2023高考數(shù)學一輪復習第2章函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用第5節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教師用書文北師大版

PAGEPAGE1第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)[考綱]1.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算.2.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點.3.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．1．有理指數(shù)冪(1)分數(shù)指數(shù)冪①正分數(shù)指數(shù)冪：aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②負分數(shù)指數(shù)冪：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．2．指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)1．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)(－1)eq\f(2,4)＝(－1)eq\f(1,2)＝eq\r(－1).()(2)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù)．()(3)假設(shè)am＜an(a＞0，且a≠1)，那么m＜n.()(4)函數(shù)y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．化簡[(－2)6]－(－1)0的結(jié)果為()A．－9 B．7C．－10 D．9B[原式＝(26)－1＝8－1＝7.]3．函數(shù)y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的圖像可能是()ABCDC[法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函數(shù)圖像必過定點(1,0)，符合條件的只有選項C.法二：當a＞1時，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a個單位，且過(1,0)，A，B，D都不適宜；當0＜a＜1時，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a個單位，因為0＜a＜1，故排除選項D.]4．(教材改編)0.2m＜0.2n，那么m________n【導學號：66482052】＞[設(shè)f(x)＝0.2x，f(x)為減函數(shù)，由f(m)＜f(n)，∴m＞n.]5．指數(shù)函數(shù)y＝(2－a)x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，那么a的取值范圍是________.【導學號：66482053】(1,2)[由題意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.]指數(shù)冪的運算化簡求值：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))0＋2－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))－eq\f(1,2)－(0.01)0.5；(2)eq\f(a\f(2,3)·b－1－\f(1,2)·a－\f(1,2)·b\f(1,3),\r(6,a·b5)).[解](1)原式＝1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))eq\f(1,2)＝1＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)－eq\f(1,10)＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).6分(2)原式＝eq\f(a－\f(1,3)b\f(1,2)·a－\f(1,2)b\f(1,3),a\f(1,6)b\f(5,6))＝a－eq\f(1,3)－eq\f(1,2)－eq\f(1,6)·beq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(5,6)＝eq\f(1,a).12分[規(guī)律方法]1.指數(shù)冪的運算，首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法那么計算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運算的先后順序．2．當?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù)．3．運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)．[變式訓練1]化簡求值：(1)(0.027)－eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq\f(1,2)－(eq\r(2)－1)0；(2)eq\f(5,6)aeq\f(1,3)·b－2·(－3a－eq\f(1,2)b－1)÷(4aeq\f(2,3)·b－3)eq\f(1,2).[解](1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,1000)))－eq\f(1,3)－72＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\f(1,2)－1＝eq\f(10,3)－49＋eq\f(5,3)－1＝－45.6分(2)原式＝－eq\f(5,2)a－eq\f(1,6)b－3÷(4aeq\f(2,3)·b－3)eq\f(1,2)＝－eq\f(5,4)a－eq\f(1,6)b－3÷(aeq\f(1,3)b－eq\f(3,2))＝－eq\f(5,4)a－eq\f(1,2)·b－eq\f(3,2)＝－eq\f(5,4)·eq\f(1,\r(ab3))＝－eq\f(5\r(ab),4ab2).12分指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用(1)函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖像大致是()(2)假設(shè)曲線y＝|2x－1|與直線y＝b有兩個公共點，求b的取值范圍．(1)A[將函數(shù)解析式與圖像比照分析，因為函數(shù)f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，且值域是(－∞，0]，只有A滿足上述兩個性質(zhì)．](2)曲線y＝|2x－1|與直線y＝b的圖像如下圖，由圖像可得，如果曲線y＝|2x－1|與直線y＝b有兩個公共點，8分那么b的取值范圍是(0,1).12分[規(guī)律方法]指數(shù)函數(shù)圖像的畫法(判斷)及應(yīng)用(1)畫(判斷)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖像，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖像的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像，通過平移、對稱變換得到其圖像．(3)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.圖2-5-1[變式訓練2](1)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖像如圖2-5-1，其中a，b為常數(shù)，那么以下結(jié)論正確的選項是()A．a(chǎn)＞1，b＜0B．a(chǎn)＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)方程2x＝2－x的解的個數(shù)是________．(1)D(2)1[(1)由f(x)＝ax－b的圖像可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上遞減，所以0＜a＜1，函數(shù)f(x)＝ax－b的圖像是在y＝ax的根底上向左平移得到的，所以b＜0.(2)方程的解可看作函數(shù)y＝2x和y＝2－x的圖像交點的橫坐標，分別作出這兩個函數(shù)圖像(如圖)．由圖像得只有一個交點，因此該方程只有一個解．]指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用?角度1比擬指數(shù)式的大小(1)(2022·全國卷Ⅲ)a＝2eq\f(4,3)，b＝3eq\f(2,3)，c＝25eq\f(1,3)，那么()【導學號：66482054】A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b(2)(2022·浙江高考)函數(shù)f(x)滿足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.()A．假設(shè)f(a)≤|b|，那么a≤bB．假設(shè)f(a)≤2b，那么a≤bC．假設(shè)f(a)≥|b|，那么a≥bD．假設(shè)f(a)≥2b，那么a≥b(1)A(2)B[(1)a＝2eq\f(4,3)＝4eq\f(2,3)，b＝3eq\f(2,3)，c＝25eq\f(1,3)＝5eq\f(2,3).∵y＝xeq\f(2,3)在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，又5＞4＞3，∴c＞a＞b.(2)∵f(x)≥|x|，∴f(a)≥|a|.假設(shè)f(a)≤|b|，那么|a|≤|b|，A項錯誤．假設(shè)f(a)≥|b|且f(a)≥|a|，無法推出a≥b，故C項錯誤．∵f(x)≥2x，∴f(a)≥2a.假設(shè)f(a)≤2b，那么2b≥2a，故b≥a，B項正確．假設(shè)f(a)≥2b且f(a)≥2a，無法推出a?角度2解簡單的指數(shù)方程或不等式(2022·江蘇高考)不等式2x2－x＜4的解集為______．{x|－1＜x＜2}eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或－1，2))[∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.]?角度3探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))).(1)假設(shè)a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)假設(shè)f(x)有最大值3，求a的值；(3)假設(shè)f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．[解](1)當a＝－1時，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，那么g(x)在區(qū)間(－∞，－2)上遞增，2分在區(qū)間[－2，＋∞)上遞減，又函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是減函數(shù)，因此f(x)的遞增區(qū)間是[－2，＋∞)，遞減區(qū)間是(－∞，－2).4分(2)由f(x)有最大值3知，ax2－4x＋3有最小值－1，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(12a－16,4a)＝－1，))解得a＝1.8分(3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域為R，那么必有a＝0.12分[規(guī)律方法]1.比擬指數(shù)式的大小的方法：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比擬大小；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比擬大?。?．解簡單的指數(shù)方程或不等式可先利用冪的運算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解．3．探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)性(區(qū)間)、奇偶性、最值(值域)等性質(zhì)的方法一致．易錯警示：在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時，當?shù)讛?shù)a與“1〞的大小關(guān)系不確定時，要分類討論．[思想與方法]1．根式與分數(shù)指數(shù)冪的實質(zhì)是相同的，分數(shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通