切線與法平面

關(guān)于切線與法平面第1頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三問題的提出

我們可以利用偏導數(shù)來確定空間曲線的切向量和空間曲面的法向量第2頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三切線方程為法線方程為的某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)定理條件，則

一.

平面曲線的切線與法線第3頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三求曲線上過點的切線方程，這里㈠設曲線用參數(shù)方程表示為二.空間曲線的切線與法平面第4頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三由于切線是割線的極限位置，從而考慮通過點和點的割線方程在上式各端的分母都除以第5頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三由于切線是割線的極限位置，在上式中令取極限，就得到曲線在點的切線方程：由此可見，曲線在點的切線的一組方向數(shù)是第6頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三曲線在點的法平面就是過點且與該點的切線垂直的平面，于是切線的方向數(shù)就是法平面的法方向數(shù)，從而過點的法平面方程是㈡如果曲線的方程表示為可以把它寫成如下的以為參數(shù)的參數(shù)方程于是可得曲線在點的切線方程和法平面方程如下：第7頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三㈢一般地，如果曲線表示為兩個曲面的交線：設，設上述方程組在點確定了一對函數(shù)由這兩個方程可解出這時容易把它化成剛才討論過的情形：第8頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三從而可得曲線在點的切線方程：和法平面方程第9頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三解：在（1，1，1）點對應參數(shù)為t=1切線方程：法平面方程：(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0即：x+2y+3z=8例1求曲線在點處的切線及法平面方程。第10頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三例2、求曲線在點（1，-2，1）處的切線及法平面方程。法平面方程：x-z=0切線方程：第11頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三例求曲線在點的切線與法平面方程解在曲線方程中分別對求導，得對應于點的參數(shù)，于是從而切線方程為法平面方程為第12頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三例求兩柱面的交線在點：處的切線方程。第13頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三解在方程組中分別對求導數(shù)，得于是從而在點有：第14頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三所以切線方程為：即此直線可看作是平面與平面的交線。第15頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三三曲面的切平面與法線㈠設曲面方程為過曲面上點任作一條在曲面上的曲線，設其方程為顯然有在上式兩端對求導，得第16頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三曲線在M處的切向量第17頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三上式說明向量與切線向量正交。從而曲面在點的切平面方程為由于的任意性，可見曲面上過的任一條曲線在該點的切線都與正交，因此這些切線應在同一平面上，這個平面稱為曲面在點的切平面，而就是切平面的法向量。在點（設點對應于參數(shù)）有第18頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三過點與切平面垂直的直線，稱為曲面在點的法線，其方程為該法線的一組方向數(shù)為：第19頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三綜上所述若曲面方程為則該曲面在點的切平面方程為過點的法線方程為第20頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三設分別為曲面在點的法線與軸正向之間的夾角，那末在點的法線方向余弦為第21頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三㈡若曲面方程為容易把它化成剛才討論過的情形：于是曲面在（這里）點的切平面方程為法線方程為第22頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三㈢若曲面方程為參數(shù)形式：如果由方程組可以確定兩個函數(shù)：于是可以將看成的函數(shù)，從而可以將問題化為剛才已經(jīng)討論過的情形。代入方程，得因此需分別計算對的偏導數(shù)。第23頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三將分別對求導，注意到為的函數(shù)按隱函數(shù)求導法則有解方程組，得第24頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三法線方程于是曲面在點的切平面方程為第25頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三例1求球面在點的切平面及法線方程解設則所以在點處球面的切平面方程為法線方程第26頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三曲面的夾角兩個曲面在交線上某點處的兩個法線的夾角稱為這兩個曲面在該點的夾角。如果兩個曲面在該點的夾角等于90度，則稱這兩個曲面在該點正交。若兩曲面在交線的每一點都正交，則稱這兩曲面為正交曲面。例2證明對任意常數(shù)，球面與錐面是正交的。第27頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三即證明球面的法線方向數(shù)為錐面的法線方向數(shù)為在兩曲面交線上的任一點處，兩法向量的內(nèi)積因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面與錐面正交。第28頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三解切平面方程為法線方程為第29頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三解令切平面方程法線方程第30頁，共33頁，2023年，2月20日，星期三解設