西安交大概率論2016-2017期末試題解答

.../概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題2016—2017第一學(xué)期〔期末試題解答完成下列各題〔每小題4分,共24分設(shè)隨機(jī)事件A,B,C相互獨(dú)立,,,分別求出及的值。解：∵相互獨(dú)立所以也相互獨(dú)立相關(guān)知識：①〔書P11②事件的相互獨(dú)立性：四對事件中有一對是相互獨(dú)立的,則另外三對也相互 獨(dú)立,此結(jié)論可推廣至n個(gè)事件的情形?！矔鳳20③事件的差：④DeMorgan律：房間內(nèi)有5個(gè)人,每個(gè)人在一年中〔按12個(gè)月計(jì)算每個(gè)月出生的概率相等,求5個(gè)人中至少有兩個(gè)人生于同一個(gè)月的概率。解：設(shè)則則5人中至少兩人生于同月概率相關(guān)知識：①正難則反：發(fā)現(xiàn)某件事情的概率很難求時(shí),可以考慮其對立事件的概率,再應(yīng)用來求解。②乘法原理：做一件事需經(jīng)過個(gè)不同的步驟,而第步有種方法,則完成它有種不同的方法。設(shè)隨機(jī)變量,且解：兩邊同除,得解得或〔舍去因此綜上相關(guān)知識：泊松分布：P37設(shè)隨機(jī)變量有,則稱服從參數(shù)為的泊松分布,記為。其中。將一顆均勻骰子獨(dú)立上拋兩次,觀察出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)。若兩次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)和為8或10即可獲獎(jiǎng)。求獲獎(jiǎng)概率。解：設(shè)第一次上拋出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為,第二次上拋出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為。123456123456723456783456789456789105678910116789101112由上表可見,則獲獎(jiǎng)概率設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立且同分布,的概率密度為,,若,求的值。解：,則。因?yàn)?同分布所以所以相關(guān)知識：二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布〔書本P62~P67①②③設(shè)總體服從二項(xiàng)分布是來自的簡單隨機(jī)樣本。試求①參數(shù)的矩估計(jì)量②的無偏估計(jì)量。解：①由矩估計(jì)法可得,所以有②的無偏估計(jì)量是承上題,的無偏估計(jì)量是所以相關(guān)知識：①若,則。②求:③無偏估計(jì)量的定義：若,則稱是的一個(gè)無偏估計(jì)量。〔書本P153矩估計(jì)法：〔書本P145已知某批產(chǎn)品中90%是合格品,檢查時(shí),一個(gè)合格品被誤認(rèn)為次品的概率是0.05,次品誤認(rèn)為是合格品的概率是0.02,試求：①一個(gè)產(chǎn)品經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的概率。②一個(gè)經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率。解：①設(shè)則構(gòu)成一個(gè)互斥完備事件組。則所以某產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品的概率。②承上題,即求則所以經(jīng)檢查后認(rèn)為是合格品的確實(shí)是合格品的概率為相關(guān)知識：全概率公式與貝葉斯公式〔書本P17①全概率公式：若事件構(gòu)成互斥完備事件組,則 。用法：可以將復(fù)雜事件概率分解為若干互斥的簡單事件的分概率。②貝葉斯公式：。用法：可以由事情的結(jié)果去推測原因。隨機(jī)變量的概率密度,令,試求①的分布函數(shù)②的概率密度③解：①所以②所以③所以相關(guān)知識：連續(xù)型隨機(jī)變量及其性質(zhì)?！矔綪37設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,都服從參數(shù)為的〔0,1分布,若,且令,。①求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律。②分別求出關(guān)于的邊緣分布律。③是否相互獨(dú)立？證明你的結(jié)論。解：①由題意得,；。則容易得到1-1101/4-11/21/41-11/43/4②由上題,容易求到1-11/21/2③不相互獨(dú)立：證明：因此,由事件獨(dú)立性定義,不相互獨(dú)立。相關(guān)知識：①二項(xiàng)分布?！矔綪34②事件獨(dú)立性定義?！矔綪20二維隨機(jī)變量概率密度為。①求邊緣密度函數(shù)。②求條件概率密度。③令,求的概率密度函數(shù)。解：①②條件概率密度③當(dāng)時(shí),顯然有當(dāng)時(shí),所以相關(guān)知識：①二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布?！矔綪62②邊緣概率密度?！矔綪49③條件概率密度?！矔綪53設(shè)總體的概率密度函數(shù),其中為未知參數(shù),為總體的簡單樣本。①求的最大似然估計(jì)量②是否為的相合〔一致估計(jì)量？證明你的結(jié)論。解：①似然函數(shù)對數(shù)似然函數(shù)當(dāng)時(shí),,所以極大似然估計(jì)量：②是的相合〔一致估計(jì)量。證明：有因此由Chebyshev不等式〔書本P105知,對,有所以由夾逼準(zhǔn)則知,對,故是的相合〔一致估計(jì)量。相關(guān)知識：①極大似然估計(jì)法〔書P147：似然函數(shù),固定,當(dāng)取最大值時(shí),對應(yīng)成為極大似然估計(jì)量?！矠榱擞?jì)算簡便,通常改求對數(shù)似然函數(shù)的極值點(diǎn)?！埠屯ǔＳ邢嗤臉O值點(diǎn)②對,如果有,則稱是的相合〔一致估計(jì)量。③切比雪夫不等式：。設(shè)總體相互獨(dú)立,,均未知,今分別從兩總體中抽取樣本,得到觀測值如下：24.3 20.8 23.7 21.3 17.418.2 16.9 20.2 16.7①利用總體的樣本觀測值,求的置信度為的置信區(qū)間。②檢驗(yàn)假設(shè)：〔已知上側(cè)分位數(shù)點(diǎn)：解：①由題意得,有在本題中,解得所以求的置信度為的置信區(qū)間為。②由題意得在本題中,假設(shè)為真,則,拒絕域?yàn)?事實(shí)上,不在拒絕域內(nèi),接受。相關(guān)知識：①假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟。〔書本P179②抽樣分布,正態(tài)總體的抽樣分布?！矔綪129設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本,為樣本均值,令,其中,且滿足。①證明是的無偏估計(jì)量,且在的所有形如的無偏估計(jì)量中的方差最小。②求數(shù)學(xué)