四年級(jí)三大原理加乘原理學(xué)生版

TOC\o"1-5"\h\z乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n個(gè)步驟（缺一不可），第1步有m1種不同的方法，［第2步有m2種不同的方法，第3步有m3種不同的方法，……，第n步有m0種不同的方法，則完,成這件事一共有Nm1m2m3mn種不同的方法。 ［加法原理：一般地，如果完成一件事有n類方法（每一類中的任何一種方法都能獨(dú)立完成這 ,件事情），第1類有mi種不同的方法，第2類有m2種不同的方法，第3類有m3種不同的方法，，］第n類有mn種不同的方法，則完成這件事一共有Nmim2m3mn種不同的方法。 .【課前引入】在做加、乘原理的題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到為地圖涂色的題目。關(guān)于為地圖涂色有一個(gè)看起來(lái)簡(jiǎn)單，但證明過(guò)程卻十分復(fù)雜的題目一一四色猜想。四色猜想是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。四色猜想的提出來(lái)自英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯?格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著色， 使得有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色。 ”這個(gè)結(jié)論能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢？他和在大學(xué)讀書(shū)的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問(wèn)題而使用的稿紙已經(jīng)堆了一大疊，可是研究工作沒(méi)有進(jìn)展。 1852年10月23日，他的弟弟就這個(gè)問(wèn)題的證明請(qǐng)教他的老師、著名數(shù)學(xué)家德?摩爾根，摩爾根也沒(méi)有能找到解決這個(gè)問(wèn)題的途徑，于是寫(xiě)信向自己的好友、著名數(shù)學(xué)家哈密爾頓爵士請(qǐng)教。哈密爾頓接到摩爾根的信后，對(duì)四色問(wèn)題進(jìn)行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問(wèn)題也沒(méi)有能夠解決。1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。1878?1880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認(rèn)為四色猜想從此也就解決了。 11年后，即1890年，數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。后來(lái)，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家雖然對(duì)此絞盡腦汁，但一無(wú)所獲。于是，人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題。先輩數(shù)學(xué)大師們的努力， 為后世的數(shù)學(xué)家揭示四色猜想之謎鋪平了道路。 進(jìn)入20世紀(jì)以來(lái)，科學(xué)家們對(duì)四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。 1913年，伯克霍夫在肯普的基礎(chǔ)上引進(jìn)了一些新技巧，美國(guó)數(shù)學(xué)家富蘭克林于 1939年證明了22國(guó)以下的地圖都可以用四色著色。 1950年，有人從22國(guó)推進(jìn)到35國(guó)。1960年，有人又證明了39國(guó)以下的地圖可以只用四種顏色著色； 隨后又推進(jìn)到了50國(guó)?？磥?lái)這種推進(jìn)仍然十分緩慢。電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對(duì)話的出現(xiàn)，大大加快了對(duì)四色猜想證明的進(jìn)程。 1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。 四色猜想的計(jì)算機(jī)證明,轟動(dòng)了世界。它不僅解決了一個(gè)歷時(shí) 100多年的難題，而且有可能成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點(diǎn)。不過(guò)也有不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們還在尋找一種簡(jiǎn)捷明快的書(shū)面證明方法。兇5s簡(jiǎn)單加乘【例1】從學(xué)而思學(xué)校到王明家有3條路可走，從王明家到張老師家有2條路可走，從學(xué)而思學(xué)校到張老師家有3條路可走，那么從學(xué)而思學(xué)校到張老師家共有多少種走法？【例2】如圖所示，從甲地到乙地有5條路，從乙地到丁地有3條路，從甲地到丙地有2條路可走，從丙地到丁地也有6條路，請(qǐng)問(wèn)從甲地到丁地共有多少種不同走法？【例3】某信號(hào)兵用紅，黃，藍(lán)，綠四面旗中的三面從上到下掛在旗桿上的三個(gè)位置表示信號(hào)。每次可掛1面或者2面或者3面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)。一共可以表示出多少種不同的信號(hào)?（不掛旗則沒(méi)有信號(hào)）［例4］有兩個(gè)不完全一樣的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字 1、2、3、4、5、6。將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為奇數(shù)的有多少種情形？［例5］有三個(gè)不完全一樣的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字 1、2、3、4、5、6。將三個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為奇數(shù)的有多少種情形？【例6】用數(shù)字0、1、2、3、4可以組成多少個(gè)小于1000的自然數(shù)？（各數(shù)字可重復(fù)使用）【例7】用0、1、2、3四個(gè)數(shù)碼可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?【例8】（2008年第八屆“春蕾杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽四年級(jí)決賽） 用0?5這六個(gè)數(shù)字可組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)。[例9]2008年“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽五年級(jí)）從0、0、1、2、3、4、5這七個(gè)數(shù)字中，任取3個(gè)組成三位數(shù)，共可組成個(gè)不同的三位數(shù)（這里每個(gè)數(shù)字只允許用1次，比如100、210就是可以組成的，而211就是不可以組成的）。【例10】（2008第七屆“小機(jī)靈杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽四年級(jí)決賽）有一些三位數(shù)，三個(gè)數(shù)字之和是 21,這樣的三位數(shù)有個(gè)?！纠?1】（2008第四屆IMC國(guó)際數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽（新加坡）小學(xué)六年級(jí)初賽）在三位數(shù)中，至少有一位是3的共有個(gè)?！纠?2】用1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫(xiě)出多少個(gè) 3的倍數(shù)?【例13】從1到100的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字【例13】從1到100的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個(gè)？【例14】從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個(gè)？【例15】從1到300的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字2的自然數(shù)有多少個(gè)？【例16】由數(shù)字1,2,3,4組成的所有四位數(shù)中（數(shù)字不重復(fù)使用） ，從小到大排列，第7個(gè)數(shù)是【例17]由1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)字組成的不同的五位數(shù)有 120個(gè)，將他們從大到小排列起來(lái)，第95個(gè)數(shù)是O【例18]由數(shù)字0、【例18]由數(shù)字0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列,個(gè).2008排在第【例19】（2008第九屆“中環(huán)杯”小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)五年級(jí)決賽）一個(gè)自然數(shù)，如果從左到右順讀和從右到左逆讀都是一樣，則這個(gè)數(shù)稱為“回文數(shù)” ，如1、22、434、4554都是回文數(shù)。那么從小到大排列，第2009個(gè)回文數(shù)是（ ）。（不包括0）【例20】（2008年第十二屆香港保良局小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請(qǐng)賽隊(duì)際賽 ）在1到2008（含2008）的所有正整數(shù)中，數(shù)碼和可被5整除的數(shù)共有多少個(gè)？宣地圖的染色【例21]如圖所示，地圖上有A、B、C、D【例21]【例22】【例22】如圖所示，地圖上有A、B、C、D四個(gè)國(guó)家，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給地圖染色，使相鄰國(guó)家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問(wèn)有多少種不同的染色方法？【例23】【例23】如圖所示，地圖上有A、B、C、D、E五個(gè)國(guó)家，現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給地圖染色,使相鄰國(guó)家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問(wèn)有多少種不同的染色方法？【例24］如圖所示，地圖上有A、B、C、D、E、F六個(gè)國(guó)家，現(xiàn)有五種顏色給地圖染色，使相鄰國(guó)家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問(wèn)有多少種不同的染色方法？復(fù)雜加乘EFACDB復(fù)雜加乘EFACDB【例25】（2008年3月第六屆小學(xué)“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽五年級(jí)第 1試）從1?9這九個(gè)數(shù)碼中取出3個(gè)，使它們的和是3的倍數(shù)，則不同取法有種?！纠?6】（2008年第六屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”中國(guó)青少年數(shù)學(xué)論壇趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽六年級(jí)決賽）從1?25這25個(gè)自然數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)，使它們的和是4的倍數(shù)，共有種不同的取法。【例27】（2008年第六屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”中國(guó)青年數(shù)學(xué)論壇趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽四年級(jí)初賽、五年級(jí)初賽）如圖所示，每個(gè)小正三角形邊長(zhǎng)為 1,小蟲(chóng)每步走過(guò)1,從A出發(fā)，恰走4步回到A的路有條。（途中不再回A）【例28]【例29】如圖所示，直線a、b上分別有5個(gè)點(diǎn)和4個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以畫(huà)出多少個(gè)的三角形?【例30【例28]【例29】如圖所示，直線a、b上分別有5個(gè)點(diǎn)和4個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以畫(huà)出多少個(gè)的三角形?【例30]如圖所示，直線a、b上分別有6個(gè)點(diǎn)和點(diǎn)可以畫(huà)出多少個(gè)的三角形？4個(gè)點(diǎn)（其中有1個(gè)點(diǎn)為兩直線的交點(diǎn)），以這些點(diǎn)為頂【例31]一個(gè)半圓周上共有12個(gè)點(diǎn)，直徑上5個(gè),圓周上7個(gè)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以畫(huà)出多少個(gè)三角形?如下圖，八面體有12條棱，6個(gè)頂點(diǎn).一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿棱爬行，要求恰好經(jīng)過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)一次.問(wèn)共有多少種不同的走法？【例32】【例32】在一個(gè)圓周上均勻分布10個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)再加上圓心一共 11個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)，可以畫(huà)出多少長(zhǎng)度小于直徑的線段？【例33】有紅、黃、藍(lán)、綠小旗各一面，每次可以在旗桿上任意掛一面、二面、三面、四面，從上至下順序不同時(shí)，表示不同的信號(hào)。這四面旗共能發(fā)出多少種不同的信號(hào)？（不掛旗則沒(méi)有信號(hào)，相同顏色的旗子不作區(qū)別）【例34】五種顏色不同的信號(hào)旗，各有2面，任意取出1面、2面、3面排成一行，表示一種信號(hào)，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，請(qǐng)問(wèn)共可以表示多少種不同的信號(hào)？（不掛旗則沒(méi)有信號(hào)，相同顏色的旗子按照其數(shù)量區(qū)別）【例35】紅、黃、藍(lán)、白四種顏色不同的小旗，各有2、2、3、3面，任意取出3面按順序排成一行，表示一種信號(hào)，請(qǐng)問(wèn)：（1）共可以表示多少種不同的信號(hào)？（ 2）如果白旗不能打頭又有多少種？（不掛旗則沒(méi)有信號(hào)，相同顏色的旗子不作區(qū)別）【例36］從分別寫(xiě)有2、4、6、8的四張卡片中任取兩張，做兩個(gè)一位數(shù)乘法 .如果其中的6可以看成9,那么共有多少種不同的乘積？【例37】有七張卡片：1、1、回、回、回、回、回，從中任取3張可排列成三位數(shù)。若其中卡片回旋轉(zhuǎn)后可看作［6,則排成的偶數(shù)有個(gè)。【例38】電子表03:45表示3點(diǎn)45分，11:27表示11點(diǎn)27分。早上5點(diǎn)到8點(diǎn)這三小時(shí)內(nèi)，電子表出現(xiàn)無(wú)重復(fù)數(shù)字的時(shí)刻有多少次？【例39】（2007年第五屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”中國(guó)青少年數(shù)學(xué)論壇趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽五年級(jí)初賽）玩具廠生產(chǎn)一種玩具棒，共4節(jié)，用紅、黃、藍(lán)三種顏色給每節(jié)涂色。這家廠可生產(chǎn)種顏色不同的玩具棒。【練習(xí)1】 商店里有2種巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有 3種水果糖：蘋(píng)果味、梨味、橙味。小明想買一些糖送給他的小朋友。請(qǐng)問(wèn)： （1）如果小明只買一種糖，他有幾種選法？（ 2）如果小明想買水果糖、巧克力糖各1種，他有幾種選法？【練習(xí)2】 從北京到廣州可以選擇直達(dá)的飛機(jī)和火車， 也可以選擇中途在上?；蛘呶錆h作停留， 已知北京到上海、武漢或者上海、武漢到廣州除了有飛機(jī)和火車兩種交通方式外還有汽車。請(qǐng)問(wèn)：從北京到廣州一共有多少種交通方式供選擇？【練習(xí)3] 有不同的中文書(shū)24本，不同的英文書(shū)31本，不同的法文書(shū)23本，從中取出2本不同語(yǔ)言類別的書(shū)，有多少種不同的取法？【練習(xí)4】由數(shù)字0、1、3、9可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的正整數(shù)?【練習(xí)5] 用0、1、2、3四個(gè)數(shù)碼可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)?【練習(xí)6】甲、乙、丙、丁四人排隊(duì)，甲不站排頭，丁不站排尾，這樣的排列有多少種?如圖所示，將1、2、3、4、5分別填入圖中5個(gè)格子中，要求填在灰色格子里的數(shù)比它旁邊的白色格子里的兩個(gè)數(shù)都大。請(qǐng)問(wèn)共有多少種不同的填法？【練習(xí)8】 （2008年第四屆IMC國(guó)際數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽（新加坡）小學(xué)四年級(jí)復(fù)賽）按英國(guó)人的記法， 2008年4月6日記作462008,按美國(guó)人的記法，2008年4月6日記作642008。那么，2008年全年中共有天會(huì)讓英、美兩國(guó)人在記法上產(chǎn)生誤會(huì)。A12 B.132 C.353 D.354【練習(xí)9】 （2007年12月第九屆“中環(huán)杯”小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)六年級(jí)初賽） 某工作需要鉗工2人和電工2人共同完成，現(xiàn)有鉗工A、B、C,電工D、E、F,另有G鉗工、電工都會(huì)。從這7個(gè)人中挑選若干人去完成這項(xiàng)工作，共有不同選法。友遵號(hào)補(bǔ)充【補(bǔ)充1】 一個(gè)三角形的三條邊為a、b、c,且a、b、c均為小于10的正整數(shù)；若這個(gè)三角形為等腰三角形（包括等邊三角形），則三位數(shù)abc有多少種可能？【