十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質模擬題匯編新高考卷與全國專題07數列選擇填空題（解析版）

大數據之十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質模擬題（新高考卷與新課

標理科卷）

專題07數列選擇填空題

?真題匯總

1.【2022年全國乙卷理科04】嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞

太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列｛b｝:名=1+嵩,勿=1+

去，％=1+不工，…，依此類推，其中以6*（卜=1,2,…）.則（）

“2?2公

A.b］<B.b3Vb8c.86<CD.<b7

【答案】D

【解析】

解：因為凝€N*（k=12…）,

11.1

所以的<的+丁，—得到％>b2，

az1

。2

同理由+?>%+壬,可得b2Vb3,瓦>?

a3

11

又因為>，al--~T<%d--

。2+—。2不?2+

故匕2<bpb3>b4；

以此類推，可得d>b3>bs>b7>...?b7>bQ,故A錯誤;

b1>b7>bQt故B錯誤；

±>_1-'

?2a2-\――，得b2Vb6,故C錯誤;

“3+??詬

仇］H--------—>仇］+

a2^■―。2+…一T，得人4<b],故D正確.

。3+礪

故選：D.

2.【2022年全國乙卷理科08】已知等比數列｛冊｝的前3項和為168,a2-a5=42f則即=（

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】

解：設等比數列｛斯｝的公比為q,q40,

若q=l,則散-的=。，與題意矛盾,

所以qH1,

=96

@1+。2+。3==168解得［plq

則"T二：）_i

,a2~a5—alcl_/q4=42一2

所以q6=a1q5=3.

故選：D.

3.【2022年新高考2卷03】中國的古建筑不僅是擋風遮雨的住處，更是美學和哲學的體現(xiàn).如圖是某古建

筑物的剖面圖，D￡>i，CCi，BBi，A4i是舉，OOi，DCi，CBi，B&是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為黑=

0.5,察=的,等=心，翟=自，若如,k2,心是公差為0.1的等差數歹！I,且直線04的斜率為0.725,則心=（）

【答案】D

【解析】

設0。1=DC]=CB]=BA1-1,貝iJCCi=BB]=k2,AAi=k3,

依題意，有后一。2="色一?！?的，且粽鬻鬻=0725，

所以唯誓竺=0.725,故心=0.9,

故選：D

4.【2021年全國甲卷理科7】等比數列｛廝｝的公比為g,前”項和為Sn,設甲：q>0,乙：｛Sn｝是遞增數

列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

由題，當數列為-2,-4,一8,…時，滿足q>0,

但是｛$“｝不是遞增數列，所以甲不是乙的充分條件.

若｛S9｝是遞增數列，則必有斯〉0成立，若q>0不成立，則會出現(xiàn)-正?負的情況，是矛盾的，則q>0

成立，所以甲是乙的必要條件.

故選：B.

5.【2020年全國2卷理科04】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊

圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一

環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數相同，且下層比中層多729塊，

則三層共有扇面形石板(不含天心石)()

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

【答案】C

【解析】

設第H環(huán)天石心塊數為與，第一層共有〃環(huán)，

則｛即｝是以9為首項，9為公差的等差數列，an=9+(n-l)x9=9n,

設Sn為｛a“｝的前”項和，則第一層、第二層、第三層的塊數分

別為Sn，S2n-Sn,S3n一$2?，因為下層比中層多729塊,

所以53“一^2n=S2n-S”+729,

刖3n(9+27〃)2n(9+18n)2n(9+18n)n(9+9n),

KJ—;-------;--------------------=--------------------------------r

2222

即9/=729,解得n=9,

_27(9+9x27)

所以S3n=S273402.

2

故選：c

155

6.(2020年全國2卷理科06］數列｛a”｝中，%=2,am+n=aman,若幺+i+ak+2+…+ak+10=2-2,

則Zc=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

在等式?！?+.=%?21中，令m=1，可得(in+1==2a”，.,?巴坦=2,

an

所以，數列｛%J是以2為首項，以2為公比的等比數列，則a”=2x2"T=2%

510

????k+i+ak+2+-+ak+I0==之".”=2k+1(2io,=2(2-1),

2k+1=25,則k+1=5,解得k=4.

故選：C.

7.【2020年全國2卷理科1210-l周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列。逆?…％…滿足q6｛O,l｝(i=

1,2,-).且存在正整數m,使得6+m=at(i=1,2,…)成立，則稱其為0-1周期序列,并稱滿足%+m=a4(i=

1,2,…)的最小正整數相為這個序列的周期.對于周期為m的0-1序列由。2…即…，C(k)=52憶1%%+卜(左=

1,2,…,m—l)是描述其性質的重要指標，下列周期為5的0-1序列中，滿足(:(與式/(k=1,2,3,4)的序列

是()

A.11010?-B.11011C.10001-D.11001-

【答案】C

【解析】

由cti+m=%知,序列%的周期為m,由已知，m=5,

C(k)=ajiii+k,k—1,1,3,4,

對于選項A,

C(l)=aiai+i=3(aia2+。2a3+a3a4+Q4a5+asa6)=g(l+0+0+0+0)=gwg,

C(2)=atai+2=^(aia3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7)=g(0+l+0+l+0)=g,不滿足:

對于選項B,

C(l)=aiai+i—1(aia2+a2a3+a3a4+a4a5+asa6)=g(1+0+0+1+1)=之，不滿足:

對于選項D,

c(l)=|xf=1?*?/+1=|(。1。2+a2a3+a3a4+a4a5+05a6)=|(1+0+0+0+1)=|,不滿足;

故選：C

8.【2019年新課標3理科05]已知各項均為正數的等比數列｛a,,｝的前4項和為15,且“5=3內+401,則小

=()

A.16B.8C.4D.2

【答案】解：設等比數列｛斯｝的公比為g(g>0),

則由前4項和為15,且〃5=3a3+4“?,有

++Q]/+QD=15(ar=1

42

a1q=3a1(?+4a1一%=2'

2

/.a3=2=4,

故選：C.

9.【2019年新課標1理科09】記S〃為等差數列｛a〃｝的前〃項和.已知S4=0,。5=5,貝(J()

===2

A.afl2n-5B.an3n-10C.Sn2n-SnD.S〃=-2〃

【答案】解：設等差數列｛外｝的公差為力

由S4=0,。5=5,得

+6d=0.(ax=-3

&+4d=5'?(=2'

2

/.an=2n-5,Sn=n-4n,

故選：A.

10.【2018年新課標1理科04】記&為等差數列｛??｝的前〃項和.若3s3=S2+S4,m=2,則05=()

A.-12B.-10C.10D.12

【答案】解：???S〃為等差數列｛〃〃｝的前〃項和，3s3=S+S4,m=2,

4vQ

3X(3。1d—2-d)=qi+4]+d+4〃iH—工一d,

把m=2,代入得d=-3

???a5=2+4X(-3)=-10.

故選：B.

11.【2017年新課標1理科04】記為等差數列｛〃〃｝的前〃項和.若。4+〃5=24,S6=48,則｛〃〃｝的公差為

()

A.1B.2C.4D.8

【答案】解：???S〃為等差數列｛斯｝的前，項和，〃4+〃5=24,56=48,

(ar+3d+%+4d=24

?,6x5,，

(6QIH—2-d=4A8O

解得〃i=-2,d=4,

???｛a〃｝的公差為4.

故選：C.

12.【2017年新課標1理科12】幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習

數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案:

已知數列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一項是2°,接下來的兩項是2°,

21,再接下來的三項是2°,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數N：N>100且該數列的前N項

和為2的整數幕.那么該款軟件的激活碼是()

A.440B.330C.220D.110

n(n+l)

【答案】解：設該數列為｛斯｝,設加=a(nT)\]+…+-)=2"+1-1,(〃€N+),則￡3仇=￡二—如

由題意可設數列｛的｝的前N項和為SN,數列｛加｝的前"項和為T",則T〃=2-1+2?-1+…+2e-1=2/1

-2,

可知當N為人/時(〃6N+),數列｛斯｝的前N項和為數列｛加｝的前〃項和，即為2"+一〃-2,

容易得到N>100時，〃》14,

29x30

A項，由一—=435,440=435+5,可知$440=729+%=23°-29-2+25-1=230,故A項符合題意.

8項，仿上可知交|至=325,可知S330=725+A=226-25-2+25-1=226+4,顯然不為2的整數塞，故8

項不符合題意.

20x21

C項，仿上可知一^—=210.可知$220=乃0+加0=221-20-2+21°-1=22。21°-23,顯然不為2的整數累，

故。項不符合題意.

14x15

。項，仿上可知一--=105,可知$10=714+65=2^-14-2+25-1=2匕+15,顯然不為2的整數幕，故￡)

項不符合題意.

故選4

2°,212°,2]，222。，2"22,…，2兀-1

方法.由題意可知:

第二項第三項

第-<第n項

根據等比數列前n項和公式，求得每項和分別為:21-1,22-1,23-1,…，2n-1

每項含有的項數為：1,2,3,…，n,

總共的項數為N=1+2+3+…+〃=&野,

所有項數的和為S：2-1+22-[+23-i+…+2"_i=(2)+22+23+-+2n)-n=~|，，)-n=2"+'-2-n,

1—z

由題意可知：為2的整數幕.只需將-2-〃消去即可，

則①1+2+(-2-〃)=0,解得：n=\,總共有0+；)xl+2=3,不滿足N>1()(),

01+2+4+(-2-n)=0,解得：〃=5,總共有"方9+3=18,不滿足N>100,

(1+13)x13

③I+2+4+8+(-2-")=0,解得：”=13,總共有1——￡——+4=95,不滿足M>l00,

(1+29)x29

@1+2+4+8+16+(-2-n)=0,解得："=29,總共有1————+5=440,滿足N>100,

該款軟件的激活碼440.

故選:A.

13.【2017年新課標2理科03】我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠看巍巍塔七層，紅光點

點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的

下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

【答案】解：設塔頂的G盞燈，

由題意｛即｝是公比為2的等比數列，

:S=°葉?。?381,

解得m=3.

故選:B.

14.【2017年新課標3理科09］等差數列｛斯｝的首項為1,公差不為0.若。2,。3,〃6成等比數列，則｛斯｝

前6項的和為（）

A.-24B.-3C.3D.8

【答案】解：???等差數列｛斯｝的首項為1,公差不為0.〃2,。3,四成等比數列,

??Q32=a?.9

:.(ai+2d)2=(ai+d)(ai+5d),且m=l,dWO,

解得d=-2,

二?｛〃〃｝前6項的和為§6=6%4—2-d=6x14——X(—2)="24.

故選：A.

15.【2016年新課標1理科03】已知等差數列｛〃“｝前9項的和為27,mo=8,則aioo=()

A.100B.99C.98D.97

【答案】解：?.?等差數列｛?！埃?項的和為27,59=幽抖=史等=9.5.

9t/5~27f。5=3,

又410=8,

?"=1,

/.aioo=〃5+951=98,

故選：C.

16.【2016年新課標3理科12】定義“規(guī)范01數列”｛〃〃｝如下：｛如｝共有2加項，其中加項為0,加項為1,

且對任意％W2〃?,ai,a2,…皿中0的個數不少于1的個數，若加=4,則不同的“規(guī)范01數列”共有()

A.18個B.16個C.14個D.12個

【答案】解:由題意可知，“規(guī)范01數列”有偶數項2加項,且所含0與1的個數相等，首項為0,末項為

1,若加=4,說明數列有8項，滿足條件的數列有:

0,0,0,0,1,1,1,1；0,0,0,1,0,1,1,1；0,0,0,1,1,0,1,1；0,0,0,1,

1,1,0,1；0,0,1,0,0,1,1,1；

0,0,1,0,1,0,1,1；0,0,1,0,1,1,0,1；0,0,1,1,0,1,0,1；0,0,1,1,

0,0,1,1；0,1,0,0,0,1,1,1；

0,1,0,0,1>0,1,1；0,1,0,0,1,1,0,1；0,1,0?1,0,0,1,1；0,1,0,1,

0,1,0,1.共14個.

故選：C.

17.【2015年新課標2理科04】已知等比數列｛〃〃｝滿足m=3,。1+〃3+。5=21,則。3+。5+〃7=()

A.21B.42C.63D.84

【答案】解：11+。3+。5=21,

?，?Qi(l+『+q4)=21,

???/+『+i=7,

?"+12-6=0,

[2=2,

???〃3+a5+m=Qi(q2+q4+q6)=3x(2+4+8)=42.

故選：B.

18.【2013年新課標1理科07】設等差數列｛?！ǎ那啊椇蜑镾〃，若S*i=-2,際=0,品+戶3,則加=

（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】解：am=S,n-Sm.\=2,am+i=Sm+i-Sm=3,

所以公差4=加+1-。加=1,

皿出+即）

_2_U，

m-1>0,m>\,因此"？不能為0,

得a1=-2,

所以am=-2+（加-1）?1=2,解得m=5,

另解：等差數列｛“”｝的前〃項和為S",即有數列I,｝成等差數列，

則嗎昆，里_成等差數列，

m-1mm+1

—r4H-SmS_1Sm+i

可得2*—=-7n-+—―,

mm—im+1

—2a

即有0=E+時,

解得m=5.

1

又一解：由等差數列的求和公式可得5（/w-1）（。1+斯>1）=-2,

11

=0,萬（〃?+1）（。1+斯什1）=3,

/6—4

可得ci\—~cinu-2。加+。小+]+〃〃?+]=6+]+=0,

解得m—5.

故選：C.

19.【2013年新課標1理科12]設△4/Cn的三邊長分別為的,bn，Cn，△48,3的面積為S”n=l,2,

3…若加〉ci，b\+c\-2a\,即+1=""，%+1="血，3+1=與%，則（）

A.｛S,｝為遞減數列

B.｛SQ為遞增數列

C.｛&〃/｝為遞增數列，｛為"｝為遞減數列

D.｛S2“J｝為遞減數列，｛S2"｝為遞增數列

【答案】解：歷=20-ci且〃i>ci，A2ai-ci>ci，

:?b\-a\=2a\-c\-a\=a\-ci>0?

又bi-ciVai,-ci-ci<aif/.2c\>a\)

由題意，+7+1=~~2~~+。"，?,b〃+i+c〃+]-2an=1(b〃+cn-2斯)?

b\+c\=2a\f-\b\+c\-2a\=0,

??d+Cn-2a〃=0,??6〃+cn==2a〃=:2ai,??b〃+cn=2ai,

由此可知頂點4在以5”、Cn為焦點的橢圓上，

又由題意，bn+\-cw+i="'佻bn+1-(2%-bn+1)=2al:九%=a\-b〃,

11

??b〃+]-m=2(%一0)，??b”-a\=(—2)"i'

Abn=%+(bi-cii)(cn=2ai-bn=%-(比-<ii)(

二5“2=蓼(嬰一%)[等一%—(比一%)([等-%+—?1)(-1)n-1]

=1ai2[4—(7)n-1(fei-%)2]單調遞增(可證當〃=1時2?一(A—%)2>0)

什，44

故選:B.

20.【2013年新課標2理科03］等比數列｛斯｝的前〃項和為S”已知S3=a2+10m,。5=9,則m=()

1111

--C--

A.3B.39D.9

【答案】解：設等比數列｛斯｝的公比為夕,

:53=〃2+10〃1，45=9,

2

2(q=9

3+arq+arq=arq+10al

4解得1.

UiQ=9風=亨

.1

???i=9"

故選：C.

21.【2021年新高考2卷12】設正整數《=%?2°+%?2+…+必_1-2&T+ak?2"，其中/e{0,1},

記6>(n)=a。+%H------Fak.則()

A.(o(2n)=to(n)B.a)(2n+3)=a)(n)+1

C.co(8n+5)=3(4n+3)D.a)(2n-1)=n

【答案】ACD

對FA選項，=UQ+a[+,,,+(ik，2n=CLQ,2I+a1,2?+,,,+ak-i,2"+,2”+i,

所以，a)(2n)=a04-d----FA選項正確；

對于B選項，取n=2,2n+3=7=l-2°+l-21+l-22,/.to(7)=3,

而2=0?20+1?2】，則3(2)=1,即3(7)彳3(2)+1,B選項錯誤；

對于C選項，8?!+5=(ZQ,2，+tij-2，++dk-2"3+5=1，20+1?+a0?2^+(Zj,2，+?

2"+3,

所以，<o(8n+5)=2+a()+a[+,,,+,

23fc+2123k+2

4n+3=a0-2+^-2+-+ak-2+3=1-2°+1-2+a0-2+^?2+??-+ak?2,

所以，3(4n+3)=2+a。+%-l------Fak,因此，a>(8n+5)=to(4n+3),C選項正確；

對于D選項，2"-l=2°+2i+?“+2nT,故3(2"-l)=n,D選項正確.

故選：ACD.

22.【2021年新高考1卷16】某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙

對折，規(guī)格為20dmx12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dmx12dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖

形，它們的面積之和5]=240dm2,對折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)

格的圖形，它們的面積之和Sz=180dm2,以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數為

_；如果對折n次，那么dm2.

【答案】5720-寫段

(1)由對折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的

結果有：|x12,5x6,10x3；20x|,共4種不同規(guī)格(單位dm?)；

故對折4次可得到如下規(guī)格：12,6,5x3,10xJ,20x共5種不同規(guī)格；

4224

(2)由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成

公比為T的等比數列，首項為120(dm2),第〃次對折后的圖形面積為120x6)nT,對于第n此對折后的圖

形的規(guī)格形狀種數，根據(1)的過程和結論，猜想為n+1種(證明從略)，故得猜想S”=刃”1),

120x2,120x3.120x4.,120(n+l)

設s=Sk=-2?2^^^2?H2n-l-

則＞=120x2,120x3+,…+,712T0Tn+,-120(n+l)

兩式作差得:

1111120(n+1)

/=24°+12°(尹中+??.+行)

2^

1

60(1-^r)120(n+1)

=240+----------\—

1_A2n

12

120(九+1)_120(n+3)

=36。-若360-

因此，S=720-24。r3)=720?-

故答案為：5；720-寫攔.

23.【2020年山東卷14】將數列｛2〃-1｝與｛3〃-2｝的公共項從小到大排列得到數列｛內｝,則｛斯｝的前"項和為

【答案】3n2-2n

【解析】

因為數列｛2n-1｝是以1為首項，以2為公差的等差數列，

數列｛3n-2｝是以1首項，以3為公差的等差數列，

所以這兩個數列的公共項所構成的新數列｛4?｝是以I為首項，以6為公差的等差數列，

所以｛冊｝的前＞1項和為n-1+7)-6=3n2-2n,

故答案為：3層—2札

24.【2020年海南卷14】將數列｛2〃-1｝與｛3〃-2｝的公共項從小到大排列得到數列｛〃,｝,則｛如｝的前"項和為

【答案】3n2-2n

【解析】

因為數列｛2n-1｝是以1為首項，以2為公差的等差數列，

數列｛3n-2｝是以1首項，以3為公差的等差數列，

所以這兩個數列的公共項所構成的新數列｛a”｝是以1為首項，以6為公差的等差數列，

所以｛a”｝的前n項和為n-1+嗎-6=3n2-2n,

故答案為：3n2—2n.

25.【2019年新課標3理科14】記S為等差數列｛斯｝的前”項和.若-W0,及=30,則羋=

【答案】解：設等差數列｛斯｝的公差為d,則

由aiKO,以2=3ai可得,d=2ai,

.￡10_1。(。1+的0)

S、5色1+。5)

_2(2&i+9d)

―2-1+4d

=2(2%+18%);

2Q1+8QI-'

故答案為：4.

26.【2019年新課標1理科14】記S”為等比數列｛“”｝的前〃項和.若/=。6，貝”5=

【答案】解：在等比數列中，由g2=a6,得/幻2=[5/>0,

即0>0,q=3,

則S5=:(；-；)=苧，

,121

故答案為：~Y~

27.【2018年新課標1理科141記S〃為數列｛如｝的前〃項和.若5〃=2板+1,則S6=，

【答案】解：為數列｛外｝的前〃項和,S〃=2即+1,①

當〃=1時，m=2m+l,解得。i=-l,

當〃22時,Sw.i=2aw.i+1,②，

由①"②可得a〃=2a〃-2a”-1,

..a?=2cin.i>

???｛斯｝是以-1為首項，以2為公比的等比數列，

?C_-lx(l-26)_

??*_)6-2~~~63,

故答案為：-63

28.【2017年新課標2理科15]等差數列｛面的前〃項和為S”，s=3,S4=10,則也￡=

【答案】解：等差數列｛〃”｝的前”項和為S”03=3,S4=10,S4=2(a2+a3)=10,

可得。2=2,數列的首項為1,公差為1,

n(n+l)J______2-------

2'S”-n(n+l)-“nn+1)，

則二=1七=2[1一打?扛?扛…+:急]=2(1一擊)=磊.

故答案為：

n+l

29.【2017年新課標3理科14】設等比數列｛斯｝滿足。1+°2=-1，a\-a3=-3,則g=.

【答案】解：設等比數列｛斯｝的公比為外???。1+。2=7,m?〃3=-3,

(1+g)—-1,a\(1-<y2)=-3,

解得。1=1,q=~2.

則。4=(-2)3=_8.

故答案為：-8.

30.【2016年新課標1理科15】設等比數列｛斯｝滿足〃1+的=10,〃2+〃4=5,則〃m…■的最大值為一64

【答案】解：等比數列｛?！ǎ凉M足4|+。3=10，。2+。4=5,

可得g(〃1+。3)=5,解得夕=4.

。1+夕2“1=1(),解得m=8.

1n(n-1).rfi-nln—n^

則。1。2“.斯=。1"引+2+3+…+<"R=8"?弓廠=23n

12

當"=3或4時，表達式取得最大值：2Z=26=64.

故答案為：64.

31.【2015年新課標2理科16］設數列｛斯｝的前〃項和為S”且m=-l,即+1=5+5”則S“=

【答案】解：??Z〃+i=S"+iS“

??Sn+jSn=Sn+1Sn,

11

A——7---=1，

SnSn+i

又?；ai=-1,即7-=—1?

Si

數列｛*｝是以首項是-1、公差為-1的等差數列，

.1

=一〃，

.?5=-)

故答案為：一，

32.【2013年新課標1理科14］若數列｛斯｝的前〃項和為S,=|“”+$則數列｛斯｝的通項公式是即=

71

【答案】解：當〃=1時，t7!=Si=+3,解得a1=1

,L212122

當〃22時，a=S-Sn.\=(-a?+-)-C-a_4--)=可即一耳斯

nn3DJnrO0°

整理可得「4-1，即一~=—2>

33an-i

故數列｛斯｝從第二項開始是以-2為首項，-2為公比的等比數列，

故當〃》2時，斯=(-2)"I

經驗證當"=1時，上式也適合，

故答案為：(-2)

33.【2013年新課標2理科16］等差數列｛〃”｝的前〃項和為S”，已知Sio=O,Si5=25,則〃S”的最小值

為.

【答案】解：設等差數列｛?！ǎ氖醉棡閙,公差為d,

VSio=lOai+45J=O,Si5=15m+105d=25,

._.,2

??671--3?Cl—可,

?_n(n-l)1210

.?Sn-na\'\-------d=可〃—,

；?—5-""令nS.=j(〃),

?/Yz\_220

??/(〃)—n-----5-〃，

...當"=當時，/(〃)取得極值，當“V學時，/(")遞減；當">當時，/(")遞增;

因此只需比較/(6)和/(7)的大小即可.

/(6)=-48,/(7)=-49,

故〃S”的最小值為-49.

故答案為：-49.

◎模擬好題

i+i

1.已知數列｛七｝滿足a2=2,a2n=a2n-i+3n(n€N*),a2n+1=a2n+(-iy(nEN*),則數列｛%｝第2

022項為()

1O12

.31°12-5Q3-7

22

C31。11-5D31。11-7

?~2~-2-

【答案】A

【解析】

解：由。2“+1=a2n+(-1)"+1.得。2“-1=a2n-2+(-1)"5€N*,n22),

又a2n=a2n-l+3"，可得Cl2n=?2n-2+3"+(-l)n

所以。4=0-2+3?+(-l)?,dg=O4+3，+(—I)，,Cig=Ug+3，+(—1)3..........>

1011

a2022=a2020+31°ii+(-l)，將上式相加得

10119(13010)

a2022=。2+(-1)2+(-1)3+…(-1)1011+32+33+…+3=2+~"=

故選：A.

n+1

2.已知數列｛為｝滿足的=1,an+2=(-l)-n)4-n,記｛斯｝的前n項和為Sn,｛(—1)”4九+J的前n

項和為了小則=()

A.-5409B,-5357C.5409D.5357

【答案】B

【解析】

因為%=1,an+2=(-1)"1(即一幾)+八，

所以當n為奇數時，即+2=。小=1?即當n為奇數時，斯=1；當n為偶數時，an+2+=2n.

所以54n+l=Q1+。3+a5T----卜a4n+l+[(。2+。4)+(。6+。8))------卜Ca4n-2+a4n)l

n(2+4n—2)、

=(2n+1)x1+2X———-------=(2n+I)2-2n

n2nzn

所以(-1)“S4n+i=(-l)[(2n+l)-2n]=(-l)(2n+l)-(-l)x2n,

所以751=-32+52-72+92--+(2X50+l)2-(2x51+I)2-2x(-1+2-3+4--+50-51)

=-9+(5-7)x(5+7)+(9-11)x(9+11)+…+(101-103)X(101+103)-2x(-26)

=-9-2x(5+7+9+11+-+101+103)+52=-9-2x號”x50+52=-5357.

故選：B.

3.已知數歹為等差數列，且。8=1，則|。71+2|。91的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

設等差數列｛%>｝的公差為"，

(-3d—1,d<—1

PJiJ|CL-)|+21a9I=11—d|+211+d\=｛d+3,-1<d<1>

(3d4-1,d>1

根據分段函數單調性，當d=-1時取到最小值2,

故選：B

n

4.已知數列｛an｝,｛%｝的通項公式分別為an=2n,bn=2,現(xiàn)從數列｛an｝中剔除｛aj與｛%｝的公共項后，

將余下的項按照從小到大的順序進行排列，得到新的數列｛品｝,則數列｛cn｝的前150項之和為()

A.23804B.23946C.24100D.24612

【答案】D

【解析】

因為%5()=300,28=256<300,29=512>300,故數列5｝的前150項中包含｛%｝的前8項，故數列&｝

的前150項包含｛冊｝的前158項排除與｛bj公共的8項.

(2+316)x158

記數列｛%｝,｛%｝的前n項和分別為%,Tn,C1+C2+...+C150=S158-T8=-=24612

21-2

故選：D.

n

5.在數列｛斯｝中，％冊+i=公萬冊，若〃=2+套+…+而木？且對任意n6N*,Tn>A-2+4

恒成立，則實數/I的取值范圍是()

A.(―0°,—1]B.(-8,-g]

C.(-D.[1,+oo)

【答案】A

【解析】

解:山斯+1=^5即，得冊=^^、詈X^yX…X言x*x%

=*XX”“(")X2"622),

所以總/=n.2n5N2),當n=l時，5=*=2,符合上式，

(n+l)anNX*

所以77^=展2”.

(w+l)an

12n23n+1

所以Tn=1x2+2x2+-+n-2,2Tn=1X2+2x2+-+n-2,

作差得一7\=21+22+…+2”-n-2n+1=忙步-n-2n+1=(1-n)2n+1-2,

所以7\=(n-l)2n+1+2.由7\>A-2n+4,得(n-l)2n+1+2>A-2n+4,

整理得；IW25-1)-貴.

易知函數y=2(x-l)一“在口,+8)上單調遞增，所以當xe[1,+8)時，ymin=-1,所以；IW—1.

故選：A.

n+1

6.已知數列｛an｝的前n項和為S.,an+1+(-l)an=sin^(neN*),則S2022=()

A.-立B.0C.立D.V2

22

【答案】c

【解析】

當n為奇數時有即+1+an=sin?,函數y=sin?(nGN*)的周期為8,

2

故有a“+9+an+8=a“+i+a”，a2+a1=sin：=苧，a4+a3=sin=sin^=一弓，???>按

此規(guī)律下去循環(huán)重復下去，S8=0,

故有52022=252義0+?+苧一￥=孚

故選：c.

7.已知數列｛的｝中，%=4,即+i=：冊(冊—3)+3,數歹K工｝的前〃項和為5個則()

5an

33

A.0<S2022<1B.1<S2022<3C.5<S2022<2D.2<S2()22<3

【答案】A

【解析】

由題得，冊+i-%1冊(即-3)+3-即=*@八一3)2》0,又由=4>3,

所以。2-%>0.所以取>%>3,可得0n+i>%.所以數列｛冊｝是遞增數列.

又]一工，所以上=-1-V所以

aQ—

斯+113n(n3)每一3anan即—3即+i-3

111111111

S=---1-----1-----1----=(-------z--------z)+(------z--------+…+(----------鼻-----------z)=

n-

Q]口2Q]—3Q2—3Q?—303-3un3Q〃+]-3

11-1

-a3=所以§2022=1—a]？，又。2023>4,所以做023-3>1,所以。<一~3<1,

_

。1-3斯+1-3an+i-3<l20233。2023-3

所以0<S2022<L

故選：A.

8.已知等差數列｛冊｝的公差dr0,其前〃項和為及，@4=11，且。1，。3,Q11成等比數列，若Sm=40,

則加=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解析】

解：由題得"則(a1+2d)?=Qi(Qi+10d),得2d=3%,

又Q4=11.則%+3d=11,解得臼=2,d=3,

所以斯=3n-l,所以5”=⑶L；+2)“二智,

故Sm=W±M=40,又m€N*,所以m=5.

TR2

故選：A.

9