2023年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)《拓展探究問題》強(qiáng)化練習(xí)(含答案)

2023年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)《拓展探究問題》強(qiáng)化練習(xí)1.探究:如圖，用釘子把木棒AB、BC和CD分別在端點(diǎn)B、C處連接起來，用橡皮筋把AD連接起來，設(shè)橡皮筋A(yù)D的長是x，(1)若AB=5，CD=3，BC=11，試求x的最大值和最小值；(2)在(1)的條件下要圍成一個(gè)四邊形，你能求出x的取值范圍嗎?2.問題探究：觀察下面由“※”組成的圖案和算式，解答問題：…問題解決：(1)試猜想1+3+5+7+9…+29的結(jié)果為.(2)若n表示正整數(shù)，請(qǐng)用含n的代數(shù)式表示1+3+5+7+9+…+(2n﹣1)+(2n+1)的結(jié)果.問題拓展：(3)請(qǐng)用上述規(guī)律計(jì)算：1017+1019+…+2023+2025.3.探究題：定義：對(duì)于實(shí)數(shù)a，符號(hào)[a]表示不大于a的最大整數(shù).例如：[5.7]=5，[﹣π]=﹣4.（1）如果[a]=﹣2，那么a可以是A.﹣15

B.﹣2.5

C.﹣3.5

D.﹣4.5（2）如果[]=3，則整數(shù)x=.（3）如果[﹣1.6﹣[]]=﹣3，滿足這個(gè)方程的整數(shù)x共有個(gè).4.如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．(1)探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(2)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE會(huì)是菱形嗎？若是，請(qǐng)證明；若不是，則說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，且△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？5.(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試探究AB，AD，DC之間的等量關(guān)系，證明你的結(jié)論；(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F，E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，證明你的結(jié)論.6.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連結(jié)BE.填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為；(2)拓展探究：如圖②，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連結(jié)BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.7.【探究】如圖①，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P.（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，則∠A=度，∠P=度（2）∠A與∠P的數(shù)量關(guān)系為，并說明理由.【應(yīng)用】如圖②，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P.∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)Q.直接寫出∠A與∠Q的數(shù)量關(guān)系為.8.閱讀材料：若m2－2mn＋2n2－4n＋4=0，求m，n的值．解：∵m2－2mn＋2n2－4n＋4=0，∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－4n＋4)=0，∴(m－n)2＋(n－2)2=0，∵(m－n)2≥0，(n－2)2≥0，∴(m－n)2=0，(n－2)2=0，∴n=2，m=2.根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)a2＋b2－6a－2b＋10=0，則a=________，b=________；(2)已知x2＋2y2－2xy＋8y＋16=0，求xy的值；(3)已知△ABC的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足2a2＋b2－4a－8b＋18=0，求△ABC的周長．9.(1)如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，AD上，AE⊥BF于點(diǎn)G，求證：AE＝BF；(2)如圖2，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，AD上，AE⊥BF于點(diǎn)M，探究AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)在(2)的基礎(chǔ)上，若AB＝m，BC＝n，其他條件不變，請(qǐng)直接寫出AE與BF的數(shù)量關(guān)系；.10.如圖，下列幾何體是由若干棱長為1的小立方體按一定規(guī)律在地面上擺成的，若將露出的表面都涂上顏色(底面不涂色)，觀察該圖，探究其中的規(guī)律.(1)第1個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體共有.第3個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體共有.設(shè)第n個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體的塊數(shù)為M，請(qǐng)用含字母n的代數(shù)式表示M；(3)求出前100個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體的塊數(shù)的和.11.把兩個(gè)直角邊長均為6的等腰直角三角板ABC和EFG疊放在一起（如圖①），使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合.現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°)，四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖②）.(1)探究：在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK的數(shù)量關(guān)系以及四邊形CHGK的面積的變化情況（直接寫出探究的結(jié)果，不必寫探究及推理過程）；

(2)利用（1）中你得到的結(jié)論，解決下面問題：連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的eq\f(5,12)？若存在，求出此時(shí)BH的長度；若不存在，說明理由.12.探究：已知如圖1，在△ABC中，∠A=α(0°＜α＜90°)，AB=c，AC=b，試用含b，c，α的式子表示△ABC的面積；圖1圖2應(yīng)用：如圖2，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交成的銳角為α，若AC=a，BD=b，試用含b，c，α的式子表示平行四邊形ABCD的面積.13.聯(lián)想三角形內(nèi)心的概念，我們可引入如下概念.定義：到三角形的兩邊距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)內(nèi)心.舉例：如圖①，若PD=PE，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)內(nèi)心.應(yīng)用：如圖②，BF為等邊三角形ABC的角平分線，準(zhǔn)內(nèi)心P(即PD=PE)在BF上，且PF=eq\f(1,2)BP.求證：點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.探究：已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，準(zhǔn)內(nèi)心P(即PD=PC)在AC上，若PC=eq\f(1,2)AP，求∠A的度數(shù).14.[探究函數(shù)y=x＋eq\f(4,x)的圖象與性質(zhì)](1)函數(shù)y=x＋eq\f(4,x)的自變量x的取值范圍是________；(2)下列四個(gè)函數(shù)圖象中，函數(shù)y=x＋eq\f(4,x)的圖象大致是________；(3)對(duì)于函數(shù)y=x＋eq\f(4,x)，求當(dāng)x＞0時(shí)，y的取值范圍.請(qǐng)將下列求解過程補(bǔ)充完整.解：∵x＞0，∴y=x＋eq\f(4,x)=(eq\r(x))2＋(eq\f(2,\r(x)))2=(eq\r(x)﹣eq\f(2,\r(x)))2＋________.∵(eq\r(x)﹣eq\f(2,\r(x)))2≥0，∴y≥________.[拓展運(yùn)用](4)已知函數(shù)y=eq\f(x2－5x＋9,x)，則y的取值范圍是多少？15.如果二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為1，那么此二次函數(shù)可表示為y=x2+px+q，我們稱［p，q］為此函數(shù)的特征數(shù)，如函數(shù)y=x2+2x+3的特征數(shù)是［2，3］.(1)若一個(gè)二次函數(shù)的特征數(shù)為［－2，1］，求此函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).(2)探究下列問題：①若一個(gè)二次函數(shù)的特征數(shù)為［4，－1］，將此函數(shù)的圖象先向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，求得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的特征數(shù).②若一個(gè)二次函數(shù)的特征數(shù)為［2，3］，則此函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移，才能使得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的特征數(shù)為［3，4］？

參考答案1.解：（1）最大是5+3+11=19；最小是11-3-5=3；（2）由（1）得橡皮筋長x的取值范圍為：3<x<19．2.解：(1)1+3+5+7+9…+29=()2=152=225；(2)1+3+5+7+9+…+(2n﹣1)+(2n+1)=()2=(n+1)2；(3)1017+1019+…+2023+2025=(1+3+5+…+2023+2025)﹣(1+3+5+…+1023+1025)=10182﹣50823.解：（1）根據(jù)題意知，[a]=﹣2表示不超過a的最大整數(shù)，∴a可以是﹣15，故選：A；（2）根據(jù)題意得3≤＜4，解得：5≤x＜7，則整數(shù)x=5或6；（3）令[]=y，則原方程可變形為[﹣1.6﹣y]=﹣3，∴﹣3≤﹣1.6﹣y＜﹣2，解得：2.4＜y≤8.4，則y可取的整數(shù)有3、4、5、6、7、8，若y=3，則3≤＜4，解得：5≤x＜7，其整數(shù)解有5、6；若y=4，則4≤＜5，解得：7≤x＜9，其整數(shù)解有7、8；若y=5，則5≤＜6，解得：9≤x＜11，其整數(shù)解有9、10；若y=6，則6≤＜7，解得：11≤x＜13，其整數(shù)解有11、12；若y=7，則7≤＜8，解得：13≤x＜15，其整數(shù)解有13、14；若y=8，則8≤＜9，解得：15≤x＜17，其整數(shù)解有15、16；∴滿足這個(gè)方程的整數(shù)x共有12個(gè)，故答案為：12.4.解：(1)OE＝OF．證明如下：∵CE是∠ACB的平分線，∴∠1＝∠2．∵M(jìn)N∥BC，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∴OE＝OC．同理可證OC＝OF．∴OE＝OF．(2)四邊形BCFE不可能是菱形，若四邊形BCFE為菱形，則BF⊥EC，而由(1)可知FC⊥EC，在平面內(nèi)過同一點(diǎn)F不可能有兩條直線同垂直于一條直線．(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，且△ABC是直角三角形(∠ACB＝90°)時(shí)，四邊形AECF是正方形．理由如下：∵O為AC中點(diǎn)，∴OA＝OC，∵由(1)知OE＝OF，∴四邊形AECF為平行四邊形；∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∠1＋∠2＋∠4＋∠5＝180°，∴∠2＋∠5＝90°，即∠ECF＝90°，∴?AECF為矩形，又∵AC⊥EF．∴?AECF是正方形．∴當(dāng)點(diǎn)O為AC中點(diǎn)且△ABC是以∠ACB為直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．5.解：(1)證明：延長AE交DC的延長線于點(diǎn)F，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠F，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB＝FC，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAE＝∠EAD，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠F，∴∠EAD＝∠F，∴AD＝DF，∴AD＝DF＝DC＋CF＝DC＋AB，(2)如圖②，延長AE交DF的延長線于點(diǎn)G，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB＝GC，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∴AB＝CG＝AF＋CF，6.解：(1)∵∠ACB＝∠DCE，∠DCB＝∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠ACD＝∠BCE，,CD＝CE，))∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠CEB＝∠ADC＝180°－∠CDE＝120°，∴∠AEB＝∠CEB－∠CED＝60°；(2)∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM，理由如下：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∵∠ACD＋∠DCB＝90°＝∠DCB＋∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝135°.∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME.∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM，∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.7.解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，∴∠A=50°，∵∠ABC的平分線與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P，∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB，∴∠BCP+∠CBP=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，∴∠P=180°﹣65°=115°，故答案為：50，115；（2）.證明：∵BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，∴，，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°，∴，∴，∴；（3）.理由：∵∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)Q，∴∠CBQ=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠BCQ=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴△BCQ中，∠Q=180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）=180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠Q=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A.8.解：(1)∵a2＋b2－6a－2b＋10=0，∴(a2－6a＋9)＋(b2－2b＋1)=0，∴(a－3)2＋(b－1)2=0，∵(a－3)2≥0，(b－1)2≥0，∴a－3=0，b－1=0，∴a=3，b=1.故答案為：31.(2)∵x2＋2y2－2xy＋8y＋16=0，∴(x2－2xy＋y2)＋(y2＋8y＋16)=0，∴(x－y)2＋(y＋4)2=0，∵(x－y)2≥0，(y＋4)2≥0，∴x－y=0，y＋4=0，∴y=－4，x=－4，∴xy=16.(3)∵2a2＋b2－4a－8b＋18=0，∴(2a2－4a＋2)＋(b2－8b＋16)=0，∴2(a－1)2＋(b－4)2=0，∵(a－1)2≥0，(b－4)2≥0，∴a－1=0，b－4=0，∴a=1，b=4，∵a＋b>c，b－a<c，∴3＜c＜5，又∵a，b，c為正整數(shù)，∴c=4，∴△ABC周長為1＋4＋4=9.9.解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C，AB＝BC.∵AE⊥BF，∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°，∵∠ABM＋∠CBF＝90°，∴∠BAM＝∠CBF.在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF；(2)解：如圖2中，結(jié)論：AE＝eq\f(2,3)BF，理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°，∵∠ABM＋∠CBF＝90°，∴∠BAM＝∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴＝＝，∴AE＝eq\f(2,3)BF.(3)結(jié)論：AE＝BF.理由：：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90°，∵∠ABM＋∠CBF＝90°，∴∠BAM＝∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴＝＝，∴AE＝BF.10.解：(1)觀察圖形可得第1個(gè)幾何體中最底層的4個(gè)角的小立方體只有2個(gè)面涂色；第3個(gè)幾何體中只有2個(gè)面涂色的小立方體共有5×4=20個(gè).(2)圖②中，兩面涂色的小立方體共有12個(gè)；圖③中，兩面涂色的小立方體共有20個(gè).4，12，20都是4的倍數(shù)，可分別寫成4×1，4×3，4×5的形式，因此，第n個(gè)圖中兩面涂色的小立方體共有4(2n-1)=8n-4，M=8n-4.(3)40000.11.解：(1)BH與CK的數(shù)量關(guān)系：BH=CK四邊形CHGK的面積的變化情況：四邊形CHGK的面積不變，始終等于9.(2)假設(shè)存在使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的eq\f(5,12)的位置，設(shè)BH=x，由題意及（1）中結(jié)論可得，CK=BH=x，CH=CB-BH=6-x，∴，∴∵△GKH的面積恰好等于△ABC面積的,∴，解得，（經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意）∴存在使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的的位置，此時(shí)x的值為.12.解：探究：過點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D.∵AB=c，∠A=α，∴BD=csinα.∴S△ABC=eq\f(1,2)AC·BD=eq\f(1,2)bcsinα.應(yīng)用：過點(diǎn)C作CE⊥DO于點(diǎn)E.∴sinα=eq\f(EC,CO).∵在ABCD中，AC=a，BD=b，∴CO=eq\f(1,2)a，DO=eq\f(1,2)b.∴S△COD=eq\f(1,2)CO·DO·sinα=eq\f(1,8)absinα.∴S△BCD=eq\f(1,2)CE·BD=eq\f(1,2)×eq\f(1,2)asinα·b=eq\f(1,4)absinα.∴SABCD=2S△BCD=eq\f(1,2)absinα.13.解：應(yīng)用：證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°.∵BF為△ABC的角平分線，∴∠PBE=30°，∴PE=eq\f(1,2)BP.∵BF是等邊三角形ABC的角平分線，∴BF⊥AC.∵PF=eq\f(1,2)BP，∴PE=PD=PF，∴點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.探究：根據(jù)題意，得PD=PC=eq\f(