專題28 拋物線（解析版）

十年十年高考+大數(shù)據(jù)預測1/2專題28拋物線十年大數(shù)據(jù)*全景展示年份題號考點考查內容2011理20拋物線直線與拋物線位置關系，拋物線幾何性質的應用文9拋物線直線與拋物線位置關系，拋物線幾何性質的應用2012理20圓，拋物線圓的方程，拋物線的定義、直線與拋物線的位置關系文20圓，拋物線圓的方程，拋物線的定義、標準方程及其幾何性質2013卷1文8拋物線拋物線的定義及幾何性質卷2理11圓，拋物線圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關系、點到直線距離公式文10拋物線拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系2014卷1理10拋物線拋物線的定義、標準方程文10拋物線拋物線的定義、標準方程卷2理10拋物線拋物線的定義、標準方程，拋物線焦點弦長的計算文10拋物線拋物線的定義、標準方程，拋物線焦點弦長的計算2015卷1理20拋物線直線與拋物線的位置關系，拋物線存在問題的解法2016卷1理10圓，拋物線圓的幾何性質，拋物線的標準方程及其幾何性質，直線與拋物線的位置關系文20拋物線直線與拋物線的位置關系卷2文5拋物線拋物線的幾何性質，反比例函數(shù)的性質卷3文理20拋物線拋物線定義與幾何性質，直線與拋物線位置關系，軌跡方程求法2017卷1理10拋物線拋物線定義與幾何性質，直線與拋物線位置關系文20拋物線拋物線的幾何性質，直線與拋物線位置關系卷2理16拋物線拋物線的幾何性質，直線與拋物線位置關系文12拋物線拋物線的幾何性質，直線與拋物線位置關系，點到直線距離公式2018卷1理8拋物線拋物線的幾何性質，直線與拋物線的位置關系文20拋物線直線與拋物線的位置關系卷2理19文20拋物線拋物線的幾何性質，直線與拋物線的位置關系，圓的方程的求法卷3理16拋物線拋物線的幾何性質，直線與拋物線的位置關系2019卷1理19拋物線拋物線的定義，直線與拋物線位置關系，文21直線與圓，直線與拋物線直線與圓位置關系，直線與拋物線位置關系，拋物線的定義、標準方程及其幾何性質，拋物線的定點問題卷2理8文9橢圓與拋物線拋物線與橢圓的幾何性質卷3文21圓、拋物線拋物線的標準方程、幾何性質，直線與拋物線的位置關系，圓的方程，直線與圓的位置關系，拋物線的定點問題卷3理21圓、拋物線拋物線的標準方程、幾何性質，直線與拋物線的位置關系，圓的方程，直線與圓的位置關系，拋物線的定點問題2020卷1理4拋物線拋物線的定義及標準方程卷2理19橢圓、拋物線橢圓、拋物線方程的求法，橢圓離心率的求法，拋物線的定義文19橢圓、拋物線橢圓、拋物線方程的求法，橢圓離心率的求法，拋物線的定義卷3理文7拋物線直線與拋物線的位置關系，拋物線的幾何性質大數(shù)據(jù)分析*預測高考考點出現(xiàn)頻率2021年預測考點95拋物線的定義及標準方程37次考14次命題角度：（1）拋物線的定義及應用；（2）拋物線的標準方程與幾何性質；（3）直線與拋物線的位置關系．核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、運算推理、直觀想象考點96拋物線的幾何性質37次考19次考點97直線與拋物線的位置關系37次考22次十年試題分類*探求規(guī)律考點95拋物線的定義及標準方程1．（2016全國II文）設F為拋物線C：y2=4x的焦點，曲線y=（k>0）與C交于點P，PF⊥x軸，則k=（）（A）（B）1（C）（D）2【答案】D【解析】因為拋物線的焦點，所以，又因為曲線與交于點，軸，所以，所以，選D．2．（2012山東文理）已知雙曲線：的離心率為2．若拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵雙曲線：的離心率為2，所以又漸近線方程為所以雙曲線的漸近線方程為而拋物的焦點坐標為所以有．故選D．考點96拋物線的幾何性質3．【2020全國Ⅰ理4】已知為拋物線上一點，點到的焦點的距離為，到軸的距離為，則 （）A． B． C． D．【答案】C【思路導引】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案．【解析】設拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得，故選C．4．（2020·北京）設拋物線的頂點為，焦點為，準線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（）A．經(jīng)過點 B．經(jīng)過點C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】B【解析】如圖所示，因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點．5．【2020天津7】設雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，拋物線的焦點為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因為，解得．故選．6．【2019全國Ⅱ文】若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p=A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解析】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D．7．(2016全國I理)以拋物線的頂點為圓心的圓交于，兩點，交的準線于，兩點．已知=，=，則的焦點到準線的距離為A．2B．4C．6D．8B【解析】由題意，不妨設拋物線方程為，由，，可取，，設為坐標原點，由，得，得，所以選B．8．【2016四川文科】拋物線的焦點坐標是()(A)(0，2)(B)(0，1)(C)(2，0)(D)(1，0)【答案】D【解析】由題意，的焦點坐標為，故選D．9．(2016四川理)設為坐標原點，是以為焦點的拋物線上任意一點，是線段上的點，且=2，則直線的斜率的最大值為A．B．C．D．1C【解析】設（不妨設），則，∵，∴，∴∴，∴，故選C．10．（2015陜西文）已知拋物線()的準線經(jīng)過點，則該拋物線的焦點坐標為A．(－1，0)B．(1，0)C．(0，－1)D．(0，1)【答案】B【解析】因為拋物線的準線方程為，∴，∴焦點坐標為，故選B．11．（2013新課標1文理）為坐標原點，為拋物線的焦點，為上一點，若，則的面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，由拋物線的定義可得點的坐標，∴的面積為．12．（2015陜西理）若拋物線的準線經(jīng)過雙曲線的一個焦點，則=．【答案】【解析】的準線方程為，又，所以必經(jīng)過雙曲線的左焦點，所以，．13．（2014湖南文理）如圖，正方形的邊長分別為，原點為的中點，拋物線經(jīng)過．【答案】【解析】由正方形的定義可知BC=CD，結合拋物線的定義得點D為拋物線的焦點，所以，D，將點F的坐標代入拋物線的方程得，變形得，解得或（舍去），所以．14．（2013北京文理）若拋物線的焦點坐標為，則，準線方程為．【答案】2，【解析】；準線．15．（2012陜西文理）右圖是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬米．【答案】【解析】建立直角坐標系，使拱橋的頂點O的坐標為（0，0），設拋物線的方程為，與拋物線的交點為A、B，根據(jù)題意知A（–2，–2），B（2，–2），則有，∴，∴拋物線的解析式為，水位下降1米，則y=–3，此時有或，∴此時水面寬為米．考點97直線與拋物線的位置關系16．（2020全國Ⅲ文7理5）設為坐標原點，直線與拋物線交于兩點，若，則的焦點坐標為 （）A．B．C．D．【答案】B【解析】解法一：∵直線與拋物線交于兩點，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，∴，代入拋物線方程，求得，∴其焦點坐標為，故選B．解法二：將代入得．由OD⊥OE得，即，得，∴拋物線的焦點坐標為，故選B．17．（2018全國Ⅰ理8）設拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與交于兩點，則 （）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】根據(jù)題意，過點且斜率為的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消元整理得：，解得，又，從而可以求得，故選D．18．（2017新課標Ⅰ理）已知為拋物線：的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于、兩點，直線與交于、兩點，則的最小值為（）A．16B．14C．12D．10【答案】A【解析】由已知垂直于軸是不符合題意，所以的斜率存在設為，的斜率為，由題意有，設，，，此時直線方程為，取方程，得，∴同理得由拋物線定義可知當且僅當（或）時，取得等號．19．（2017全國Ⅱ文）過拋物線的焦點，且斜率為的直線交于點（在的軸上方），為的準線，點在上且，則到直線的距離為A． B．C． D．【答案】C【解析】由題知，與拋物線聯(lián)立得，解得，所以，因為，所以，因為，所以．所以到直線的距離為．故選C．20．（2015浙江理）如圖，設拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，其中點在拋物線上，點在軸上，則與的面積之比是A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖，，故選A．21．（2015四川文理）設直線與拋物線相交于兩點，與圓相切于點，且為線段的中點．若這樣的直線恰有4條，則的取值范圍是A．B．C．D．【答案】D【解析】當直線的斜率不存在時，這樣的直線恰好有2條，即，所以；所以當直線的斜率存在時，這樣的直線有2條即可．設，，，則．又，兩式相減得，．設圓心為，則，因為直線與圓相切，所以，解得，于是，，又，即，所以，又，所以，故選D．22．（2014新課標1文理）已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，是直線與的一個交點，若，則=A．B．C．3D．2【答案】C【解析】過點作交于點，因為，所以，又焦點到準線的距離為4，所以．故選C．23．（2014新課標2文理）設為拋物線C：的焦點，過且傾斜角為30°的直線交于兩點，為坐標原點，則△的面積為A．B．C．D．【答案】D【解析】易知拋物線中，焦點，直線的斜率，故直線的方程為，代入拋物線方程，整理得．設，則，由物線的定義可得弦長，結合圖象可得到直線的距離，所以的面積．24．（2014遼寧文理）已知點在拋物線C：的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為（）A．B．C．D．25．（2013江西文理）已知點，拋物線的焦點為，射線與拋物線相交于點，與其準線相交于點，則=A．2： B．1：2C．1：D．1：3【答案】C【解析】依題意可得AF所在直線方程為代入x2=4y得，又|FM|：|MN|=（1-y）：（1+y）＝1：526．（2011新課標文理）已知直線過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，與C交于，兩點，，為C的準線上一點，則的面積為A．18B．24C．36D．48【答案】C【解析】設拋物線的方程為，易知，即，∵點在準線上，∴到的距離為，所以面積為36，故選C．27．（2020山東）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=________．【答案】【解析】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點F坐標為，又∵直線AB過焦點F且斜率為，∴直線AB的方程為：，代入拋物線方程消去y并化簡得，解法一：解得，所以．解法二：，設，則，過分別作準線的垂線，設垂足分別為如圖所示．．28．【2020山東13】斜率為的直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點，則__________．【答案】【解析】由題拋物線，可知其焦點為，準線為，如圖所示．作，，直線準線交于點，由，∴傾斜角，∴，由拋物線定義知：，，又∵，∴為中點，∵，∴，∵，∴，∴，∴．29．【2019北京文】設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l．則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．【答案】【解析】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2，焦點F（1，0），準線l的方程為x=?1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x?1)2+y2=22，即為．30．【2018全國3理16】已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點．若，則________．【答案】2【解析】設，則，．取中點，分別過點作準線的垂線，垂足分別為．，．為中點，平行于軸．，故答案為2．31．【2018北京文】已知直線l過點（1，0）且垂直于??軸，若l被拋物線截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為_________．【答案】【解析】由題意可得，點在拋物線上，將代入中，解得，，由拋物線方程可得：，焦點坐標為．32．（2017新課標Ⅱ理）已知QUOTEF是拋物線：QUOTEC:y2=8x的焦點，是QUOTEC上一點，的延長線交QUOTEy軸于點．若為的中點，則QUOTE|FΝ|=．【答案】6【解析】如圖所示，不妨設點M位于第一象限，設拋物線的準線與軸交于點，作與點，與點，由拋物線的解析式可得準線方程為，則，在直角梯形中，中位線，由拋物線的定義有：，結合題意，有，故．33．【2019全國Ⅰ理】已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【答案】（1）；（2）．【解析】設直線．（1）由題設得，故，由題設可得．由，可得，則．從而，得．所以的方程為．（2）由可得．由，可得．所以．從而，故．代入的方程得，故．34．【2018全國I文20】（本小題滿分12分）設拋物線，點，過點的直線與交于兩點．（1）當與軸垂直時，求直線的方程；（2）證明：．【解析】【基本解法1】（1）當軸時，直線帶入拋物線方程得：解得點或，或，所以直線得方程為：或．（2）當斜率不存在時，關于軸對稱，．當斜率存在時，可設直線方程為，．設點則：，，，．35．（2018全國II文20理19）（本小題滿分12分）設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點．．（1）求的方程；（2）求過點，且與的準線相切的圓的方程．【解析】（1）由題意得，的方程為．設，由得．，故．．由題設知，解得（舍去），．因此的方程為．（2）由（1）得的中點坐標為，的垂直平分線方程為，即．設所求圓的圓心坐標為，則解得或因此所求圓的方程為或．36．（2017新課標Ⅰ文）設，為曲線：上兩點，與的橫坐標之和為4．(1)求直線的斜率；(2)設為曲線上一點，在處的切線與直線平行，且，求直線的方程．【解析】（1）設，，則，，，x1+x2=4，于是直線的斜率．（2）由，得．設，由題設知，解得，于是．設直線的方程為，故線段的中點為，．將代入得．當，即時，，從而．由題設知，即，解得，所以直線AB的方程為．37．（2017新課標Ⅲ理）已知拋物線：，過點的直線交與，兩點，圓是以線段為直徑的圓．(1)證明：坐標原點在圓上；(2)設圓過點，求直線與圓的方程．【解析】（1）設，，：由可得，則又，，故=4因此的斜率與的斜率之積為，所以．故坐標原點在圓上．（2）由（1）可得，故圓心的坐標為，圓的半徑由于圓過點，因此，故即由（1）可得，．所以，解得或．當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為當時，直線的方程為，圓心的坐標為，圓的半徑為，圓的方程為．38．（2017北京理）已知拋物線：過點．過點作直線與拋物線交于不同的兩點，，過點作軸的垂線分別與直線，交于點，，其中為原點．（Ⅰ）求拋物線的方程，并求其焦點坐標和準線方程；（Ⅱ）求證：為線段的中點．【解析】（Ⅰ）由拋物線C：過點，得．所以拋物線的方程為．拋物線的焦點坐標為，準線方程為．（Ⅱ）當直線的斜率不存在或斜率為0時，顯然與拋物線只有一個交點不滿足題意，所以直線的斜率存在且不為0．設為點，過的直線方程為（），設，，顯然，，均不為0．由，得．考慮，由題意，所以．則，①．②由題意可得，橫坐標相等且同為，因為點P的坐標為，所以直線OP的方程為，點A的坐標為．直線ON的方程為，點B的坐標為．若要證明為的中點，只需證，即證，即證，將代入上式，即證，即證③將①②代入③得，化簡有恒成立，所以恒成立．故A為線段BM的中點．39．（2015浙江文）如圖，已知拋物線：，圓：，過點作不過原點的直線，分別與拋物線和圓相切，為切點．（Ⅰ）求點的坐標；（Ⅱ）求的面積．注：直線與拋物線有且只有一個公共點，且與拋物線的對稱軸不平行，則該直線與拋物線相切，稱該公共點為切點．【解析】（Ⅰ）由題意可知，直線的斜率存在，故可設直線的方程為．所以消去．整理得：．因為直線與拋物線相切，所以，解得．所以，即點．設圓的圓心為，點的坐標為，由題意知，點關于直線對稱，故有，解得．即點．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，直線的方程為，所以點到直線的距離為．所以的面積為．40．（