計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)

計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)--11抽樣.NN1中再隨意抽取一個(gè)樣本，這樣連續(xù)地進(jìn)行n次隨意抽取，共抽取n（nN）抽樣.⑴總數(shù)N⑵逐個(gè)抽??；⑶抽取后不再放回；⑷樣本等可能性.1]在共有1010A23456,78910，只有抽中A才有獎(jiǎng)，那么，是先抽還是后抽，那個(gè)的概率大？A>首先因?yàn)橛?0A的可能性是

A的可能性是9這時(shí)余9A的可能性是911 B>由第二個(gè)人來(lái)抽，由于這9A的可能性是

1

1的可能性是

A

A的可能性是

A的可能性就是1A的可能性是

，余下9個(gè)中的8個(gè)是不的，則此時(shí)第二個(gè)A的可能性：988 上述兩者之和就是總的第二個(gè)人沒(méi)抽中A的可能性 9 C>由第三個(gè)人來(lái)抽，此時(shí)余8張牌.由于前兩個(gè)人抽中的總的可能性是

抽中的總的可能性是

下8個(gè)中的1個(gè)，即：81=1 AA的可能性

A的可能性2A的可能性

，余下8個(gè)中的7個(gè)是不的，則此時(shí)第三個(gè)人A的可能性：877 A的可能性：2

879 D>由此推下去，可以歸納出：這10A的可能性都是

A是9，因此這10 的概率相等22Nn等分，每部分都有NnkN為整數(shù).如果k不是整數(shù)，可以調(diào)整nN.調(diào)整n使kN N就是去掉一些樣本使kNn2]某校三年級(jí)共有200名學(xué)生，可以將它們均分成4個(gè)班，每班50成5個(gè)班，每班40人.還可以將它們大致均分成6個(gè)班，每班33~34假設(shè)現(xiàn)在分成了5404按規(guī)則，假設(shè)抽取尾號(hào)為5的同學(xué)，則各班編號(hào)為05152535352020200名學(xué)生3一定數(shù)量的樣本，將抽取的樣本合在一起作為抽樣樣本，這樣的抽取方法稱(chēng)為分層抽樣.[例3]某年級(jí)統(tǒng)考成績(jī)統(tǒng)計(jì)，將60分以下(不含60A，將90分以上(不含90分)的分成一部分稱(chēng)B60~90分的分成一部分稱(chēng)C3部分.A部分20B30C部分有150名.現(xiàn)在，要抽取40名的抽樣，那么，各部分A部分所占比例為：p

1 2030 B部分所占比例為：p

3 2030 C部分所占比例為：p 3 2030

A

40

1404xB

40

3406xp4034030 直方圖、莖、散點(diǎn)圖11⑴求極差：⑵定組距；⑶作頻率分布表；⑷作直方圖.注意：直方圖的面積總和為4123456789⑴求極差：本組成績(jī)最大為99，最小為50，故極差為99-⑵定組距；如果將組距定位5分，則可以分成10⑶作頻率分布表；[100,(95,(90,(85,33423342(65,(60,(55,2221122211組距就是成績(jī)區(qū)間的間隔，這里組距為5這樣，就保證了直方圖的陰影面積總和等于1.在樣本數(shù)據(jù)較少的情況下，用莖表示分布，更能直觀表達(dá)數(shù)據(jù)的特點(diǎn).一般在具有一位或兩位有效數(shù)字時(shí)，采用莖表示分布.將數(shù)據(jù)的數(shù)作為莖，將數(shù)據(jù)的低位數(shù)作為葉這就是莖.567,73,75,7885868890916568,72,738889899293用莖表示[解析]用莖表示的結(jié)果如下76588537238658998334]中，成績(jī)?yōu)?5時(shí)所對(duì)應(yīng)的人數(shù)是4，為最多，則85在[例57388899293所對(duì)應(yīng)的人數(shù)是273888992這5中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)累積到頻率等于0.5在[例4]中，先將數(shù)據(jù)按順序排列，總?cè)藬?shù)為30，平分后是1515.5時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)是：第15個(gè)和第1685852故：本例的中位數(shù)是855]中，共有2012345678920個(gè)樣本中，其中間的數(shù)為第10個(gè)和第11868887，故：本例的中位數(shù)是8724]中，成績(jī)的總和除以總?cè)藬?shù)302418241880.6，故本例的平均數(shù)是80.64]中，成績(jī)的總和除以總?cè)藬?shù)20成績(jī)總和為1647164782.35，故本例的平均數(shù)是82.3544[例6]下面是某天的24小時(shí)的氣溫表，請(qǐng)用散點(diǎn)圖表示出來(lái).123456------789----------55x

,...,

xx1x2 (xx)2(xx)2...(

s2

nxx

xx1x2 (xx)2(

x)2...(xs2

n(x(xx)2(xx)2...(x12nn66設(shè)這條直線方程為：ykx 散點(diǎn)的數(shù)據(jù)為xiyi，其中i12對(duì)應(yīng)于散點(diǎn)在回歸直線上的點(diǎn)為xi,yi yy)2y 當(dāng)所有的偏差平方和最小時(shí)，求出k和b當(dāng)y

b)2

③(

b)22x(

b)

xykx2bx0xykx2bi i

ii i 即：(xy)kx2i

(ykxb)22(y

b)

yikxibi即：yikxibnkx xi

nk(x)2 xyxykx2nkii 即：xynxykx2nki i (xiyi)nxx2n(x2n(iixykx)2bx即：byk 三、三三、三 之間的關(guān)1在一點(diǎn)條件下一定會(huì)發(fā)生 ，叫做必 22在一點(diǎn)條件下一定不會(huì)發(fā)生 ，叫做不可 33在一點(diǎn)條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生 ，叫做隨 44 A或 B中至少有一個(gè)一定發(fā)生或同時(shí)都發(fā)生則此 件B的并 .記為A B，或AB. 可類(lèi)比與集合中的并集例如某校推薦優(yōu)秀教師要求教齡15年以上或者所教科目在統(tǒng) 本例可把“教齡15年以上”看 A把“所教科目在 獲得全年級(jí)平均成績(jī)第一名”看 B那么所推薦的優(yōu)秀教師，要么滿(mǎn)足A(教齡15年以上)，要么滿(mǎn)足B(所教科目在統(tǒng)考 A和 B.所以要推薦的優(yōu)秀教師須滿(mǎn)足 B（或AB，這就是 55交 A B中都發(fā)生時(shí)， 才發(fā)生，則 A 交記為 B或AB交很像集合中的交集，也可以類(lèi)比電路里面的“串聯(lián)電路”.兩個(gè)串聯(lián)的開(kāi)關(guān)只若A和B在任何情況下都不可能同時(shí)發(fā)生時(shí)，A與B就是互斥件.記為 B家過(guò)年.這就是互斥.當(dāng)A和B在任何情況下都不可能同時(shí)發(fā)生，但A和B必有一件事件發(fā)生時(shí)，A和B就是對(duì)立 .發(fā)生.對(duì)立一定是互斥，互斥不一定是對(duì)立.m1m2方法，……，第n種途徑有mnNm1m2mn種方法，這稱(chēng)為分類(lèi)加法.如果完成一件事，需要n個(gè)步驟，第一步有m1方法，第二步有m2方法，……，第nmnNm1m2...mn從n個(gè)不同的元素中取出m這就是排列.nAmn0nAnn

(n從n個(gè)不同的元素中取出m (n 組合的方法有：Cmn A AmnC0n CmCn

m m!(n②Cm

CmCm1Cnm

Cm (nm)![n(n (nm)!m ②CmCm1

m!(n (m1)!(nm n!(nm m!(nm)!(nm

m(m1)!(nmn!(nm1)m!(nm

m!(nm [(nm1)m!(nm n!(n m!(nm

(nm!(n1

n1對(duì)于任意正整數(shù)n，任意實(shí)數(shù)ab (ab)nC0anC1an1bC2an2b2...Cranrbr 即：即：(ab)C rnrn這個(gè)叫作二項(xiàng)式定理其中： (r0,1,2,...,n)叫二項(xiàng)式系數(shù)， Cranrbr叫二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng) r (11)n2nC0C1C2 在隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果，都是一個(gè)，稱(chēng)為基本 的個(gè)基 的總?cè)绻居邢?，且每個(gè)基本出現(xiàn)的可能性相等，這就是古典概型.對(duì)古典概型： 的個(gè)基 的總幾何區(qū)域成正比，這就是幾何概型.PA

12,7[解析]從這7A27

(7

423246共3個(gè)數(shù)字，那么個(gè)位有C136選完個(gè)位后還有6個(gè)數(shù)字可選十位，則十位有C163則組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)是偶數(shù)，共有C1C1183C1C

故此兩位數(shù)是偶數(shù)的概率，P36 A7 A72463可能性是有12,3456,7共7P3712,7[解析]從這7A37

(7

2103246共3個(gè)數(shù)字，那么個(gè)位有C1363選完個(gè)位后還有6個(gè)數(shù)字可選十位和百位，共有A2；則組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)是偶數(shù)，共有C1A29063

C1A2

3AP36 7AP36 72463個(gè)位總的可能性是有12,3456,7共7P379ABA是亮2秒熄3B是亮3秒熄4秒，那么當(dāng)燈AB時(shí)，求燈AB同時(shí)都亮的概率.B765432101234AA2秒熄3秒周期是5秒；B3B765432101234AB3秒(取1~4AB同時(shí)都亮的區(qū)域，故燈A和燈B同時(shí)都亮的概率是：P235 ⑴相同條件下重復(fù)n次試驗(yàn) A出現(xiàn)次數(shù)nA A出現(xiàn)的頻數(shù)f(A)nA

A出現(xiàn)的頻率 A出現(xiàn)的頻率fn(A)穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)P(A)，稱(chēng) A出現(xiàn)的概率介于0~1 的概 ：若一次試驗(yàn)共有n種等可能出現(xiàn)的結(jié)果其 A包含的結(jié)果有m種， A的概率為P(A)mn這里，

AnAPAm ⑸概率的幾個(gè)基本性質(zhì)：①概率的取值范圍是0PA②必 的概率為1，不可 的概率為③ A B互斥，則P( B)P(A)P(B)1，為概率的加B)④ A B對(duì)立，則B)從而P(A)1P(B)，這就是常常采用對(duì) 計(jì)算概率 ⑤相互獨(dú) 同時(shí)發(fā)生的概率：P(AB)P(A)P(B)在概率計(jì)算中，經(jīng)常會(huì)用到對(duì) 的概念，就是④中 九、相互獨(dú)九、相互獨(dú) 與條件概1 ，若發(fā)生A的概率與發(fā)生B的概率互不影響，則A,B是兩件相. A B中都發(fā)生時(shí)， 才發(fā)生， A B B或AB發(fā)生，那么交AB發(fā)生的概率P(AB)P(A)P(B)[例10]某家庭已經(jīng)有一個(gè)，現(xiàn)在要第二胎，問(wèn)第二胎是男孩的概率[解析]由于每胎生男生女的概率都是1，第一胎和第二胎是兩個(gè)相互獨(dú) ，發(fā)生的概21222對(duì)A,B是兩件，若在A發(fā)生的條件下，問(wèn)B發(fā)生的概率，這就是條概率.記為P(B|APABP([例11]某家庭有，其中一個(gè)是，問(wèn)另一個(gè)是男孩的概率.設(shè)有的為A，有男孩的為本例中，的可能分布是：男男、男女、女男、女則 的概率為P(A)4有男孩 的概率為P(AB)4P(B|APAB)P( 33、n在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中設(shè)A發(fā)生的次數(shù)為X在每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，A恰好發(fā)生k次的概率為：nP(Xk)Ckpk(1 k0,1,2,...,n十、離散型十、離散型 1、離散型1、離散型 這些取值落在某個(gè)范圍的概率是一定的，此種變量稱(chēng)為隨量.所有隨量可以一一出的就是離散型 量隨量可以是離散型的，也可以是連續(xù)型的，所以有離散型隨量和連續(xù)型隨22若離散型隨量X的可能值為x1,x2,...,xn，對(duì)應(yīng)于可能值xi的概率P(Xxi)（i1,2,...,n，將X和P以表格形式表示就稱(chēng)為離散型隨量X的概率分布列求離散型隨量X的概率分布列的方法Xxi（i12nxi所對(duì)應(yīng)的概率pi（i12n33離散型隨量的平均值稱(chēng)為數(shù)學(xué)期望，記為E(X)計(jì)算為：E(X)x1p1x2p2...xn44nn DX D(X定義標(biāo)準(zhǔn)差：D(X

E(X))2方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是反映隨量相對(duì)于均值E(X)的偏離程度幾種常見(jiàn)的離散型隨量的分布11若隨量的分布列為兩個(gè)狀態(tài)，對(duì)應(yīng)這兩個(gè)狀態(tài)的概率分別為(1p)和p,則稱(chēng)這樣的分布列為兩點(diǎn)分布列.X01P1pX0和1EXx1p1x2p2xipixnpnnn DX

E(X))2

(0p)2(1p)(1p)2pp(1故兩點(diǎn)分布列數(shù)學(xué)期望是E(X)p，方差是)p(1p).[例12]求拋硬幣時(shí)，得到正面的概率和方差.其出現(xiàn)正面的概率是p2出 的概率是(1p)12EXp2DXp(1p422若隨量X的分布列如下X123…nPp(1p)(1p)2…(1p)n1p2p(1p)3p(1p)2...np(1p[12(1p)3(1p)2...n(1p[12q3q2...q1pEX)

[12q3q2...nqn1]，

q2q23q3...

1 兩式相減得：(1q)Sn1q1

...

1qEXpSn

p因?yàn)閝1p1，當(dāng)nEXpEpDE2(E)22p1)21 例如：籃球的投籃為p，未就是q1p第1次投籃中率為p第1次未中，第2次投籃中概率為qp第2次還未中，第3次投籃中概率為q2p；…第k次未中，第k1次投籃中概率為qkp.本例中率是呈幾何形式分布，故是幾何分布33MNMNnnNX件次品，則{Xk}發(fā)生的概率P(Xk)是多少？MM件次品中任取k件的方法有CkM剩下的任取(nk)件是在(NM)件正品中任選，有CnkMN所以選取n件產(chǎn)品，恰有k件次品的方法共有CkMNNN件產(chǎn)品中任取n件的方法有CnN故概率P(Xk故概率P(Xk)為：P(Xk) N.CCEN[例13]從一個(gè)有5個(gè)紅球、15個(gè)白球中摸出5個(gè)球，至少摸出3個(gè)紅球就，求的概XN20M5摸出的球數(shù)n5，其中X3、X4、X5就則按超幾何分布的計(jì)算得3M53個(gè)，其余2個(gè)在15P(X

3C5CC5C⑵摸出4M5個(gè)紅球中摸出4個(gè)，其余1個(gè)在15P(X

4C515C

2019 1⑶摸出5M5個(gè)紅球中摸出5個(gè)，其余0個(gè)在155CP(X

5