04、分類討論思想辦法

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在解答某些數(shù)學(xué)咨詢題時，有時會遇到多種事情，需要對各種事情加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這算是分類討論法。分類討論是一種邏輯辦法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，并且也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的辦法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)咨詢題具有明顯的邏輯性、綜合性、探究性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，因此在高考試題中占有重要的位置。

引起分類討論的緣故要緊是以下幾個方面：

①咨詢題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類舉行定義的。如|a|的定義分a>0、a＝0、a2時分a>0、a＝0和aq

D.當a>1時，p>q；當00且a≠1，比較|log

a

(1－x)|與|log

a

(1＋x)|的大小。

【分析】比較對數(shù)大小，運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)，因此對底數(shù)a分兩類事情舉行討論。【解】∵01①當00，loga(1＋x)0;②當a>1時，loga(1－x)0，因此|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－

loga(1＋x)＝－loga(1－x2)>0；

由①、②可知，|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|。

【注】本題要求對對數(shù)函數(shù)y＝logax的單調(diào)性的兩種事情十分熟悉，即當a>1

時其是增函數(shù)，當00，使得lg()lg()

ScScnn-+-+22

＝

lg（Sn+1－c）成立？并證明結(jié)論。(95年全國理)

【分析】要證的別等式和討論的等式能夠舉行等價變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中在應(yīng)用等比數(shù)列前n項和的公式時，由于公式的要求，分q＝1和q≠1兩種事情。例1、例2、屬于涉及到數(shù)學(xué)概念、定理、公式、運算性質(zhì)、法則等是分類討論的咨詢題或者分類給出的，我們解決時按要求舉行分類，即題型為概念、性質(zhì)型。例3.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，關(guān)于滿腳10，求實數(shù)a的取值范圍。

【分析】含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域咨詢題，

需要先對開口方向討論，再對其拋物線對稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系舉行分類討論，

最終綜合得解。

【注】本題分兩級討論，先對決定開口方向的二次項系數(shù)a分a>0、a0時將對稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分

三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函

數(shù)的圖像，也能夠看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運用。

例4.解別等式()()xaxaa+-+4621>0(a為常數(shù)，a≠－1

2

)

【分析】含參數(shù)的別等式，參數(shù)a決定了2a＋1的符號和兩根－4a、6a的大小，

故對參數(shù)a分四種事情a>0、a＝0、－12

x

A.{-4,4}

B.{0,4}

C.{-4,0}

D.{-4,0,4}

3.f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常數(shù)，下列結(jié)論正確的是_____。

A.當x＝2a時有最小值0

B.當x＝3a時有最大值0

C.無最大值，且無最小值

D.有最小值但無最大值

4.設(shè)f

1(x,y)＝0是橢圓方程，f

2

(x,y)＝0是直線方程，則方程f

1

(x,y)＋λ

f

2

(x,y)＝0（λ∈R）表示的曲線是_____。

A.只能是橢圓

B.橢圓或直線

C.橢圓或一點

D.還有上述外的其它事情

5.函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在閉區(qū)間[2,3]上有最大值5，最小值2，則a、b的值為_____。

A.a＝1,b＝0

B.a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3

C.a＝－1，b＝3

D.以上答案均別正確

6.方程(x2－x－1)x+2＝1的整數(shù)解的個數(shù)是_____。

A.1

B.3

C.4

D.5

7.解對于x的別等式：2log

a2(2x－1)>log

a

(x2－a)(a>0且a≠1)

8.設(shè)首項為1，公比為q(q>0)的等比數(shù)列的前n項和為S

n，又設(shè)T

n

＝S

S

n

n+1

，求

limn→∞T

n

。

9.函數(shù)f(x)＝(|m|－1)x2－2(m＋1)x－1的圖像與x軸惟獨一具公共點，求參數(shù)m的值及交點坐標。

【簡解】1小題：對參數(shù)a分a>0、a＝0、a1、00、x0，q>0

①．當q＝1時，S

n

＝na

1

，從而S

n

S

n+2

－S

n+1

2＝na

1

(n＋2)a

1

－(n＋1)2a

1

2＝

－a

1

20,使得lg()lg()

ScSc

nn

-+-

+2

2

＝lg（S

n+1

－c）成立。

【注】本例由所用公式的適用范圍而導(dǎo)致分類討論。該題文科考生改咨詢題為：

證明loglog

..

05052

2

SS

nn

+

+>log

05.

S

n+1

，和理科第一咨詢類似，不過所利用的是底數(shù)是

0.5時，對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減。

【解】當a>0時，f(x)＝a（x－1

a

）2＋2－

1

a

∴

1

1

1220

a

fa

≤

＝≥

()-+

?

?

?

??

或

1

1

4

1

2

1

?

?

??

?

?

?

a

f

aa

()＝

或

1

4

416820a

fa

≥

＝≥()-+

?

?

?

??

∴a≥1或1

2

1

2

；

當a1

2

。

【解】2a＋1>0時，a>－

1

2

；－4a0。因此分以下四種事情

討論：

當a>0時，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x6a；

當a＝0時，x2>0，解得：x≠0；

當－

1

2

0，解得:x－4a；

當a>－

1

2

時，(x＋4a)(x－6a)0時，x6a；當a＝0時，x≠0；當－

1

2

－4a；當a>－

1

2

時，6a<x<－4a。

【解】設(shè)M(x,y)為曲線y2＝2x上任意一點，則

|MA|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x＝x2－2(a－1)x＋a2＝[x－(a－1)]2＋(2a

－1)

由于y2＝2x限定x≥0，因此分以下事情討論：

當a－1≥0時，x＝a－1取最小值，即|MA}2

min

＝2a－1；