知識點37解直角三角形及其應用2022

第一批一、選擇題8．（2022·蘇州）如同，小亮為了測量校園里教學樓AB的高度．將測角儀CD豎直放置在與教學樓水平距離為18m的地面上，若測角儀的高度是，測得教學樓的頂部A處的仰角為30°，則教學樓的高度是 （）A．m B．54m C．19.5m D．18m（第8題）【答案】C【解析】過D作DE⊥AB，∵在D處測得旗桿頂端A的仰角為30°，∴∠ADE＝30°，∵BC＝DE＝18m，∴AE＝DE?tan30°＝18m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝18+＝，故選C．8．（2022·溫州）某簡易房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形，則坡屋頂上弦桿AB的長為 （）A．米B．米C．米D．米【答案】B【解析】如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為點D，則BD=+=(米).在Rt△ABD中，∠ADB=90°，cosB=，所以AB===．故選B.10．（2022·長沙）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔60nmile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是 【】A．nmileB．60nmileC．120nmileD．nmile【答案】D【解析】過C作CD⊥AB于D點，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴CD=AC?cos∠ACD=60×=30．在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．答：此時輪船所在的B處與燈塔P的距離是（30+30）nmile．故本題選：D．8．（2022·益陽）南洞庭大橋是南益高速公路上的重要橋梁，小芳同學在校外實踐活動中對此開展測量活動.如圖1，在橋外一點A測得大橋主架與水面的交匯點C的俯角為α，大橋主架的頂端D的仰角為β，已知測量點與大橋主架的水平距離AB＝a，則此時大橋主架頂端離水面的高CD為（）A.asinα+asinβB.acosα+acosβC.atanα+atanβD.第8題圖【答案】C【解析】在Rt△ABD中，∵tanβ=，∴BD=atanβ.在Rt△ABD中，∵tanα=，∴BC=atanα.∴CD=BD+BC=atanα+atanβ.1.(2022·泰安)如圖,一艘船由A港沿北偏東65°方向航行km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏東20°方向,則A,C兩港之間的距離為________km.+30 +10 +30 【答案】B【解析】如圖,由題中方位角可知∠A＝45°,∠ABC＝75°,∠C＝60°,過點B作BD⊥AC于點D,在Rt△ABD中,∠A＝45°,AB＝,∴AD＝ABcosA＝30,BD＝ABsinA＝30,在Rt△BCD中,∠C＝60°,∴CD＝＝,∴AC＝AD+CD＝30+10,故選B.2.（2022·重慶B卷）如圖，AB是垂直于水平面的建筑物，為測量AB的高度，小紅從建筑物底端B出發(fā)，沿水平方向行走了52米到達點C，然后沿斜坡CD前進，到達坡頂D點處，DC=BC.在點D處放置測角儀，測角儀支架DE高度為米，在E點處測得建筑物頂端A點的仰角∠AEF為27°（點A,B,C,D在同一平面內(nèi)）.斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：,那么建筑物AB的高度約為（）【答案】B【解析】作EN⊥AB于N,EM⊥BC交BC的延長線于M.∵斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：,DC=BC=52米，設DM=x米，則CM=米，在Rt△ECM中，∵+=，∴+=解得x=20∴CM=48米，EM=20+=米，BM=ED+DM=52+48=100米∵EN⊥AB,EM⊥BC，AB⊥BC∴四邊形ENBM是矩形.∴EN=BM=100米，BN=EM=米.在Rt△AEN中，∵∠AEF=27°∴AN=EN﹒tan27°≈100×=51米∴AB=AN+BN=51+=米.故選B．3.（2022·重慶A卷）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護區(qū)開展了尋找古樹活動．如圖，在一個坡度（或坡比）＝1:的山坡AB上發(fā)現(xiàn)有一棵古樹CD．測得古樹底端C到山腳點A的距離AC＝26米，在距山腳點A水平距離6米的點E處，測得古樹頂端D的仰角∠AED＝48°（古樹CD與山坡AB的剖面、點E在同一平面上，古樹CD與直線AE垂直），則古樹CD的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：°≈，cos48°≈，tan48°≈）A．米B．米C．米D．米第10題圖第10題圖【答案】C．【解析】如答圖，延長DC交EA于點F，則CF⊥EA．∵山坡AC上坡度＝1:，AC＝26米，∴令CF＝k，則AF＝，由勾股定理，得k2＋2＝262，解得k＝10，從而AF＝24，CF＝10，EF＝30．在Rt△DEF中，tanE＝，故DF＝EF?tanE＝30×tan48°＝30×＝，于是，CD＝DF－CF＝，故選C．第10題答圖第10題答圖4.5.67.8.910.11.12.13.二、填空題（2022·遂寧）汛期即將來臨，為保證市民的生命和財產(chǎn)安全，市政府決定對一段長200米且橫斷面為梯形的大壩用土石進行加固，如圖，加固前大壩背水坡坡面從A至B共有30級階梯，平均每級階梯高30cm，斜坡AB的坡度i=1:1，加固后壩頂寬度增加2米，斜坡EF的坡度i=1:,問工程完工后，共需土石多少立方米？（計算土石時忽略階梯，結果保留根號）解：如圖，分別過點A,E作AN⊥FC于N,EM⊥F于M，則AN=EM,∵從A至B共有30級階梯，平均每級階梯高30cm，∴AN=9米=EM，∵斜坡AB的坡度i=1:1，∴BN=AN=9米，∵斜坡EF的坡度i=1:，∴FM=9，∴FB=FM+MN-BN=9+2-9=9-7,S梯==,∴體積為200S梯=8100-4500（m3)答:共需土石8100-4500立方米.21．(2022·廣元)如圖,某海監(jiān)船以60海里時的速度從A處出發(fā)沿正西方向巡邏,一可疑船只在A的西北方向的C處,海監(jiān)船航行小時到達B處時接到報警,需巡查此可疑船只,此時可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C處,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃離,海監(jiān)船立刻加速以90海里/時的速度追擊,在D處海監(jiān)船追到可疑船只,D在B的北偏西60°方向.(以下結果保留根號)(1)求B,C兩處之間的距離;(2)求海監(jiān)船追到可疑船只所用的時間.第21題圖解：(1)過點C作CE⊥AB于點E,在Rt△BEC中,設BC＝x,∵∠BCE＝30°,∴BE＝BC＝x,CE＝x,在Rt△ACE中,AE＝CE＝x,∴AB＝AE－BE＝x－x,已知AB＝60×＝90,∴x－x＝90,解之得,x＝90+90.答:B,C兩處之間的距離(90+90)海里;EE(2)過點B作BF⊥DC于點F,在Rt△BDF中,∠DBF＝60°,由(1)得,BF＝CE＝CE＝x＝135+45,∴BD＝2BF＝270+90,∴時間為(270+90)÷90＝3+.答:海監(jiān)船追到可疑船只所用的時間為(3+)小時.FF16．（2022·溫州）圖1是一種折疊式晾衣架．晾衣時，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意圖如圖2所示，兩支腳OC=OD=10分米，展開角∠COD=60°，晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且HO=FO=4分米．當∠AOC=90°時，點A離地面的距離AM為分米；當OB從水平狀態(tài)旋轉到OB′（在CO延長線上）時，點E繞點F隨之旋轉至OB′上的點E′處，則B′E′-BE為分米．【答案】5+54【解析】（1）過點O分別作OL⊥MD、ON⊥AM，垂足分別為點L、N，則∠LON=90°，四邊形NMLO是矩形，∴MN=LO.∵OC=OD=10分米，∠COD=60°，∴∠COL=30°，CL=CD=5，OL===5，∵∠AOC=90°，∴∠AON=30°，∴AN=AO=5，∴AM=5+5；（2）過點F分別作FQ⊥OB、FP⊥OC，垂足分別為點Q、N.在Rt△OPQ中，∠OQP=90°，∠BOD=60°，∴OQ=2，F(xiàn)Q=2，在Rt△EFQ中，∠EQF=90°，F(xiàn)Q=2，EF=6，∴QE=2，BE=10-2-2=8-2；同理可得PE′=2，∴B′E′=2+10-2=12-2，∴B′E′-BE=(12-2)-(8-2)=4.故填：5+54.15．（2022·鹽城）如圖，在△ABC中，BC＝，∠C＝45°，AB＝AC，則AC的長為________.【答案】2【解析】如圖，過點A作AD⊥BC于點D，又∠C＝45°，故,，設，則，CD=x，，在Rt△ACD中，∠ADB=90°，由勾股定理可得：AD2+BD2=AB2，得，所以，解得,故AC=2.1.(2022·棗莊)如圖,小明為了測量校園里旗桿AB的高度,將測角儀CD豎直放在距旗桿底部B點6m的位置,在D處測得旗桿頂端A的仰角為53°,若測角儀的高度是,則旗桿AB的高度約為________m(精確到.(參考數(shù)據(jù):sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈【答案】【解析】由題可知BC＝6m,CD＝,過D作DE∥BC交AB于點E,易知四邊形BCDE是矩形,∴DE＝BC＝6m,在Rt△ADE中,AE＝DE·tan53°＝,EB＝CD＝,∴AB＝AE+EB＝≈.第15題答圖2.（2022·湖州）有一種落地晾衣架如圖①所示，其原理是通過改變兩根支撐桿夾角的度數(shù)來調(diào)整晾衣桿的高度．圖②是支撐桿的平面示意圖．AB和CD分別是兩根不同的支撐桿，夾角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．問：當α＝74°時，較長支撐桿的端點A離地面的高度h約為________cm．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，sin53°≈，cos53°≈）②②第14題圖【答案】120．【解析】如圖，過點A作AE⊥BD于點E，則∠AEB＝90°．∵AO＝85cm，BO＝DO＝65cmα＝74°，∴∠ODB＝∠B＝53°，AB＝150cm．在Rt△ABE中，sinB＝，故h＝AB?sinB＝150×sin53°≈150×＝120．3.（2022·金華）如圖，在量角器的圓心O處下掛一鉛錘，制作了一個簡易測傾儀，量角器的0刻度線AB對準樓頂時，鉛垂線對應的度數(shù)是50°，則此時觀察樓頂?shù)难鼋嵌葦?shù)是___________．【答案】40°．【解析】量角器的0刻度線AB對準樓頂時，鉛垂線對應的度數(shù)是50°，則過AB中點的水平線對應的是140°，所以此時觀察樓頂?shù)难鼋嵌葦?shù)是40°．4.（2022·金華）圖2，圖3是某公共汽車雙開門的俯視示意圖，ME、EF、FN是門軸的滑動軌道，∠E=∠F=90°，兩門AB、CD的門軸A、B、C、D都在滑動軌道上，兩門關閉時（圖2），A、D分別在E、F處，門縫忽略不計（即B、C重合）；兩門同時開啟，A、D分別沿E→M，F(xiàn)→N的方向勻速滑動，帶動B、C滑動；B到達E時，C恰好到達F，此時兩門完全開啟，已知AB=50cm，CD=40cm.（1）如圖3，當∠ABE=30°時，BC=_______cm.（2）在（1）的基礎上，當A向M方向繼續(xù)滑動15cm時，四邊形ABCD的面積為_______cm2.【答案】（1）（90－45）；（2）2256．【解析】（1）利用直角三角形的性質(zhì)先求得EB，CF，然后進行線段加減即可；（2）根據(jù)題意，得S四邊形ABCD＝S梯形AEFD－S△ABE－S△CDF，計算可得.解：(1)∵AB=50，CD=40，∴AB＋CD=EB＋CF＝EF=90.在Rt△ABE中，∵∠E=90°，∠ABE=30°，∴EB＝25.同理可得CF＝20.∴BC=90－45（cm）.（2）根據(jù)題意，得AE＝40,DF=32,EB＝＝30，CF＝＝24,∴S四邊形ABCD＝S梯形AEFD－S△ABE－S△CDF＝(AE＋DF)·EF－AE·EB－CF·DF＝(40＋32)×90－×40×30－×24×32＝2256.5.(2022·寧波)如圖,某海防哨所O發(fā)現(xiàn)在它的西北方向,距離哨所400米的A處有一艘船向正東方向航行,航行一段時間后到達哨所北偏東60°方向的B處,則此時這艘船與哨所的距離OB約為________米.【答案】566【解析】在Rt△AOH中,OH＝AOcos45°＝,在Rt△BOH中,BO＝.6（2022·衢州）如圖，人字梯AB，AC的長都為2米，當α=50°時，人字梯頂端離地面的高度AD是米_________（結果精確到參考數(shù)據(jù)；sin50°≈，cos50°≈，tan50°≈）.【答案】【解析】由三角函數(shù)的定義得:sinα=sin50°==≈，所以AD≈2×=≈米.7.8.910.11.12.13.三、解答題20．（2022年浙江省紹興市，第20題，8分如圖1為放置在水平桌面l上的臺燈，底座的高AB為5cm，長度均為20cm的連桿BC，CD與AB始終在同一平面上．（1）轉動連桿BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如圖2，求連桿端點D離桌面l的高度DE．（2）將（1）中的連桿CD再繞點C逆時針旋轉，使∠BCD＝165°，如圖3，問此時連桿端點D離桌面l的高度是增加還是減少？增加或減少了多少？（精確到，參考數(shù)據(jù)：）【解題過程】22．（2022·嘉興）某挖掘機的底座高AB＝米，動臂BC＝米，CD＝米，BC與CD的固定夾角∠BCD＝140°．初始位置如圖1，斗桿頂點D與鏟斗頂點E所在直線DE垂直地面AM于點E，測得∠CDE＝70°（示意圖2）．工作時如圖3，動臂BC會繞點B轉動，當點A，B，C在同一直線時，斗桿頂點D升至最高點（示意圖4）．（1）求挖掘機在初始位置時動臂BC與AB的夾角∠ABC的度數(shù)．（2）問斗桿頂點D的最高點比初始位置高了多少米（精確到米）？（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈，cos50°≈，sin70°≈，cos70°≈，）【解題過程】（1）如圖2-1，過點C作CG⊥AM于點G，∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB∴∠BCG=∠BCD-∠DCG=30°.∴∠ABC=180°-∠BCG=150°.∴動臂BC與AB的夾角為150°.（2）如圖2-2，過點C作CP⊥DE于點P，過點BQ⊥DE于點Q交CG于點N.在Rt△CPD中，DP=CD×cos70°=（米）在Rt△BCN中，CN=BC×sin60°（米）∴DE=DP+PQ+QE=DP+CN+（米）如圖3，過點D作DH⊥AM于點H，過點C作CK⊥DH于點K.在Rt△CKD中，DK=CD×sin5°（米）∴DH=DK+（米）∴（米）.所以斗桿頂點D的最高點比初始位置高了約米.23.（2022浙江省杭州市，23，12分）(本題滿分12分)如圖，已知銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于點D.連接0A.(1)若∠BAC=60°，=1\*GB3①求證：OD=OA.=2\*GB3②當OA=1時，求△ABC面積的最大值.點E在線段0A上.OE=OD.連接DE，設∠ABC=m∠OED.∠ACB=n∠OED(m，n是正數(shù)).若∠ABC＜∠ACB.求證:m-n+2=0【解題過程】（1）①連接OB、OC，則∠BOD=BOC=∠BAC=60°，∴∠OBC=30°，∴OD=OB=OA；②∵BC長度為定值，∴△ABC面積的最大值，要求BC邊上的高最大，當AD過點O時，AD最大，即：AD=AO+OD=，△ABC面積的最大值=×BC×AD=×2OBsin60°×=；（2）如圖2，連接OC，設∠OED=x，則∠ABC=mx，∠ACB=nx，則∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=∠BOC=∠DOC，∵∠AOC=2∠ABC=2mx，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，∵OE=OD，∴∠AOD=180°-2x，即：180°+mx-nx=180°-2x，化簡得：m-n+2=0．23．（2022山東煙臺，23，10分）如圖所示，一種適用于筆記本電腦的鋁合金支架，邊OA，OB可繞點O開合，在OB邊上有一固定點P，支柱PQ可繞點P轉動，邊OA上有六個卡孔，其中離點O最近的卡孔為M，離點O最遠的卡孔為N．當支柱端點Q放入不同卡孔內(nèi)，支架的傾斜角發(fā)生変化．將電腦放在支架上，電腦臺面的角度可達到六檔調(diào)節(jié)，這樣更有利于工作和身體健康．現(xiàn)測得OP的長為12cm，OM為10cm，支柱PQ為8cm．(1)當支柱的端點Q放在卡孔M處時，求的度數(shù)．(2)當支柱的端點Q放在卡孔N處時，，若相鄰兩孔的距離相等，求此間距．（結果精確到十分位）．【解題過程】（1）解：當支柱的端點Q放在卡孔M處時，作出該支架的截面圖如圖（1），第23題答圖(1)第23題答圖(1)過點P作，垂足為E，此時，，，，因為，所以，設，所以，在Rt△OPE中，由勾股定理得，，在Rt△PEQ中，由勾股定理得，，所以，解得，所以,在Rt△OPE中，,由參考數(shù)據(jù)表，可得，．（2）解：當支柱的端點Q放在卡孔N處時，作出該支架的截面圖如圖（2），第23題答圖（2）第23題答圖（2）過點P作，垂足為F，此時，，，，，因為，所以，在Rt△OPE中，，所以，在Rt△PEQ中，由勾股定理得，，在Rt△OPE中，由勾股定理得，，所以，所以,所以相鄰兩孔的距離為．22（2022山東威海，22，9分）如圖是把一個裝有貨物的長方體形狀的木箱沿著坡面裝進汽車貨廂的示意圖．已知汽車貨廂高度BG＝2米，貨廂底面距地面的高度BH＝米，坡面與地面的夾角∠BAH＝α，木箱的長（FC）為2米，高（EF）和寬都是米．通過計算判斷：當sinα＝，木箱底部頂點C與坡面底部點A重合時，木箱上部頂點E會不會觸碰到汽車貨廂頂部．【解題過程】∵BH＝，sinα＝，∴AB＝＝1，∴AH＝，∵AF＝FC＝2，∴BF＝1，作FQ⊥BG于點Q，作EP⊥FQ于點P，∵EF＝FB＝AB＝1，∠EPF＝∠FQB＝∠AHB＝90°，∠EFP＝∠FBQ＝∠ABH，∴△EFP≌△FBQ≌△ABH，∴EP＝FQ＝AH，BQ＝BH，∴BQ＋EP＝＋＝（米）＜2米，∴木箱上部頂點E不會觸碰到汽車貨廂頂部．20．（2022江西省，20，8分）圖1是一臺實物投影儀，圖2是它的示意圖，折線B—A—O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于點O，點B為旋轉點，BC可轉動，當BC繞點B順時針旋轉時，投影探頭CD始終垂直于水平桌面OE，經(jīng)測量：AO＝，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm.(結果精確到01)(1)如圖2，∠ABC＝70°，BC∥OE.①填空：∠BAO＝°；②求投影探頭的端點D到桌面OE的距離.(2)如圖3，將(1)中的BC向下旋轉，當投影探頭的端點D到桌面OE的距離為6cm時，求∠ABC的大小.(參考數(shù)：sin70°≈，cos20°≈，°≈，°≈【解題過程】解：（1）①如圖所示，延長OA交BC于點F，∵BC∥OE，OA⊥OE，∴∠BFA=∠AOE=90°，∴∠BAO=∠BFA+∠ABC=90°+70°=160°.答案：160②∵∠BFA=90°，∠ABC=70°，AB＝30cm，sin70°≈，∴AF=AB·sin70°≈30×=（cm）.∵OA=，∴OF=AF+OA=+=35（cm）.又∵CD始終垂直于水平桌面OE，且CD＝8cm，∴點D到桌面OE的距離為：OF-CD=35-8=27（cm）.（2）如圖所示，作BH⊥CD于點H，∵D到桌面OE的距離為6cm，H到桌面OE的距離為35cm，CD＝8cm，∴CH=35-8-6=21（cm），又∵BC＝35cm，∠H=90°，∴sin∠CBH=，∵°≈，∴∠CBH=°.又∵∠ABH=70°,∴∠ABC=∠ABH-∠CBH=70°°=°.20．（2022·山西）某"綜合與實踐"小組開展了測量本校旗桿高度的實踐活動.他們制定了測量方案,并利用課余時間完成了實地測量.他們在該旗桿底部所在的平地上,選取兩個不同測點,分別測量了該旗桿頂端的仰角以及這兩個測點之間的距離.為了減小測量誤差,小組在測量仰角的度數(shù)以及兩個測點之間的距離時,都分別測量了兩次并取他們的平均值作為測量結果,測量數(shù)據(jù)如下表(不完整).課題測量旗桿的高度成員組長:×××組員:×××,×××,×××測量工具測量角度的儀器,皮尺等測量示意圖說明:線段GH表示旗桿,測量角度的儀器的高度AC＝BD＝,測點A,B與H在同一條水平直線上,A,B之間的距離可以直接測得,且點G,H,A,B,C,D都在同一豎直平面內(nèi).點C,D,E在同一直線上,點E在GH上.測量數(shù)據(jù)測量項目第一次第二次平均值∠GCE的度數(shù)°°°∠GDE的度數(shù)°°31°A,B之間的距離…………任務一:兩次測量A,B之間的距離的平均值是______m.任務二:根據(jù)以上測量結果,請你幫助該"綜合與實踐"小組求出學校旗桿GH的高度.(參考數(shù)據(jù):°≈,°≈,°≈,sin31°≈,cos31°≈,tan31°≈任務三:該"綜合與實踐"小組在制定方案時,討論過"利用物體在陽光下的影子測量旗桿的高度"的方案,但未被采納.你認為其原因可能是什么?(寫出一條即可)【解題過程】任務一:平均值＝+÷2＝任務二:由題意可得,四邊形ACDB,ACEH都是矩形,∴EH＝AC＝,CD＝AB＝,設EG＝xm,在Rt△DEG中,∠DEG＝90°,∠GDE＝31°,∵tan31°＝,∴DE＝,在Rt△CEG中,∠CEG＝90°,∠GCE＝°,∵°＝,∴CE＝,∵CD＝CE－DE,∴－＝,∴x＝,∴GH＝GE+EH＝+＝.答:旗桿GH的高度為.任務三:答案不唯一:沒有太陽光,旗桿底部不可到達,測量旗桿影子的長度遇到困難等.22．（2022·婁底）如圖（11），某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度為i＝1:1．為了測量山頂A的高度，在建筑物頂端D處測得山頂A和坡底B的俯角分別為，．已知，，求山頂A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．解：如圖（11－1），設DA與CB的交點為O．∵，∴同理，∵∴．∴．設米,則則由i＝1:1得,；∴，∴∴山頂A的高度AE為16米．22．（2022·衡陽）如圖，在一次綜合實踐活動中，小亮要測量一樓房的高度，先在坡面D處測得樓房頂部A的仰角為30°，沿坡面向下走到坡腳C處，然后向樓房方向繼續(xù)行走10米到達E處，測得樓房頂部A的仰角為60°，已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：，(坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比)，求樓房AB高度.（結果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：≈，≈1041）解：設樓房AB的高為x米，則EB＝x，∵坡度i＝1:，∴坡面CD的鉛直高度為5米，坡面的水平寬度為米，∴，解得x＝15＋5≈237（米）.所以樓房AB的高度約為237米.21．(2022·泰州,21題,10分)某體育看臺側面的示意圖如圖所示,觀眾區(qū)AC的坡度i為1∶2,頂端C離水平地面AB的高度為10m,從頂棚的D處看E處的仰角α＝18°30′,豎直的立桿上C、D兩點間的距離為4m,E處到觀眾區(qū)底端A處的水平距離AF為3m,求:⑴觀眾區(qū)的水平寬度AB;⑵頂棚的E處離地面的高度EF.(sin18°30′≈,tan18°30′≈,結果精確到第21題圖【解題過程】(1)因為AC的坡度i為1∶2,所以,因為BC＝10m,所以AB＝20m;(2)在Rt△DEG中,∠EDG＝18°30′,tan∠EDG＝,GD＝FB＝FA+AB＝23m,所以EG＝,所以EF＝EG+GF＝EG+DB＝EG+DC+CB＝≈,頂棚的E處離地面的高度EF為.第21題答圖22．（2022·黃岡）如圖，兩座建筑物的水平距離BC為40m，從A點測得D點的俯角α為45°，測得C點的俯角β為60°.求這兩座建筑物AB，CD的高度.（結果保留小數(shù)成后一位，≈，/≈.）【解題過程】22．（2022·隴南）圖①是放置在水平面上的臺燈，圖②是其側面示意圖（臺燈底座高度忽略不計），其中燈臂AC＝40cm，燈罩CD＝30cm，燈臂與底座構成的∠CAB＝60°．CD可以繞點C上下調(diào)節(jié)一定的角度．使用發(fā)現(xiàn)：當CD與水平線所成的角為30°時，臺燈光線最佳．現(xiàn)測得點D到桌面的距離為．請通過計算說明此時臺燈光線是否為最佳？（參考數(shù)據(jù)：?。猓喝鐖D，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°，∴四邊形CEHF是矩形，∴CE＝FH，在Rt△ACE中，∵AC＝40cm，∠A＝60°，∴CE＝AC?sin60°＝（cm），∴FH＝CE＝（cm）∵DH＝，∴DF＝DH﹣FH＝﹣＝15（cm），在Rt△CDF中，sin∠DCF＝＝＝，∴∠DCF＝30°，∴此時臺燈光線為最佳．21．（2022·株洲）小強的爸爸準備駕車外出．啟動汽車時，車載報警系統(tǒng)顯示正前方有障礙物，此時在眼睛點A處測得汽車前端F的俯角為，且tan＝，若直線AF與地面l1相交于點B，點A到地面l1的垂線段AC的長度為米，假設眼睛A處的水平線l2與地面l1平行．（1）求BC的長度；（2）假如障礙物上的點M正好位于線段BC的中點位置（障礙物的橫截面為長方形，且線段MN為此長方形前端的邊），MN⊥l1，若小強的爸爸將汽車沿直線l1后退米，通過汽車的前端F點恰好看見障礙物的頂部N點（點D為點A的對應點，點F1為點F的對應點）．求障礙物的高度．【解題過程】如圖，∵l1∥l2∴∠ABC=∴tan∠ABC==tan＝，∴BC=3AC=(米）∴BC的長度為米。根據(jù)題意得DF1∥AF,∵l1∥l2∴四邊形ABED是平行四邊形，∴BE=BM=FF1=(米），∴EM=BM-BE=BC-BE=（米）,∵tan∠NEM=tan∠ABC=，∴MN=EM=（米）∴障礙物的高度為米.1.(2022·臺州)圖1是一輛在平地上滑行的滑板車,圖2是其示意圖,已知車桿AB長92cm,車桿與腳踏所成的角∠ABC＝70°,前后輪子的半徑均為6cm,求把手A離地面的高度.(結果保留小數(shù)點后一位;參考數(shù)據(jù):sin70°≈,cos70°≈,tan70°≈解：過點A作AD⊥BC于點D,在Rt△ABD中,AB＝92,∠B＝70°,∴AD＝ABsinB＝,∴A離地面高度為+6≈(cm).答：求把手A離地面的高度.DD2.（2022·天津）如圖，海面上一艘船由西向東航行，在A處測得正東方向上一座燈塔的最高點C的仰角為31°，再向東繼續(xù)航行30m到達B處，側的燈塔的最高點C的仰角為45°，根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，計算這座燈塔的高度CD.（結果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：sin31°≈，cos31°≈，tan31°≈解：如圖，根據(jù)題意∠CAD=31°，∠CBD=45°，∠CDA=90°，AB=30，∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=∴AD=∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=,∴BD=，∵AD=BD+AB,∴=30+CD,∴CD=45.答：這座燈塔的高度CD約為45m.3.（2022·眉山）如圖，在岷江的右岸邊有一高樓AB，左岸邊有一坡度i=1:2的山坡CF，點C與點B在同一水平面上，CF與AB在同一平面內(nèi)．某數(shù)學興趣小組為了測量樓AB的高度，在坡底C處測得樓頂A的仰角為45°，然后沿坡面CF上行了米到達點D處，此時在D處測得樓頂A的仰角為30°，求樓AB的高度．解：在Rt△DEC中，∵i=DE∶DC=1∶2，且DE2+EC2=DC2.∴DE2+（2DE）2=（）2.解得：DE=20m，EC=40m.過點D作DG⊥AB于點G，過點C作CH⊥DG于點H，則四邊形DEBG、DECH、BCHG都是矩形.∵∠ACB=45°，AB⊥BC，∴AB=BC，設AB=BC=xm，則AG=（x-20）m，DG=（x+40）m，在Rt△ADG中，∵=tan∠ADG，∴，解得：x=50+.答：樓AB的高度為（50+）米.4.（2022·達州）渠縣賨人谷是國家AAAA級旅游景區(qū)，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享譽巴渠，被譽為川東“小九寨”，蹲坐著觀音崖一塊奇石是一只“哮天犬”，昂首向天，望穿古今.一個周末，某數(shù)學興趣小組的幾名同學想測出“哮天犬”上嘴尖與頭頂?shù)木嚯x，他們把蹲著的“哮天犬”抽象成ABCD，想法測出了尾部C看頭頂B的仰角為40°，從前腳落地點D看上嘴尖A的仰角剛好60°，CB=5米，CD=米，景區(qū)管理員告訴同學們，上嘴尖到地面的距離是3米，他們很快就算出了AB的長，你也算算？（結果精確到米，參考數(shù)據(jù)：sin40°≈，cos40°≈，tan40°≈.≈≈）解：過點B作BF⊥CE于點F，再過點A作AG⊥BF于點G，則四邊形AEFG是矩形.在Rt△ADE中，tan60°AE=3，，∴DE=.在Rt△CBF中，sin40°，CB=5，∴BF≈，cos40°=≈，CB=5，∴CF≈.∵CD=，∴EF=CD+DE-CF≈，BG=BF-AE≈，∴AB=≈.5.(2022·巴中)某區(qū)域平面示意圖如圖所示,點D在河的右側,紅軍路AB與某橋BC互相垂直.某?！睌?shù)學興趣小組”在”研學旅行”活動中,在C處測點D位于西北方向,又在A處測得點D位于南偏東65°方向,另測得BC＝414m,AB＝300m,求出點D到AB的距離.(參考數(shù)據(jù):sin65°≈,cos65°≈,tan65°≈解：過點D作DE⊥AB于點E,作DF⊥BC于點F,∵AB⊥BC,∴四邊形DEBF是矩形,DE＝BF,EB＝DF,在Rt△AED中,AE＝,∴BE＝AB－AE＝300－,∴DF＝BE＝300－,在Rt△CDF中,∠DCF＝45°,∴∠FDC＝∠FCD,∴CF＝DF＝300－,∴BC＝BF+FC＝300－+ED,∵BC＝414,∴300－+ED＝414,∴ED＝214,∴點D到AB的距離為214m.6（2022·濰坊）自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多．為方便群眾步行健身，某地政府決定對一段如圖1所示的坡路進行改造．如圖2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度為1∶；將斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造為斜坡CD，其坡度為1∶4．求斜坡CD的長．（結果保留根號）解：在Rt△ABE中，∵tan∠ABE=1∶，∴∠ABE=30°．∵AB=200，∴AE=AB=100．∵AC=20，∴CE=100－20=80．在Rt△CDE中，∵tanD=1∶4，∴sinD=．∴．∴CD=（米）答：斜坡CD的長是米．7.(2022·聊城)某數(shù)學興趣小組要測量實驗大樓部分樓體的高度(如圖①所示,CD部分),在起點A處測得大樓部分樓體CD的頂端C點的仰角為45°,底端D點的仰角為30°,在同一剖面沿水平地面向前走20米到達B處,測得頂端C的仰角為°(如圖②所示),求大樓部分樓體CD的高度約為多少米?(精確到1米)(參考數(shù)據(jù):°≈,°≈,°≈,≈,≈第22題圖解：設樓高CE為x米,∵在Rt△AEC中,∠CAE＝45°,∴AE＝CE＝x,∵AB＝20,∴BE＝x－20,在Rt△CEB中,CE＝°≈2(x－20),∴2(x－20)＝x,解得x＝40,在Rt△DAE中,DE＝AEtan30°＝,∴CD＝CE－DE＝40－≈17(米).答:大樓部分樓體CD的高度約為17米.8.（2022·岳陽）慈氏塔位于岳陽市城西洞庭湖邊，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如圖，小亮的目高CD為米，他站在D處測得塔頂?shù)难鼋恰螦CG為45°，小琴的目高EF為米，她站在距離塔底中心B點a米遠的F處，測得塔頂?shù)难鼋恰螦EH為°．（點D、B、F在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：°≈，°≈，°≈）（1）求小亮與塔底中心的距離BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮與小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．解：（1）在Rt△AEH中，∠AEH=°，．∴AH=EH·°=BF·°=．∵GH=GB－HB=CD－EF=－=，∴AG=AH－GH=－．在Rt△ACG中，∵∠ACG=45°，∴CG=AG=－．∴BD=CG=－．所以小亮與塔底中心的距離BD為（－）米．（2）∵DF=BD+BF，∴－＋a=52．解得：a=18∴AB=AH＋BH=＋=×18＋=（米）．所以慈氏塔的高度AB為米．9（2022·懷化）如圖，為測量一段筆直自西向東的河流的河面寬度，小明在南岸B處測得對岸A處一棵柳樹位于北偏東60°方向，他以每秒米的速度沿著河岸向東步行40秒后到達C處，此時測得柳樹位于北偏東30°方向，試計算此段河面的寬度.解：過A點作AD⊥BC，垂足為D.根據(jù)題意可得∠ABC=30°，∠ACD=60°，BC=40×=60米，在Rt△ABD中，BD==AD，在Rt△ACD中，CD==AD，∴BC=BD-CD=AD=60，∴AD=30.所以此段河面的寬度為30.10.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39第二批一、選擇題3.（2022·河北）如圖，從C點觀測點D的仰角是（）A.∠DABB.∠DCEC.∠DCAD.∠ADC第3題圖【答案】B【解析】利用“視線在水平線上方，與水平線的夾角叫仰角”去判斷.【知識點】仰角與俯角3.（2022·廣州）如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，斜坡的傾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=2A．75m B．50m C．30m D．12m【答案】A【解析】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC=25，BC＝30m，∴tan∠BAC解得AC＝75，故選：A．【知識點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題11.（2022·宜昌）如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，則sin∠BAC的值為（）A．43 B．34 C．35【答案】D【解析】如圖，過C作CD⊥AB于D，則∠ADC＝90°，∴AC=A∴sin∠BAC=CD故選：D．【知識點】解直角三角形二、填空題15．（2022·廣東）如圖，某校教學樓與實驗樓的水平間距米，在實驗樓頂部點測得教學樓頂部點的仰角是，底部點的俯角是，則教學樓的高度是______米（結果保留根號）.【答案】【解析】本題考查利用特殊角的三角函數(shù)解直角三角形,因為CD=BE=15,∠ABE=30°,∠CBE=45°,所以AE=15,CE=BE=15,所以AC=AE+CE=15+15.【知識點】解直角三角形三角函數(shù)17.（2022·綿陽）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝102，AC＝55，則△ABC的面積是．【答案】75或25．【解析】過點A作AD⊥BC，垂足為D，如圖所示．在Rt△ABD中，AD＝AB?sinB＝10，BD＝AB?cosB＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝55，∴CD=A∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC=12BC?故答案為：75或25．【知識點】解直角三角形及其應用20．（2022·黔三州）三角板是我們學習數(shù)學的好幫手.將一對直角三角板如圖20放置，點C在FD的延長線上，點B在ED上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，則CD的長度是.【答案】15-5．【解題過程】過點B作BM⊥FD于點M，

在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，

∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10，

∵AB∥CF，

∴BM=BC×sin30°=10×=5，

CM=BC×cos30°=15，

在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，

∴∠EDF=45°，

∴MD=BM=5，

∴CD=CM-MD=15-5，

故答案為15-5．【知識點】；；銳角三角函數(shù)概念.13．（2022·黃石）如圖，一輪船在處觀測燈塔位于南偏西30°方向，該輪船沿正南方向以15海里/小時的速度勻速航行2小時后到達處，再觀測燈塔位于南偏西60°方向，若該輪船繼續(xù)向南航行至燈塔最近的位置處，此時輪船與燈塔之間的距離為________海里（結果保留根號）【答案】15【解析】根據(jù)“若該輪船繼續(xù)向南航行至燈塔P最近的位置T處，此時輪船與燈塔之間的距離為PT”，得PT⊥MN，利用銳角三角函數(shù)關系進行求解，由題意得，MN＝15×2＝30海里，∵∠PMN＝30°，∠PNT＝60°，∴∠MPN＝∠PMN＝30°，∴PN＝MN＝30海里，∴PT＝PN?sin∠PNT＝15海里．【知識點】解直角三角形的應用三、解答題19．（2022·河南）數(shù)學興趣小組到黃河風景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進21m到達B處，測得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度.(精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin34°≈，cos34°≈，tan34°≈，)【思路分析】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意構造直角三角形.先在Rt△ACE中，利用三角函數(shù)求出AC，然后求出BC的長，最后在Rt△BCD中，利用三角函數(shù)求出CD的長，從而可求DE的長.【解題過程】解：由題意可得：CE=55,AB=21，∠A=34°，∠CBD=60°;在Rt△ACE中：∵tanA==即tan34°=≈∴AC≈∴BC=AC-AB≈=在Rt△BCD中：∵tan∠CBD==即tan60°=≈∴CD≈答：炎帝塑像DE的高度約為51m.【知識點】解直角三角形的應用，仰角和俯角20．（2022·深圳）如圖所示，某施工隊要測量隧道長度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工隊站在點D處看向B，測得仰角45°，再由D走到E處測量，DE∥AC，DE=500米，測得仰角為53°，求隧道BC長.（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）.【思路分析】作EM⊥AC于點M，構建直角三角形，解直角三角形解決問題．【解題過程】如圖，△ABD是等腰直角三角形，AB=AD=600．作EM⊥AC于點M，則AM=DE=500，∴BM=100．在Rt△CEM中，tan53°=，即=，∴CM=800，∴BC=CM－BM=800－100=700（米），∴隧道BC的長度為700米．答：隧道BC的長度為700米．【知識點】解直角三角形25.（2022·宿遷）宿遷市政府為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖①是某品牌共享單車放在水平地面上的實物圖，圖②是其示意圖，其中AB、CD都與地面l平行，車輪半徑為32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐墊E與點B的距離BE為15cm．（1）求坐墊E到地面的距離；（2）根據(jù)經(jīng)驗，當坐墊E到CD的距離調(diào)整為人體腿長的時，坐騎比較舒適．小明的腿長約為80cm，現(xiàn)將坐墊E調(diào)整至坐騎舒適高度位置E'，求EE′的長．（結果精確到，參考數(shù)據(jù)：sin64°≈，cos64°≈，tan64°≈）【解題過程】解：（1）如圖1，過點E作EM⊥CD于點M，由題意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈（cm），則單車車座E到地面的高度為+32≈（cm）；（2）如圖2所示，過點E′作E′H⊥CD于點H，由題意知E′H＝80×＝64，則E′C=E'H∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣＝（cm）．【知識點】解直角三角形的應用24.（2022·南京）如圖，山頂有一塔AB，塔高33m．計劃在塔的正下方沿直線CD開通穿山隧道EF．從與E點相距80m的C處測得A、B的仰角分別為27°、22°，從與F點相距50m的D處測得A的仰角為45°．求隧道EF的長度．（參考數(shù)據(jù)：tan22°≈，tan27°≈．）【思路分析】延長AB交CD于H，利用正切的定義用CH表示出AH、BH，根據(jù)題意列式求出CH，計算即可．【解題過程】解：延長AB交CD于H，則AH⊥CD，在Rt△AHD中，∠D＝45°，∴AH＝DH，在Rt△AHC中，tan∠ACH=AH∴AH＝CH?tan∠ACH≈，在Rt△BHC中，tan∠BCH=BH∴BH＝CH?tan∠BCH≈，由題意得，﹣＝33，解得，CH＝300，∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120，∴AH＝AB+BH＝153，∴DH＝AH＝153，∴HF＝DH﹣DF＝103，∴EF＝EH+FH＝323，答：隧道EF的長度為323m．【知識點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題24.（2022·連云港）如圖，海上觀察哨所位于觀察哨所正北方向，距離為25海里．在某時刻，哨所與哨所同時發(fā)現(xiàn)一走私船，其位置位于哨所北偏東的方向上，位于哨所南偏東的方向上．（1）求觀察哨所與走私船所在的位置的距離；（2）若觀察哨所發(fā)現(xiàn)走私船從處以16海里小時的速度向正東方向逃竄，并立即派緝私艇沿北偏東的方向前去攔截，求緝私艇的速度為多少時，恰好在處成功攔截．（結果保留根號）（參考數(shù)據(jù)：，，，【思路分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再解，利用正弦函數(shù)定義得出即可；（2）過點作于點，易知，、、在一條直線上．解，求出、．解中，求出、，得出．設緝私艇的速度為海里小時，根據(jù)走私船行駛所用的時間等于緝私艇行駛所用的時間列出方程，解方程即可．【解題過程】解：（1）在中，．在中，，（海里）．答：觀察哨所與走私船所在的位置的距離為15海里；（2）過點作于點，由題意易知，、、在一條直線上．在中，，．在中，，，，．設緝私艇的速度為海里小時，則有，解得．經(jīng)檢驗，是原方程的解．答：當緝私艇的速度為海里小時時，恰好在處成功攔截．【知識點】解直角三角形的應用方向角問題20．（2022·陜西）（本題7分）如圖，兩座建筑物的水平距離BC為m，從C點測得A點的仰角為，從A點測得D點的俯角為，求兩座建筑物的高度（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．第14題答圖第14題答圖【思路分析】通過作輔助線，構造一個矩形，利用銳角三角函數(shù)解決問題．【解題過程】解：過點D作，垂足為E，所以由已知，可得，，因為，所以四邊形BCDE為矩形，所以，，在Rt△ABC中，因為，，在Rt△ADE中，因為，，所以，所以，所以兩座建筑物的高度分別為80m，35m．【知識點】矩形的判定定理和性質(zhì)定理、銳角三角函數(shù)、平行線的性質(zhì)．20．(2022·海南)圖9是某區(qū)域的平面示意圖,碼頭A在觀測站B的正東方向,碼頭A的北偏西60°方向上有一小島C,小島C在觀測站B的北偏西15°方向上,碼頭A到小島C的距離AC為10海里.(1)填空:∠BAC＝______度,∠C＝______度;(2)求觀測站B到AC的距離BP(結果保留根號).【思路分析】任務一:根據(jù)平均數(shù)的計算方法求值即可;任務二:設出旗桿高度,表示出CE,DE的長度,得到方程,即可解得;任務三:根據(jù)實際情況分析原因.【解題過程】(1)∵小島C在碼頭A的北偏西60°方向上,∴∠BAC＝30°,在△ABC中,∠ABC＝90°+15°＝105°,∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°;(2)設BP＝x海里,則在Rt△BCP中,CP＝BP＝x,在Rt△ABP中,AP＝BP＝x,∵AC＝10,∴x+x＝10,∴x＝5－5,答:觀測站B到AC的距離為(5－5)海里.【知識點】三角函數(shù)的應用25．（2022·蘭州）某數(shù)學課題研究小組針對蘭州市住房窗戶“如何設計遮陽蓬”這一課題進行了探究，過程如下：問題提出：如圖1是某住戶窗戶上方安裝的遮陽蓬，要求設計的遮陽蓬能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi).方案設計：如圖2，該數(shù)學課題研究小組通過調(diào)查研究設計了垂直于墻面AC的遮陽蓬CD.數(shù)據(jù)收集：通過查閱相關資料和實際測量：蘭州市一年中，夏至日這一天的正午時刻太陽光線DA與遮陽蓬CD的夾角∠ADC最大（∠ADC=°）；冬至日這一天的正午時刻，太陽光線DB與遮陽蓬CD的夾角∠BDC最?。ā螧DC=°）.窗戶的高度AB=2m.問題解決：根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，求遮陽蓬CD的長.（結果精確到，參考數(shù)據(jù)：°≈，°≈，°≈，°≈，°≈，°≈）【思路分析】根據(jù)正切的定義，分別用CD表示出BC、AC，根據(jù)題意列式計算即可．【解題過程】解：在Rt△DCB中，tan∠BDC=，則BC=CD?tan∠BDC≈，在Rt△DCA中，tan∠ADC=，則AC=CD?tan∠ADC≈，由題意得，AC-BC=AB，即，解得，CD≈，答：遮陽蓬CD的長約為．【知識點】解直角三角形及其應用19.（2022·遵義）某地為打造宜游環(huán)境，對旅游道路進行改造，如圖是風景秀美的觀景山，從山腳B到山腰D沿斜坡已建成步行道，為方便游客登頂觀景，欲從D到A修建電動扶梯，經(jīng)測量，山高AC=154米，步行道BD=168米，∠DBC=30°，在D處測得山頂A的仰角為45°，求電動扶梯DA的長(結果保留根號）【思路分析】如圖，過點D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，則Rt△BDN中BD=168，∠DBC=30°，可求DN的長，由于DN=CM，所以AM可求，Rt△ADM中,∠ADM=45°，進而可求出AD的長【解題過程】解：如圖，過點D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，則Rt△BDN中BD=168，∠DBC=30°，∴DN=84，∵DN=CM，∴CM=84∵AC=154，∴AM=70，∴Rt△ADM中,∠ADM=45°，∴AD=答：求電動扶梯DA的長為米.【知識點】解直角三角形22.（2022·遵義）將在同一平面內(nèi)如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點A旋轉，連接BC,DE，探究：S△ABC與S△ADE的比是否為定值兩塊三角板是完全相同的等腰三角形時，S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由（圖①）一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30°角的直角三角板時，S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由（圖②）兩塊三角板中，∠BAE+∠CAD=180°，AB=a,AE=b,AC=m,AD=n(a,b,m,n為常數(shù)），S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，用含a,b,m,n的式子表示此定值（直接寫出結論，不寫推理過程），如果不是，說明理由（圖③）【思路分析】分別過點B作BN⊥AC于點M，DN⊥AE于點N，則S△ABC=,S△ADE=,根據(jù)同角的余角（或補角）相等，可以證明∠BAM=∠DAE,∴BM=sin∠BAM,DN=sin∠DAE,所以S△ABC：S△ADE=（AC）:（AE）,都是固定值.【解題過程】解：（1）是固定值1:1過點B作BN⊥AC于點M，DN⊥AE于點N，則S△ABC=,S△ADE=,∵∠BAM+∠EAM=90°，∠DAE+∠EAM=90°∴∠BAM=∠DAE,∵BM=sin∠BAM,DN=sin∠DAE,∴S△ABC：S△ADE=（AC）:（AE）∵△ABC和△ACD是完全相同的等腰直角三角形，∴AB=AC=AD=AE,∴S△ABC：S△ADE=1:1（2）是固定值1:過點B作BN⊥AC于點M，DN⊥AE于點N，則S△ABC=,S△ADE=,∵∠BAM+∠EAM=90°，∠DAE+∠EAM=90°∴∠BAM=∠DAE,∵BM=sin∠BAM,DN=sin∠DAE,∴S△ABC：S△ADE=（AC）:（AE）∵△ABC是等腰直角三角板，△ACD是另一塊是含有30°角的直角三角板∴AB=AC=AE，AD=AE,∴S△ABC：S△ADE=1:(3)是固定值(am):(bn)過點B作BN⊥AC于點M，DN⊥AE于點N，則S△ABC=,S△ADE=,∵∠BAM+∠EAM+∠DAC=180°，∠DAE+∠EAM+∠DAC=180°∴∠BAM=∠DAE,∵BM=sin∠BAM,DN=sin∠DAE,∴S△ABC：S△ADE=（AC）:（AE）∵AB=a,AE=b,AC=m,AD=n∴S△ABC：S△ADE=(am):(bn)【知識點】三角函數(shù)，解直角三角形，同角的余角或補角相等23.（2022?廣安）如圖，某數(shù)學興趣小組為測量一顆古樹和教學樓的高，先在處用高米的測角儀測得古樹頂端的仰角為，此時教學樓頂端恰好在視線上，再向前走10米到達處，又測得教學樓頂端的仰角為，點、、三點在同一水平線上．（1）求古樹的高；（2）求教學樓的高．（參考數(shù)據(jù)：，【思路分析】（1）由知，據(jù)此得；（2）設米，則米，由知，據(jù)此得，解之求得的值，代入計算可得．【解題過程】解：（1）在中，，，，，古樹的高為米；（2）在中，，，設米，則米，在中，，，，，解得：，，答：教學樓的高約為25米．【知識點】解直角三角形的應用仰角俯角問題21.（2022·宜賓）如圖，為了測得某建筑物的高度，在處用高為1米的測角儀，測得該建筑物頂端的仰角為，再向建筑物方向前進40米，又測得該建筑物頂端的仰角為．求該建筑物的高度．（結果保留根號）【思路分析】設米，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，利用正切的定義用表示出，根據(jù)題意列方程，解方程得到答案．【解題過程】解：設米，在中，，，在中，，則，由題意得，，即，解得，，，答：該建筑物的高度為米．【知識點】解直角三角形的應用仰角俯角問題22.（2022·資陽）如圖，南海某海域有兩艘外國漁船A、B在小島C的正南方向同一處捕魚．一段時間后，漁船B沿北偏東30°的方向航行至小島C的正東方向20海里處．（1）求漁船B航行的距離；（2）此時，在D處巡邏的中國漁政船同時發(fā)現(xiàn)了這兩艘漁船，其中B漁船在點D的南偏西60°方向，A漁船在點D的西南方向，我漁政船要求這兩艘漁船迅速離開中國海域．請分別求出中國漁政船此時到這兩艘外國漁船的距離．（注：結果保留根號）【思路分析】（1）由題意得到∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結論；（2）過B作BE⊥AE于E，過D作DH⊥AE于H，延長CB交DH于G，得到四邊形AEBC和四邊形BEHG是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BE＝GH＝AC＝203，AE＝BC＝20，設BG＝EH＝x，求得AH＝x+20，解直角三角形即可得到結論．【解題過程】解：（1）由題意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，答：漁船B航行的距離是40海里；（2）過B作BE⊥AE于E，過D作DH⊥AE于H，延長CB交DH于G，則四邊形AEBC和四邊形BEHG是矩形，∴BE＝GH＝AC＝203，AE＝BC＝20，設BG＝EH＝x，∴AH＝x+20，由題意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，∴DG=33x，DH＝AH，∴203+33x＝x∴BG＝203，AH＝20+203，∴BD=BG32=40，AD=2AH答：中國漁政船此時到外國漁船B的距離是40海里，到外國漁船A的距離是（20222+6【知識點】解直角三角形的應用﹣方向角問題22.（2022·甘肅）為了保證人們上下樓的安全，樓梯踏步的寬度和高度都要加以限制．中小學樓梯寬度的范圍是含，高度的范圍是（含．如圖是某中學的樓梯扶手的截面示意圖，測量結果如下：，分別垂直平分踏步，，各踏步互相平行，，，，試問該中學樓梯踏步的寬度和高度是否符合規(guī)定．（結果精確到，參考數(shù)據(jù)：，【思路分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求得和的長，然后計算出該中學樓梯踏步的寬度和高度，再與規(guī)定的比較大小，即可解答本題．【解題過程】解：連接，作于點，，，分別垂直平分踏步，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，該中學樓梯踏步的高度符合規(guī)定，，，該中學樓梯踏步的寬度符合規(guī)定，由上可得，該中學樓梯踏步的寬度和高度都符合規(guī)定．【知識點】解直角三角形的應用坡度坡角問題20．（2022·隨州）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船A、B同時收到某事故漁船的求救訊息，已知此時救助船B在A的正北方向，事故漁船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故漁船P與救助船A相距120海里．（1）求收到求救訊息時事故漁船偏P與救助船B之間的距離；（2）若救助船A，B分別以40海里／小時、30海里／小時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往事故漁船P處搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達．【思路分析】此題考查的是解直角三角形的實際應用，所以要構造直角三角形．（1）過P點作PH⊥AB，然后在Rt△PHA和Rt△PHB中，根據(jù)題中所提供的數(shù)據(jù)，分別運用三角形函數(shù)求出PB的長；（2）用PA和PB的長分別除以兩救助船的速度，便可算出時間，比較大小便可判斷出哪艘船先到．【解題過程】解：（1）過P點作PH⊥AB，由題意得∠A＝30°，∠B＝45°，在Rt△PHA中，∵AP＝120，∠A＝30°，∴PH＝PA＝60，在Rt△PHB中，∵∠B＝45°，sinB＝，∴PB＝PH＝60（海里）．答：收到求救訊息時事故漁船偏P與救助船B之間相距60海里．（2）依題意可得A船所需時間為＝＝3（小時），B船所需時間為＝＝2（小時）因為＞，所以B船先到達．【知識點】銳角三角形函數(shù)；22.（2022·天水）某地的一座人行天橋如圖所示，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1：1，文化墻PM在天橋底部正前方8米處（PB的長），為了方便行人推車過天橋，有關部門決定降低坡度，使新坡面的坡度為1：3．（參考數(shù)據(jù)：2=，3（1）若新坡面坡角為α，求坡角α度數(shù)；（2）有關部門規(guī)定，文化墻距天橋底部小于3米時應拆除，天橋改造后，該文化墻PM是否需要拆除？請說明理由．【思路分析】（1）根據(jù)新的坡度，可以求得坡角的正切值，從而可以解答本題；（2）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)可以求得PA的長度，然后與3比較大小即可解答本題．【解題過程】解：（1）∵新坡面坡角為α，新坡面的坡度為1：3，∴tanα=1∴α＝30°；（2）該文化墻PM不需要拆除，理由：作CD⊥AB于點D，則CD＝6米，∵新坡面的坡度為1：3，∴tan∠CAD=CD解得，AD＝63米，∵坡面BC的坡度為1：1，CD＝6米，∴BD＝6米，∴AB＝AD﹣BD＝（63又∵PB＝8米，∴PA＝PB﹣AB＝8﹣（63-6）＝14﹣63≈∴該文化墻PM不需要拆除．【知識點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題22.（2022·武威）如圖①是圖②是其側面示意圖（臺燈底座高度忽略不計），其中燈臂，燈罩，燈臂與底座構成的．可以繞點上下調(diào)節(jié)一定的角度．使用發(fā)現(xiàn)：當與水平線所成的角為時，臺燈光線最佳．現(xiàn)測得點到桌面的距離為．請通過計算說明此時臺燈光線是否為最佳？（參考數(shù)據(jù)：?。舅悸贩治觥咳鐖D，作于，于，于．解直角三角形求出即可判斷．【解題過程】如圖，作于，于，于．∵，∴四邊形是矩形，∴，在中，∵，，，，，在中，，∴，∴此時臺燈光線為最佳．【知識點】解直角三角形及其應用21.（2022·鄂州）為積極參與鄂州市全國文明城市創(chuàng)建活動，我市某校在教學樓頂部新建了一塊大型宣傳牌，如下圖．小明同學為測量宣傳牌的高度AB，他站在距離教學樓底部E處6米遠的地面C處，測得宣傳牌的底部B的仰角為60°，同時測得教學樓窗戶D處的仰角為30°（A、B、D、E在同一直線上）．然后，小明沿坡度i＝1：的斜坡從C走到F處，此時DF正好與地面CE平行．（1）求點F到直線CE的距離（結果保留根號）；（2）若小明在F處又測得宣傳牌頂部A的仰角為45°，求宣傳牌的高度AB（結果精確到米，2≈，3【思路分析】（1）過點F作FG⊥EC于G，依題意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°；得到四邊形DEFG是矩形；根據(jù)矩形的性質(zhì)得到FG＝DE；解直角三角形即可得到結論；（2）解直角三角形即可得到結論．【解題過程】解：（1）過點F作FG⊥EC于G，依題意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°；∴四邊形DEFG是矩形；∴FG＝DE；在Rt△CDE中，DE＝CE?tan∠DCE；＝6×tan30o＝23（米）；∴點F到地面的距離為23米；（2）∵斜坡CFi＝1：．∴Rt△CFG中，CG＝＝3×＝33∴FD＝EG＝33+在Rt△BCE中，BE＝CE?tan∠BCE＝6×tan60o＝63．∴AB＝AD+DE﹣BE．＝33+6+3-3答：宣傳牌的高度約為米．【知識點】解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題；解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題19（2022·菏澤）由我國完全自主設計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2022年5月成功完成第一次海上試驗任務．如圖，航母由西向東航行，到達A處時，測得小島B位于它的北偏東30°方向，且與航母相距80海里再航行一段時間后到達C處，測得小島B位于它的西北方向，求此時航母與小島的距離BC的長．【思路分析】過點C作CD⊥AB于點D，根據(jù)題意得到∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AC＝80，解直角三角形即可得到結論．【解題過程】解：過點C作CD⊥AB于點D，由題意，得：∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AC＝80，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，∴tan60°=BD∴AD=BD在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴tan45°=BD∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD=BD3∴BD＝120﹣403，∴BC=2BC＝1202-40答：BC的距離是（1202-406【知識點】解直角三角形的應用﹣方向角問題22.（2022·菏澤）魯南高鐵臨沂段修建過程中需要經(jīng)過一座小山．如圖，施工方計劃沿AC方向開挖隧道，為了加快施工速度，要在小山的另一側D（A、C、D共線）處同時施工．測得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的長．【思路分析】根據(jù)∠CAB＝30°，AB＝4km，可以求得BE的長和∠ABE的度數(shù)，進而求得∠EBD的度數(shù)，然后利用勾股定理即可求得BD的長．【解題過程】解：作BE⊥AD于點E，∵∠CAB＝30°，AB＝4km，∴∠ABE＝60°，BE＝2km，∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝2km，∴BD=22+2即BD的長是22km．【知識點】解直角三角形的應用第三批一、選擇題6．（2022·長春）如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子AB的長是3米.若梯子與地面的夾角為α，則梯子頂端到地面的距離C為α米α米C.米D.米【答案】A.【解答過程】由題意可得：sinα=，故BC=3sinα（m）．

故選：A．【知識點】解直角三角形的應用二、填空題16．（2022·徐州）如圖，無人機于空中A處測得某建筑頂部B處的仰角為45°，測得該建筑底部的C處的俯角為17°，若無人機的飛行高度AD為62m，則該建筑的高度BC為_________m．（參考數(shù)據(jù)：sin17°≈，cos17°≈，tan17°≈）答案：262解析：本題考查了解直角三角形的應用，過A作AE⊥BC于E，則四邊形ADCE為矩形，在Rt△ACD，∵AD=62，∠ACD=∠EAC=17°，∴AE=CD===200，∵AE⊥BE，∠BAE=45°，∴BE=AE=200，∴BC=CE＋BE＝AD＋BE＝62＋200＝２６２（m）第16題答圖15.（2022·仙桃）如圖，為測量旗桿AB的高度，在教學樓一樓點C處測得旗桿頂部的仰角為60°，在四樓點D處測得旗桿頂部的仰角為30°，點C與點B在同一水平線上．已知CD=，則旗桿AB的高度為m．EE答案：解析：本題考查了解直角三角形的應用，過點A作AE⊥CD垂足為E，根據(jù)題意可知∠ADE=600,∠ACE=300，所以AD=CD=，在Rt△ADE中，,所以DE=,所以AB=AE=+=(m).因此本題填．13．（2022·孝感）如圖，在P處利用測角儀測得某建筑物AB的頂端B點的仰角為60°，點C的仰角為45°，點P到建筑物的距離為PD=20米，則BC=☆米.答案：20-20解析：本題考查了解直角三角形的應用，因為PD=20米，∠CPD=45°，∠BPD=460°，所以CD=20米，BD=20米，所以BC=20-20=20（-1）米．17.（2022·赤峰）如圖，一根豎直的木桿在離地面處折斷，木桿頂端落在地面上，且與地面成38°角，則木桿折斷之前高度約為m．（參考數(shù)據(jù)：sin38°≈，cos38°≈，tan38°≈）【答案】【解析】如圖：AC＝，∠B＝38°，∴AB=AC∴木桿折斷之前高度＝AC+AB＝+5＝（m）故答案為【知識點】解直角三角形的應用三、解答題（第21題圖）21．（2022·郴州）如圖示巡邏船在A處測燈塔C在偏東45°方向上，距離A處30k在燈塔C的正南方向B處有一漁船發(fā)出求救信號巡船接到指示后立即前往施救已知B處在A處的偏東60°方上，這時巡邏船與漁船的距離是多少？（精確到k．參考數(shù)據(jù)：≈，≈）（第21題圖）答案：解：延長CB交東西方向線于點D，則AD＝AC·sin45°，AD＝AB·sin60°，∴AC·sin45°＝AB·sin60°，由于AC＝30km，sin45°＝，sin60°＝，∴AB＝＝＝10≈（km）答：巡邏船與漁船的距離是．21．（2022·永州）(本小題8分)為了測量某山(如圖所示)的高度，甲在山頂A測得C處的俯角為45°，D處的俯角為30°，乙在山下測得C，D之間的距離為400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直線上，求山高AB．(可能用到的數(shù)據(jù)：≈1．414，≈1．732)解：由題意知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，設AB＝x，則BC＝x，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，∴tan30°＝，∴＝，解得x=200＋200≈．答：山高AB為米．20.（2022·呼和浩特）如圖，已知甲地在乙地的正東方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要繞行丙地.已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距離甲地460km，丙地位于乙地北偏東66°方向，現(xiàn)要打通穿山隧道，建成甲乙兩地直達高速公路，如果將甲、乙、丙三地當作三個點A、B、C，可抽象成圖（2）所示的三角形，求甲乙兩地之間直達高速線路的長AB.（結果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可）.解：過點C作CD⊥AB，垂足為D.在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=30°，∴AD=AC·sin∠ACD=460×=230，CD=AC·cos∠ACD=460×=230，在Rt△BCD中，∠BDC=90°，tan∠BCD=，且∠BCD=66°，∴BD=CD·tan∠BCD=230tan66°，∴AB=AD+BD=23