，解得－eq\f(1,2)<x<－eq\f(1,3).故選A.[答案]A4．(2020·深圳模擬)函數y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值是()A．2eq\r(3)＋2 B．2eq\r(3)－2C．2eq\r(3) D．2[解析]∵x>1，∴y＝eq\f(x2－1＋3,x－1)＝x＋1＋eq\f(3,x－1)＝x－1＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(3)＋2，當且僅當x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝1＋eq\r(3)>1時等號成立，故選A.[答案]A5．(2020·湖南長沙南雅中學檢測)設變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5≤0，,x－y－2≤0，,x≥0，))則目標函數z＝2x＋3y＋1的最大值為()A．11B．10C．9D.eq\f(17,2)[解析]由約束條件作出可行域，如圖中陰影部分所示．設z′＝2x＋3y，則y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z′,3)，z＝z′＋1.由圖可知，當y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z′,3)經過點A時，z′取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5＝0，,x－y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))即A(3,1)，所以zmax＝2×3＋3×1＋1＝10.故選B.[答案]B6．(2020·湖北黃岡中學檢測)已知實數x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－m≤0.))若eq\f(y,x＋1)的最大值為2，則m的值為()A．4B．5C．8D．9[解析]作出約束條件所表示的可行域，如圖所示.eq\f(y,x＋1)的幾何意義為可行域內的點與點M(－1,0)連線的斜率．由eq\f(y,x＋1)的最大值為2，得可行域內的點(x，y)與點M(－1,0)連線的斜率的最大值為2.由圖可知，點M與點A連線的斜率最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,x＋y－m＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝m－1，))即A(1，m－1)，所以eq\f(m－1,2)＝2，解得m＝5.故選B.[答案]B7．(2020·山東威海模擬)若0<a<b<1，則ab，ba，logba，logeq\f(1,a)b的大小關系為()A．ab>ba>logba>logeq\s\do8(\f(1,a))bB．ba>ab>logeq\f(1,a)b>logbaC．logba>ab>ba>logeq\s\do8(\f(1,a))bD．logba>ba>ab>logeq\s\do8(\f(1,a))b[解析]因為0<a<b<1，所以0<ab<aa<ba<1,1＝logbb<logba，因為0<a<1，所以eq\f(1,a)>1，logeq\s\do8(\f(1,a))b<0，所以logba>ba>ab>logeq\s\do8(\f(1,a))b.故選D.[答案]D8．(2020·河南模擬)已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值是()A．2B．2eq\r(2)C．4D．2eq\r(3)[解析]因為lg2x＋lg8y＝lg2，所以lg(2x·8y)＝lg2，則2x＋3y＝2，x＋3y＝1.又x>0，y>0，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)＝(x＋3y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,3y)))＝2＋eq\f(3y,x)＋eq\f(x,3y)≥2＋2eq\r(\f(3y,x)·\f(x,3y))＝4，當且僅當x＝3y＝eq\f(1,2)時取等號．故選C.[答案]C9．(2020·寧夏銀川質檢)設集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一個整數，則實數a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(4,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)) D．(1，＋∞)[解析]A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因為函數y＝f(x)＝x2－2ax－1的對稱軸為直線x＝a>0，f(0)＝－1<0，根據對稱性可知要使A∩B中恰含有一個整數，則這個整數為2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－4a－1≤0，,9－6a－1>0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(3,4)，,a<\f(4,3).))即eq\f(3,4)≤a<eq\f(4,3)，故選B.[答案]B10．(2020·鄭州模擬)某工人用A，B兩種配件生產甲、乙兩種產品，每生產一件甲產品需用4個A配件，耗時1h，每生產一件乙產品需用4個B配件，耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得24個A配件和16個B配件，每天生產總耗時不超過8h．若生產一件甲產品獲利3萬元，生產一件乙產品獲利4萬元，則通過恰當的生產安排，該工廠每天可獲得的最大利潤為()A．24萬元B．22萬元C．18萬元D．16萬元[解析]設該工廠分別生產甲、乙兩種產品x件，y件，每天獲得的利潤為z萬元，由已知條件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤8，,4x≤24，,4y≤16，,x≥0，,y≥0，))目標函數為z＝3x＋4y，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值時的最優(yōu)解為(6,1)，所以zmax＝3×6＋4＝22(萬元)，故選B.[答案]B11．(2020·昆明4月質檢)已知a>1，b>0，若a＋b＝2，且eq\r(a－1)＋eq\r(b)<m2－m＋eq\r(2)恒成立，則實數m的取值范圍為()A．[0,1]B．(－∞，0]∪[1，＋∞)C．(0,1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)[解析]由題意可得(eq\r(a－1)＋eq\r(b))max<m2－m＋eq\r(2).∵a>1，b>0，a＋b＝2，∴a－1>0，a－1＋b＝1.∴eq\r(a－1)＋eq\r(b)≤eq\r(2[\r(a－1)2＋\r(b)2])＝eq\r(2)，當且僅當b＝a－1，a＋b＝2，即a＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(1,2)時取等號．所以m2－m＋eq\r(2)>eq\r(2)，解得m>1或m<0.故選D.[答案]D12．(2020·廣東清遠一中一模)若正數a，b滿足：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)的最小值為()A．16 B．9C．6 D．1[解析]∵正數a，b滿足eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴a＋b＝ab，eq\f(1,a)＝1－eq\f(1,b)>0，eq\f(1,b)＝1－eq\f(1,a)>0，∴b>1，a>1，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)≥2eq\r(\f(9,a－1b－1))＝2eq\r(\f(9,ab－a＋b＋1))＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當且僅當a＝\f(4,3)，b＝4時等號成立))，∴eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)的最小值為6，故選C.[答案]C二、填空題13．(2018·全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5≥0，,x－2y＋3≥0，,x－5≤0，))則z＝x＋y的最大值為________．[解析]由線性約束條件畫出可行域(如圖中陰影部分所示)．當直線x＋y－z＝0經過點A(5,4)時，z＝x＋y取得最大值，最大值為9.[答案]914．(2020·福建南安僑光中學月考)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0，,－x2－3x＋1，x<0，))則f[f(x)]≤4的解集是________．[解析]令t＝f(x)，則f[f(x)]≤4轉化為f(t)≤4.∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0，,－x2－3x＋1，x<0，))∴當t≥0時，f(t)＝2t，則f(t)＝2t≤4，解得0≤t≤2；當t<0時，f(t)＝－t2－3t＋1，則－t2－3t＋1≤4，即t2＋3t＋3≥0，易知t2＋3t＋3≥0在R上恒成立，∴t<0，綜上，t≤2，∴f[f(x)]≤4?f(x)≤2.當x≥0時，f(x)＝2x≤2，解得0≤x≤1；當x<0時，f(x)＝－x2－3x＋1≤2，解得x≤eq\f(－3－\r(5),2)或eq\f(－3＋\r(5),2)≤x<0.綜上，原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(－3－\r(5),2)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－3＋\r(5),2)，1)).[答案]eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(－3－\r(5),2)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－3＋\r(5),2)，1))15．(2019·合肥模擬)在區(qū)間(1,2)上不等式x2＋mx＋4>0有解，則m的取值范圍為________．[解析]記f(x)＝x2＋mx＋4，要使不等式x2＋mx＋4>0在區(qū)間(1,2)上有解，需滿足f(1)>0或f(2)>0，即m＋5>