云南省昆明市2023屆高三數(shù)學第一次摸底測試試題理

PAGEPAGE20云南省昆明市2022屆高三數(shù)學第一次摸底測試試題理第一卷一、選擇題：本大題共12個小題,每題5分,共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1.集合，集合，那么〔〕A．B．C．D．2.如圖，正方形內(nèi)的圖形來自寶馬汽車車標的里面局部，正方形內(nèi)切圓中的黑色局部和白色局部關(guān)于正方形對邊中點連線成軸對稱，在正方形內(nèi)隨機取一點，那么此點取自黑色局部的概率是〔〕A．B．C．D．3.〔其中是虛數(shù)單位〕，那么〔〕A．1B．0C．D．24.設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，那么的值為〔〕A．3B．2C.1D．-15.二項式展開式中的常數(shù)項為〔〕A．10B．-10C.5D．-56.設(shè)數(shù)列的前項和為，假設(shè)成等差數(shù)列，那么的值是〔〕A．-243B．-242C.-162D．2437.執(zhí)行如下圖的程序框圖，假設(shè)輸出的值為9，那么判斷框中可填入〔〕A．B．C.D．8.設(shè)為正數(shù)，且，當時，的值為〔〕A．B．C.D．9.一個正方體挖去一個多面體所得的幾何體的三視圖如下圖，其中正視圖、左視圖和俯視圖均為邊長等于2的正方形，這個幾何體的外表積為〔〕A．B．C.D．10.函數(shù)〔〕，且，當取最小值時，以下命題中假命題是〔〕A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．是函數(shù)的一個零點C.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位得到D．函數(shù)在上是增函數(shù)11.拋物線的焦點為，準線為，點，線段交拋物線于點，假設(shè)，那么〔〕A．3B．4C.6D．712.數(shù)列的前項和為，且，，那么數(shù)列中的為〔〕A．20480B．49152C.60152D．89150第二卷二、填空題〔每題5分，總分值20分，將答案填在答題紙上〕13.向量，，，那么．14.假設(shè)實數(shù)滿足不等式組，那么的最大值為．15.雙曲線的中心為坐標原點，點是雙曲線的一個焦點，過點作漸近線的垂線，垂足為，直線交軸于點，假設(shè)，那么雙曲線的方程為．16.體積為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，球心在此三棱錐內(nèi)部，且，點為線段的中點，過點作球的截面，那么所得截面圓面積的最小值是．三、解答題〔本大題共6小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.〕17.在中，分別是角的對邊，且，〔1〕求的值；〔2〕假設(shè)，求的面積.18.如圖，在直三棱柱中，，，點分別為的中點.〔1〕證明：平面；〔2〕假設(shè)，求二面角的余弦值.19.某市為了解本市2萬名學生的漢字書寫水平，在全市范圍內(nèi)進行了漢字聽寫考試，發(fā)現(xiàn)其成績服從正態(tài)分布，現(xiàn)從某校隨機抽取了50名學生，將所得成績整理后，繪制出如下圖的頻率分布直方圖.〔1〕估算該校50名學生成績的平均值〔同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表〕；〔2〕求這50名學生成績在內(nèi)的人數(shù)；〔3〕現(xiàn)從該校50名考生成績在的學生中隨機抽取兩人，該兩人成績排名〔從高到低〕在全市前26名的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)：假設(shè)，那么，20.動點滿足：.〔1〕求動點的軌跡的方程；〔2〕設(shè)過點的直線與曲線交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為〔點與點不重合〕，證明：直線恒過定點，并求該定點的坐標.21.函數(shù)，，〔其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，……〕.〔1〕令，假設(shè)對任意的恒成立，求實數(shù)的值；〔2〕在〔1〕的條件下，設(shè)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，，求的最小值.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題記分.22.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程極坐標系中，為極點，半徑為2的圓的圓心坐標為.〔1〕求圓的極坐標方程；〔2〕設(shè)直角坐標系的原點與極點重合，軸非負關(guān)軸與極軸重合，直線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕，由直線上的點向圓引切線，求線線長的最小值.23.選修4-5：不等式選講函數(shù).〔1〕求不等式的解集；〔2〕假設(shè)不等式解集非空，求實數(shù)的取值范圍.昆明一中全國聯(lián)考第一期參考答案參考答案〔理科數(shù)學〕命題、審題組教師楊昆華李文清孫思應(yīng)梁云虹王在方盧碧如凹婷波呂文芬陳泳序一、選擇題題號123456789101112答案BCCABBACDCBB解析：集合，，所以，選B.解析：設(shè)正方形邊長為，那么圓半徑為1.此時正方形面積為.圖中黑色局部面積為.那么此點取自黑色局部的概率為，選C.解析：因為，所以，選C.解析：所以，選A.解析：通項，令，所以，所以常數(shù)項為，選B.解析：據(jù)題意得，當時，，所以；當時，，即，即，所以數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，所以，選B.解析：模擬執(zhí)行如下圖的程序框圖知，該程序的功能是計算，選A.解析：可令，那么，，由得，選C.解析：將三視圖復原可得下列圖，所以，選D.解析：，由得，即，由知的最小值是2，當取得最小值時，.由可得出：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，A為真；由可得出：是函數(shù)的一個零點，B為真；將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到的圖象，所以C為假；由復合函數(shù)單調(diào)性可得在上是增函數(shù)，所以D為真，選C.解析：由為的三等分點，作于〔如圖〕，那么，所以，所以，選B.解析：由有，解得，故，又，于是，因此數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列.得，于是，因此數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，解得，.所以，選B.二、填空題解析：因為，所以，即，所以所以.解析：如圖，在點處取得最大值.解析：設(shè)雙曲線的方程為：，由得：，所以，而，所以，，所以雙曲線的方程：設(shè)，那么，因為體積為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，所以，得.由，得或〔舍〕，所以.由題意知點為線段的中點，從而在△中，，，解得.所以當截面垂直于時，截面圓的半徑為，故截面圓面積最小值為.三、解答題解：〔Ⅰ〕由得出：，由及正弦定理可得出：，所以，再由知，所以為銳角，，所以〔Ⅱ〕由及可得出，所以.解：〔Ⅰ〕證明：連接，，點，分別為，的中點，所以為△的一條中位線，，平面，平面，所以平面.〔Ⅱ〕設(shè)，那么，，，由，得，解得，由題意以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系.可得，，，，故，，，，設(shè)為平面的一個法向量，那么，得，同理可得平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，，，所以，二面角的余弦值為.解：〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕.〔Ⅲ〕，那么..所以該市前名的學生聽寫考試成績在分以上.上述名考生成績中分以上的有人.隨機變量.于是，，.的分布列：數(shù)學期望.解：〔Ⅰ〕由，動點到點，的距離之和為，且，所以動點的軌跡為橢圓，而，，所以，所以，動點的軌跡的方程：.〔Ⅱ〕設(shè)，，那么，由得直線的斜率存在，設(shè)斜率為，那么直線的方程為：由得，所以，，直線的方程為：，所以，令，那么，所以直線與軸交于定點.解：〔Ⅰ〕因為所以，由對任意的恒成立，即，由，〔1〕當時，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以時，，所以不滿足題意.〔2〕當時，由，得時，，時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值為.設(shè)，所以，①因為令得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，②由①②得，那么.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，即，令〔，〕那么，所以，所以，所以，又，所以的最小值為.第22、23題中任選一題做答，如果多做，那么按所做的第一題記分.解：〔Ⅰ〕設(shè)是圓上任意一點，如圖，連接，并延長與圓交于點，當點異于，時，連接、，直角△中，，即，當點與，重合時，也滿足上式，所求圓的極坐標方程為.〔Ⅱ〕直線的普通方程為，圓心到直線的距離為，，所以直線與圓相離，故切線長的最小值為.解：〔Ⅰ〕由可化為：或或解得：或或，所以，不等式解集為.〔Ⅱ〕因為所以，即的最小值為，要不等式解集非空，需，從而，解得或，所以的取值范圍為.

昆明一中全國聯(lián)考第一期參考答案參考答案〔理科數(shù)學〕命題、審題組教師楊昆華李文清孫思應(yīng)梁云虹王在方盧碧如凹婷波呂文芬陳泳序一、選擇題題號123456789101112答案BCCABBACDCBB解析：集合，，所以，選B.解析：設(shè)正方形邊長為，那么圓半徑為1.此時正方形面積為.圖中黑色局部面積為.那么此點取自黑色局部的概率為，選C.解析：因為，所以，選C.解析：所以，選A.解析：通項，令，所以，所以常數(shù)項為，選B.解析：據(jù)題意得，當時，，所以；當時，，即，即，所以數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，所以，選B.解析：模擬執(zhí)行如下圖的程序框圖知，該程序的功能是計算，選A.解析：可令，那么，，由得，選C.解析：將三視圖復原可得右圖，所以，選D.解析：，由得，即，由知的最小值是2，當取得最小值時，.由可得出：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，A為真；由可得出：是函數(shù)的一個零點，B為真；將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到的圖象，所以C為假；由復合函數(shù)單調(diào)性可得在上是增函數(shù)，所以D為真，選C.解析：由為的三等分點，作于〔如圖〕，那么，所以，所以，選B.解析：由有，解得，故，又，于是，因此數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列.得，于是，因此數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，解得，.所以，選B.二、填空題解析：因為，所以，即，所以所以.解析：如圖，在點處取得最大值.解析：設(shè)雙曲線的方程為：，由得：，所以，而，所以，，所以雙曲線的方程：設(shè)，那么，因為體積為的正三棱錐的每個頂點都在半徑為的球的球面上，所以，得.由，得或〔舍〕，所以.由題意知點為線段的中點，從而在△中，，，解得.所以當截面垂直于時，截面圓的半徑為，故截面圓面積最小值為.三、解答題解：〔Ⅰ〕由得出：，………2分由及正弦定理可得出：，所以，………4分再由知，所以為銳角，，………6分所以………8分〔Ⅱ〕由及可得出，所以.………12分解：〔Ⅰ〕證明：連接，，點，分別為，的中點，所以為△的一條中位線，，平面，平面，所以平面.………6分〔Ⅱ〕設(shè)，那么，，，由，得，解得，由題意以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系.可得，，，，故，，，，設(shè)為平面的一個法向量，那么，得，同理可得平面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，，，所以，二面角的余弦值為.………12分解：〔Ⅰ〕………4分〔Ⅱ〕.………6分〔Ⅲ〕，那么..所以該市前名的學生聽寫考試成績在分以上.上述名考生成績中分以上的有人.隨機變量.于是，，.的分布列：數(shù)學期望.………12分解：〔Ⅰ〕由，動點到點，的距離之和為，且，所以動點的軌跡為橢圓，而，，所以，所以，動點的軌跡的方程：.………5分〔Ⅱ〕設(shè)，，那么，由得直線的斜率存在，設(shè)斜率為，那么直線的方程為：由得，所以，，………8分直線的方程為：，所以，令，那么，所以直線與軸交于定點.………12分解：〔Ⅰ〕因為所以，由對任意的恒成立，即，由，〔1〕當時，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以時，，所以不滿足題意.〔2〕當時，由，得時，，時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值為.設(shè)，所以，①因為令得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，②由①②得，那么.………6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，即，令〔，〕那么，所以，所以，所以，又，所以的最小值為.………12分第22、