高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題六數(shù)列1數(shù)列的概念及表示綜合集訓(xùn)含解析新人教A版

PAGEPAGE9專題六數(shù)列備考篇【考情探究】課標(biāo)解讀考情分析備考指導(dǎo)主題內(nèi)容一、數(shù)列的概念及其表示1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).1.本專題內(nèi)容的考題以中等難度偏下為主.題型以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn),如2020新高考Ⅰ第18題(解答題).2.考查內(nèi)容主要體現(xiàn)在(1)以等差、等比數(shù)列的概念和性質(zhì),通項公式和求和公式為載體,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.(2)需關(guān)注以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列問題.數(shù)列與其他專題知識結(jié)合考查,如數(shù)列與函數(shù)、不等式、統(tǒng)計等進(jìn)行綜合考查,涉及內(nèi)容較為全面,題型新穎、方法靈活多變.1.處理等差、等比數(shù)列的基本問題時,要靈活利用等差、等比數(shù)列的定義,通項公式及前n項和公式,利用基本量求解.2.數(shù)列的通項與求和是高考?？純?nèi)容,要靈活掌握數(shù)列求和的各種方法.3.重視方程、函數(shù)、分類討論思想的應(yīng)用.二、等差數(shù)列1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.三、等比數(shù)列1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.四、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用1.掌握數(shù)列求和的幾種常見方法.2.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.【真題探秘】解題技巧在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中,共有a1,an,q,n,Sn五個量,已知其中的三個,就可以求其余的兩個,求解時,一般將已知轉(zhuǎn)化為a1,q的關(guān)系,然后利用方程思想求解.核心考點等比數(shù)列通項公式及基本量的運(yùn)算,數(shù)列求和,歸納推理.核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理.知能拓展等差數(shù)列中的數(shù)形結(jié)合(1)等差數(shù)列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d可變形為an=dn+(a1-d).若d=0,則an=a1是常數(shù)列;若d≠0,則an是關(guān)于n的一次函數(shù).點(n,an)是直線y=dx+(a1-d)上的一群孤立的點.單調(diào)性:d>0時,{an}為單調(diào)遞增數(shù)列;d<0時,{an}為單調(diào)遞減數(shù)列.(2)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn可表示為Sn=d2n2+a1-d2n,令A(yù)=d2,B=a1-d2,則Sn=An2+Bn.當(dāng)A≠0,即d≠0時,Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),(n,Sn)在二次函數(shù)y=Ax2+Bx的圖象上,為拋物線y=Ax2+Bx上的一群孤立的點.[教師專用題組]1.真題多維細(xì)目表考題涉分題型難度考點考向解題方法核心素養(yǎng)2020新高考Ⅰ,145填空題易等差數(shù)列及其前n項和求等差數(shù)列的前n項和定義法公式法數(shù)學(xué)運(yùn)算2020北京,84選擇題中等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用等差數(shù)列前n項積的最值定義法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2020課標(biāo)Ⅰ文,165填空題中數(shù)列的求和奇、偶項數(shù)列求和公式法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2020新高考Ⅰ,1812解答題中等比數(shù)列的基本量運(yùn)算求通項公式及分組轉(zhuǎn)化法求和公式法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2020課標(biāo)Ⅰ理,1712解答題中等比數(shù)列的基本量運(yùn)算錯位相減法求和公式法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2020天津,1915解答題中數(shù)列的綜合應(yīng)用求通項公式,證明不等式,數(shù)列求和公式法直接證明數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2.命題規(guī)律與探究1.從2020年新高考情況來看,本專題內(nèi)容的考題以容易題為主,題型以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),也在解答題第18題位置出現(xiàn),分值約為17分,比往年要高.2.本專題內(nèi)容在高考試題中多以等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算為載體,以數(shù)列遞推關(guān)系形式表現(xiàn),考查數(shù)列求和(如新高考Ⅰ卷第14題)及數(shù)列最值(北京卷第8題)等綜合問題.3.在處理等差、等比數(shù)列基本量運(yùn)算,遞推關(guān)系求通項,數(shù)列求和等問題時,常用公式法.4.本章重點考查的學(xué)科核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理.3.命題變化與趨勢1.高考對本專題內(nèi)容的考查較為穩(wěn)定,考查方式及題目難度在2020年新高考Ⅰ卷中有所變化(如新高考Ⅰ卷第18題第(2)問,需要理解數(shù)列{bm}的意義才能準(zhǔn)確求解,不再是傳統(tǒng)的數(shù)列求和問題),天津卷中變化不大,仍然是等差(比)均有考查,第(3)問構(gòu)造新數(shù)列求和.2.考查內(nèi)容主要體現(xiàn)在以下方面:①等差、等比數(shù)列的概念和性質(zhì),要重視教材習(xí)題(如2020年新高考Ⅰ卷第14題,其實就是人教A版必修5第46頁中A組第6題的簡單變式);②數(shù)列求和.常以這些內(nèi)容為考查重點,同時需關(guān)注以數(shù)學(xué)文化為背景的數(shù)列問題、數(shù)列與其他章節(jié)知識結(jié)合考查的問題,如數(shù)列與函數(shù)等知識結(jié)合.3.在不同背景下抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)的方法值得關(guān)注.應(yīng)強(qiáng)化在知識的形成過程、知識的遷移中滲透學(xué)科素養(yǎng).§6.1數(shù)列的概念及表示基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點數(shù)列的概念及表示1.已知數(shù)列5,11,17,23,29,…,則55是它的()A.第19項B.第20項C.第21項D.第22項答案C2.已知數(shù)列{an}滿足:?m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=12,那么a5= (A.132B.116C.14答案A3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,Sn=(n+1)an2,則A.2016B.2017C.4032D.4034答案B4.在數(shù)列{an}中,a1=-14,an=1-1an-1(n≥2,n∈N*),則aA.-14B.5C.45答案B5.在數(shù)列{an}中,a1=0,an+1=3+an1-3a答案0[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點數(shù)列的概念及表示1.(多選題)已知數(shù)列{an}滿足an+1=1-1an(n∈N*),且a1=2,則 (A.a3=-1B.a2019=1C.S6=3D.2S2019=2019答案ACD由數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=1-1an(n∈N*),可得a2=12,a3=-1,a4=2,a5=12,……,所以an+3=an,數(shù)列的周期為3,所以a2019=a672×3+3=a3=-1,S6=3,S2019=20192.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2-2n+2,則數(shù)列{an}的通項公式為 ()A.an=2n-3B.an=2n+3C.an=1,n=12n-答案C當(dāng)n=1時,a1=S1=1;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-3,由于n=1時a1的值不適合n≥2的通項公式,故選C.易錯警示利用an=Sn-Sn-1求通項公式時,應(yīng)注意n≥2這一前提條件,易忽視驗證n=1致誤.3.若數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an1+3an,則這個數(shù)列的第10項a10A.28B.29C.128D.答案Can+1=an1+3an兩邊取倒數(shù)得1an+1=1+3anan,∴1an+1-1an=3,因為a1=1,所以數(shù)列1an表示首項為1,公差為3的等差數(shù)列,所以1an=1+(4.數(shù)列{an}的通項公式為an=nn2+90,則數(shù)列{an}中的最大項的值是A.310B.19C.119D.答案C令f(x)=x+90x(x>0),當(dāng)x∈(0,310)時,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(310,+∞)時,f(x)單調(diào)遞增.an=1n+90n,n∈N*,不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=9或n=10時,a9=a5.數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a1=1,an+1=3Sn(n∈N*),則有 ()A.Sn=4n-1B.{Sn}為等比數(shù)列C.an=3×4n-1D.an=1答案ABD∵an+1=3Sn,∴Sn+1-Sn=3Sn,∴Sn+1=4Sn,又∵S1=a1=1≠0,∴{Sn}是首項為1,公比為4的等比數(shù)列,∴Sn=4n-1.當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=4n-1-4n-2=3×4n-2,又當(dāng)n=1時,不符合上式,∴an=1綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一利用Sn與an的關(guān)系求通項公式1.(2021屆安徽太和一中開學(xué)摸底檢測)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,若(1-2x)2021=b0+b1x+b2x2+…+b2021x2021,數(shù)列{an}的首項a1=b12+b222+…+b202122021,an+1=Sn·SnA.-12021B.12021C.2021答案A2.(2020重慶直屬校(重慶第八中學(xué)等)3月月考)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn2-(n2+n-2)Sn-2(n2+n)=0,n∈N*,則數(shù)列1anan+1的前答案505考法二由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式3.(2019廣東廣雅中學(xué)模擬,7)在數(shù)列{an}中,已知a1=2,an+1=an3an+1(n∈N*),則{anA.an=24n-3B.an=26n-5C.an答案B4.(2019河南濮陽重點高中聯(lián)考,9)已知數(shù)列{an}的首項a1=35,且滿足an-an-1=2n-1(n∈N*,n≥2),則ann的最小值為(A.234B.595C.353答案C5.(2019山西盂縣一中模擬,8)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),則a18= ()A.259B.269C.3答案B6.(2020新教材地區(qū)第一次月考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an>0,an+1-an=1,那么an<32成立的n答案5考法三數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項7.(2019河南中原名校第三次聯(lián)考,18)設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*).(1)求a1,a2;(2)若bn=n(2-n)(an-1),求{bn}的最大項,并寫出取最大項的項數(shù).[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法一利用Sn與an的關(guān)系求通項公式1.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,Sn=13an+1-1,則an=答案1解析由a1=1,Sn=13an+1-1,可得a1=13a2-1=1,解得a2=6.當(dāng)n≥2時,Sn-1=13an-1,又Sn=13an+1-1,兩式相減可得an=Sn-Sn-1=13an+1-1-13an+1,即有an+1=4an(n≥2),則an=6·4n-2(n≥2),又a1=1不符合上式2.已知數(shù)列{an}中,a1=1,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且當(dāng)n≥2時,有2ananSn-Sn答案1解析當(dāng)n≥2時,由2ananSn-Sn2=1,得2(Sn-Sn-1)=(Sn-Sn-1)·Sn-Sn2=-SnSn-1,所以2Sn-2Sn-1=1,又2S1=2,所以2Sn是以3.(2018山東六校聯(lián)考,17)已知數(shù)列{an}中,a1=1,前n項和Sn=n+23a(1)求a2,a3;(2)求{an}的通項公式.解析(1)由S2=43a2得3(a1+a2)=4a2解得a2=3a1=3.由S3=53a3得3(a1+a2+a3)=5a3解得a3=32(a1+a2)=6(2)由題設(shè)知,當(dāng)n≥2時,有an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13整理得anan因此anan-1·an-1an-2·…·化簡得an=(n+1)n2×1·當(dāng)n=1時,a1=1滿足上式,所以{an}的通項公式為an=n(n+1)2(n4.(2020浙江新高考信息優(yōu)化卷二,20)正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足2Sn=an+1(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=1anan+1,數(shù)列{bn}的前n項的和為Bn解析(1)由已知得4Sn=(an+1)2,①所以n≥2時,4Sn-1=(an①-②得4an=an2+2an-an-12-2an-1,即(an+an-1)(an-an-1-2)=0,因為{an}為正項數(shù)列,所以a即{an}是以2為公差的等差數(shù)列,由2S1=a1+1,S1=a1,得a1=1,所以an=2n-1(2)因為bn=1anan+1所以Bn=121-13+13-15+…+12n-考法二由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式1.(2018廣東深圳耀華實驗學(xué)校期中,11)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an-2n,則a17= ()A.-15×216B.15×217C.-16×216D.16×217答案A由題意可得an+12n+1=an2n-1據(jù)此可得,數(shù)列an2n是首項為a121=12,公差為-12的等差數(shù)列,故a17217=12+(17-1)×2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=13,若an(an-1+2an+1)=3an-1an+1(n≥2,n∈N*),則數(shù)列{an}的通項公式an= (A.12n-1B.12n答案B由an(an-1+2an+1)=3an-1an+1(n≥2,n∈N*),可得1an+1-1an=2又1a2-∴數(shù)列1an+1-1a∴1an+1-1∴1an=1an-1an-1+1an-1-1an-2+…+1a2-1a考法三數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項1.(2019浙江高考數(shù)學(xué)仿真卷(三),10)設(shè)a>0,b>0,正項數(shù)列{xn}滿足xn=axn+1+bx