第26計 數(shù)列開門 前后跟蹤

數(shù)學(xué)破題36計第26計數(shù)學(xué)破題36計●計名釋義數(shù)列是特殊的函數(shù)，告訴了自變量是正自然數(shù)的函數(shù)，因此只要我們應(yīng)知道這個特殊函數(shù)有兩種關(guān)系式，除通項公式外，還有前后跟蹤關(guān)系的遞推式.高考30年來，數(shù)列的難題幾乎都出現(xiàn)在遞推式中.●典例示范【例1】若數(shù)列{an}滿足：a1=1，an=+n+an-1，n∈N*，n≥2，求證：an=，n∈N*.【證明】在遞推式中，分別令n=2，3，4,…，直到n，得到(n-1)個等式：a2=+2+a1a3=+3+a2a4=+4+a3……an=將這(n-1)個等式整體相加得an=++…++2+3+…+n+a1=.當(dāng)n=1時，a1=1,也適合上式，∴an=，n∈N*【點評】這里an與an-1的系數(shù)相等（都是1），并且在等號的兩旁，因此由遞推式得到的（n-1）個等式相加后，很多項可以消去，進(jìn)而順利求出an.由于數(shù)列可以看作是正整數(shù)n的函數(shù)，因此對于以遞推關(guān)系式出現(xiàn)的問題，常?？梢詮倪f推關(guān)系式中的n=1，2，3，……入手，得到一系列的等式，通過對它們進(jìn)行或加、或減、或乘、或除等運算，使問題獲得解決.遞推意識是解數(shù)列問題的一種最基本、最重要的意識.【例2】(2006年全國卷Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和Sn=an-×2n+1+,n=1，2，3,……（Ⅰ）求首項a1與通項an；（Ⅱ）設(shè)Tn=，n=1，2，3,……求證：【解答】（Ⅰ）a1=S1=a1-，解得a=2.an+1=Sn+1-Sn=an+1-an-(2n+2-2n+1),∴an+1=4an+2n+1.這里an的系數(shù)是4，無法仿照例1直接用遞推法求解.先將已知遞推式的兩邊同除以2n+1得到若令bn=，則有bn+1=2bn+1(*)(*)式就是我們熟知的線性遞推式，它可以運用待定系數(shù)法求解.設(shè)bn+1+k=2(bn+k)，即bn+1=2bn+k.∴k=1，故=2(n∈N*)，即{bn+1}是以b1+1為首項，2為公比的等比數(shù)列.∴bn+1=(b1+1)·2n-1bn=2n-1an=4n-2n.(n∈N*)（Ⅱ）Sn=an-×2n+1+=(4n-2n)-×2n+1+=(2n+1-1)(2n-1).Tn=,∴【點評】這里的遞推式an+1=4an+2n+1化成bn+1=2bn+1后，形如an+1=Aan+B.對于an+1=Aan+B：當(dāng)A=1時，an+1=an+B，即an+1-an=B，故通項an=a1+(n-1)B；當(dāng)A≠1時，an+1+k=Aan+B+k=A,令k=，則(A-1)k=B，即k=,∴{an+k}是以a1+k=a1+為首項，公比為A的等比數(shù)列.于是an+k=·An-1，∴an=·An-1-.【例3】(2006年安徽高考題)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=，Sn=n2an-n(n-1)，n=1,2,……寫出Sn與Sn-1的遞推關(guān)系式(n≥2)，并求Sn關(guān)于n的表達(dá)式.【解答】當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1,代入Sn=n2an-n(n-1)中，得Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1),即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1)(*)這就是Sn與Sn-1的遞推關(guān)系式.將(*)式兩邊同除以n(n-1)得Sn-Sn-1=1(n≥2).構(gòu)造新數(shù)列，它是以2S1=2a1=1為首項，1為公差的等差數(shù)列.于是=1+(n-1)×1=n，即Sn=(n≥2).顯然，上式當(dāng)n=1時也成立.∴Sn=，n∈N*.【點評】這里構(gòu)造新數(shù)列，關(guān)鍵在于能將（*）式變形為Sn-Sn-1=1,由此發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系.高考中許多數(shù)列問題，往往是以等比、等差這兩類基本數(shù)列為背景設(shè)計而成的.解決這類問題，常常可以通過構(gòu)造新數(shù)列來實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.強(qiáng)化構(gòu)造意識，有助于創(chuàng)新能力的提高●對應(yīng)訓(xùn)練1.假定一對剛出生的小兔一個月后能長成大兔，再過一個月便能生下一對小兔，并此后每一個月生一對小兔，如果不發(fā)生死亡，問一對剛出生的小兔一年可繁殖成多少對？2.對任意函數(shù)f(x)，x∈D,可按圖所示構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：輸入數(shù)據(jù)x0∈D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x1=f(x0);②若x1D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x1∈D，則將x1反饋回輸入端，再輸出x2=f(x1)，并依此規(guī)律繼續(xù)下去，現(xiàn)定義f(x)=若輸入x0=則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列{xn},第2題圖請寫出數(shù)列{xn}的所有項；(2)若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮常數(shù)數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x0的值；(3)若輸入x0時，產(chǎn)生無窮數(shù)列{xn}滿足：對任意正整數(shù)n，均有xn<xn+1，求x0的取值范圍.3.某公司全年的純利潤為b元，其中一部分作為獎金發(fā)給n位職工，獎金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(工作業(yè)績均不相同)從大到小，由1至n排序，第1位職工得獎金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.(1)設(shè)ak(1≤k≤n)為第k位職工所得獎金額，試求a2、a3,并用k、n和b表示ak;(不必證明)(2)證明ak>ak+1(k=1,2,…,n-1)，并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實際意義.(3)發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為Pn(b)，對常數(shù)b，當(dāng)n變化時，求.●參考答案1.把第n個月的兔子總數(shù)記為f(n)，則f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=3，f(5)=5，f(6)=8，f(7)=13,…….考查數(shù)列{f(n)}的規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)，從第三項開始，第一項都是前兩項之和：f(3)=f(1)+f(2)；f(4)=f(2)+f(3)；f(5)=f(3)+f(4)；f(6)=f(4)+f(5)；f(7)=f(5)+f(6);…，f(13)=f(11)+f(12)=89+144=233,所以，一對兔子一年可繁殖成233對.2.(1)∵f(x)的定義域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞)∴數(shù)列{xn}只有三項：x1=，x2=，x3=-1.(2)∵f(x)==x即x2-3x+2=0,∴x=1或x=2.即當(dāng)x0=1或2時，xn+1==xn故當(dāng)x0=1時，xn=1；當(dāng)x0=2時，xn=2(n∈N)解不等式x<,∴<0，得x<-1或1<x<2，要使x1<x2，則x1<-1或1<x1<2,對于函數(shù)f(x)==,若x1<-1，則x2=f(x1)>4，x3=f(x2)<x2,當(dāng)x1∈(1,2)時，x2=f(x1)>x1，且1<x2<2.依次類推，可得數(shù)列{xn}的所有項均滿足xn+1>xn(n∈N+).綜上所述，x1∈(1,2)時，由x1=f(x0),得x0∈(1,2).點評本題主要考查函數(shù)的基本知識，數(shù)列的基本知識，解不等式的基本方法，以及綜合運用知識的能力和判斷推理能力.本題利用框圖形式把函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識點冶為一爐，形式新穎，結(jié)構(gòu)巧妙，富于思考.今后仍有可能出現(xiàn)這種富有創(chuàng)新意識的試題.3.(1)第1位職工的獎金a1=；第2位職工的獎金a2=；第3位職工的獎金a3=；……第k位職工的獎金ak=.(2)ak-ak+1=>0.此獎金分配方案