2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版選修2-2課件：2.3　數(shù)學(xué)歸納法 Word版含解析

2.3

數(shù)學(xué)歸納法1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.掌握利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的一般方法與步驟.3.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.1.數(shù)學(xué)歸納法一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立;(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3解析:因?yàn)樽筮吺阶又衋的最高指數(shù)是n+1,所以當(dāng)n=1時(shí),a的最高指數(shù)為2,根據(jù)左邊式子的規(guī)律可得,當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+a+a2.答案:C解析:由題意知式子右邊各分?jǐn)?shù)的分母是連續(xù)正整數(shù),則由

答案:C

解析:因?yàn)槿切问沁厰?shù)最少的凸多邊形,所以需驗(yàn)證的第一個(gè)n值為3.答案:32.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示

1.如何理解數(shù)學(xué)歸納法?剖析數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種方法,證明分兩步,其中第一步是命題成立的基礎(chǔ),稱為“歸納奠基”;第二步解決的是延續(xù)性問題,又稱“歸納遞推”.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)兩個(gè)步驟缺一不可.(2)在第一步中,n的初始值不一定為1,也不一定只取一個(gè)數(shù)(有時(shí)需取n=n0,n0+1等),證明時(shí)應(yīng)視具體情況而定.(3)在第二步中,證明當(dāng)n=k+1命題成立時(shí),必須使用歸納假設(shè),否則就會(huì)打破數(shù)學(xué)歸納法步驟間的嚴(yán)密邏輯關(guān)系,造成推理無效.(4)證明當(dāng)n=k+1命題成立時(shí),要明確求證的目標(biāo)形式,一般要湊出假設(shè)里給出的形式,以便使用假設(shè),然后再去湊出當(dāng)n=k+1時(shí)的結(jié)論,這樣就能有效減少論證的盲目性.2.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法要注意哪些?剖析正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)找準(zhǔn)起點(diǎn).數(shù)學(xué)歸納法的第一個(gè)步驟是要找到初始值n0,這個(gè)n0就是我們要證明的命題對(duì)象的最小正整數(shù),這個(gè)正整數(shù)并不一定都是“1”,因此“找準(zhǔn)起點(diǎn)”是正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法第一個(gè)要注意的問題.(2)遞推是關(guān)鍵.數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推,所以從“n=k”到“n=k+1”的過程,必須把歸納假設(shè)“n=k”命題成立作為條件來導(dǎo)出“n=k+1”時(shí)命題成立.在推導(dǎo)過程中,要把歸納假設(shè)用上一次或幾次.(3)正確尋求遞推關(guān)系.我們已經(jīng)知道數(shù)學(xué)歸納法的第二步遞推是至關(guān)重要的,如何尋求遞推關(guān)系呢?①在第一步驗(yàn)證時(shí),不妨多計(jì)算幾項(xiàng),并爭(zhēng)取正確寫出來,這樣對(duì)發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的.②探求數(shù)列通項(xiàng)公式要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律,觀察n處在哪個(gè)位置.③在書寫f(k+1)時(shí),一定要把包含f(k)的式子寫出來,尤其是f(k)中的最后一項(xiàng).除此之外,多了哪些項(xiàng),少了哪些項(xiàng)都要分析清楚.題型一題型二題型三題型四用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【例1】

用數(shù)學(xué)歸納法證明:分析:第一步先驗(yàn)證等式成立的第一個(gè)值n0;第二步在假設(shè)n=k等式成立的基礎(chǔ)上,等式左邊加上n=k+1時(shí)新增的項(xiàng),整理出等式右邊的項(xiàng).題型一題型二題型三題型四所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.綜合(1)(2)知,對(duì)任意n≥2,n∈N*等式恒成立.題型一題型二題型三題型四左邊=右邊,等式成立.題型一題型二題型三題型四(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),等式成立,即當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.由(1)(2)可知,對(duì)一切n∈N*等式成立.題型一題型二題型三題型四用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

a1≥1,an+1≥f'(an+1),證明:an≥2n-1(n∈N*).分析:求f'(x)→得an+1≥(an+1)2-1→利用數(shù)學(xué)歸納法證明an≥2n-1(n∈N*)證明:∵f'(x)=x2-1,(1)當(dāng)n=1時(shí),a1≥1=21-1,命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,即ak≥2k-1.則當(dāng)n=k+1時(shí),=22k-1≥2k+1-1.即當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立,由(1)(2)可知,不等式成立.題型一題型二題型三題型四左邊>右邊,所以不等式成立.題型一題型二題型三題型四(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,且k∈N*)時(shí)不等式成立,即所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立.由(1)和(2)知,對(duì)一切大于1的自然數(shù)n,不等式成立.題型一題型二題型三題型四用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題【例3】

有n個(gè)圓,其中每?jī)蓚€(gè)圓相交于兩點(diǎn),并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn),求證:這n個(gè)圓把平面分成f(n)=n2-n+2部分.分析:解答本題的關(guān)鍵是在第二步中如何正確地應(yīng)用假設(shè).證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),圓把平面分為兩部分,而12-1+2=2,所以命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),命題成立,即k個(gè)圓把平面分成f(k)=k2-k+2部分,則當(dāng)n=k+1時(shí),依題意知第(k+1)個(gè)圓與前k個(gè)圓產(chǎn)生2k個(gè)交點(diǎn),第(k+1)個(gè)圓被截為2k段弧,每段弧把所經(jīng)過的區(qū)域分為兩部分,所以平面上增加了2k個(gè)區(qū)域.所以f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即n=k+1時(shí)命題也成立.由(1)(2)知命題成立.題型一題型二題型三題型四反思用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”,即幾何元素從k個(gè)變成(k+1)個(gè)時(shí),所證的幾何量將增加多少,這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來分析,在分析不出來的情況下,將n=k+1和n=k分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加說明即可,這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練3】

平面內(nèi)有n(n∈N*,n≥2)條直線,其中任何兩條不平行、任何三條不過同一點(diǎn),求證:n條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),兩條直線的交點(diǎn)只有一個(gè),所以當(dāng)n=2時(shí),命題成立.題型一題型二題型三題型四(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥2)時(shí)命題成立,即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為則當(dāng)n=k+1時(shí),依題意,第(k+1)條直線與前k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為k,從而(k+1)條直線共有(f(k)+k)個(gè)交點(diǎn),所以當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.由(1)(2)可知,對(duì)任意n∈N*(n≥2),命題都成立.題型一題型二題型三題型四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn):未用歸納假設(shè)而致錯(cuò)錯(cuò)解證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,左邊=右邊,等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)等式成立,根據(jù)(1)和(2)