第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用-高考狀元之路

第五節(jié)

數(shù)列的綜合應(yīng)用預(yù)習(xí)設(shè)計(jì)

基礎(chǔ)備考知識(shí)梳理1．等差、等比交匯，考查數(shù)列綜合問(wèn)題2．以遞推關(guān)系為背景，考查數(shù)的通項(xiàng)與前項(xiàng)和3．?dāng)?shù)列與函數(shù)、不等式交匯，查數(shù)列的綜合應(yīng)用4．以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查數(shù)的應(yīng)用(1)解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟：①審題——仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意．②建模——將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)（數(shù)列）語(yǔ)言，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，弄清該數(shù)列的征、要求是什么．③求解——求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解，④還原——將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問(wèn)題中．(2)數(shù)列應(yīng)用題常見(jiàn)模型：①等差模型：如果增加（或減少）的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加（或減少）量就是公差．②等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比數(shù)列，這個(gè)固定數(shù)就是公比．(3)與銀行利率相關(guān)的幾類(lèi)模型：①銀行儲(chǔ)蓄單利公式：利息按單利計(jì)算，本金為a元，每期利率為r存期為x，則本利和y，于等差模型，②銀行儲(chǔ)蓄復(fù)利公式：按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為a，每期利率為，存期為x，則本利和比模型．③產(chǎn)值模型：原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，均增長(zhǎng)率為p對(duì)于時(shí)間x總產(chǎn)值

，屬于等(4)遞推數(shù)列模型：如果題目中出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，是隨項(xiàng)的變化而變化時(shí)，應(yīng)考慮是與n

的遞推關(guān)系，還是前n項(xiàng)和與sn

n

之間的遞推關(guān)系．(5)分期付款模型；設(shè)貸款總額為a，年利率為r，額還款數(shù)為b，還完，則

b典題熱身1．已知等差數(shù)列

{}n

的公差

它的第1，第5，第17項(xiàng)順成比數(shù)列，則這個(gè)等比數(shù)列的公比是()1DAB.32答案：2．已知a，b，，成等比數(shù)列且曲線

y

2

x

的頂點(diǎn)(，c)，則ad等于)AcD答案：

x3數(shù)x

{}n

的通項(xiàng)公式是關(guān)于x的等式

x2nx(nN

的解集中的整數(shù)個(gè)數(shù)則列

{},l

的前n項(xiàng)和)nAn

(

c.

nn2

Dn答案：4．某種產(chǎn)品三次調(diào)價(jià)，單價(jià)由來(lái)的每克元降到216，則這種產(chǎn)品平均每次降價(jià)的百分率答案：25%5德草書(shū)是世界上最老的數(shù)學(xué)著作之一中有一道這樣的題目把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使最大的三份之和的5答案：3

17

是較少的兩份之和，最小的一份的量為課堂設(shè)計(jì)

方法備考題型一等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【例1】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù){}(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；n

{}n

前n項(xiàng)和s,首項(xiàng)為,且2,a,n1

n

成等差數(shù)列．(2)若

bloga,n

ba

,

求數(shù)列

{}n

的前n項(xiàng)

Tn題型二數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用【例2】已知

fx)(0,且af(),f(),)(N)u

是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．(1)若為數(shù)，求證：

{}n

是等比數(shù)列；(2)若

af(a),nnn

的前項(xiàng)和是

sn

當(dāng)

a

2

時(shí)，求

sn題型三數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【例3某2008年共有萬(wàn)燃油型公交車(chē)有部劃于年入128輛力型公交車(chē)，隨后電力型公交年的投入比上一年增加50%試問(wèn)：(1)該市在2015年該投入多少電力型公交車(chē)？(2)到哪一年底，電力型公交車(chē)數(shù)量開(kāi)始超過(guò)該市公交量的題型四數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題

13

?(lg657~2.82,lg2lg~0.48)【例4】已知點(diǎn)

1(1,3

是函數(shù)

f()aa且

的圖像上一點(diǎn)，等比數(shù)列

{}n

的前n項(xiàng)為f()

數(shù)列

{}(0)nn

的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和

s

n

滿(mǎn)足

s

(n

2(1)求數(shù)列2

{}n

和

{}n

的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列

{

1bbn

}

的前項(xiàng)為

Tn

問(wèn)：滿(mǎn)足

Tn

10002009

的最小正整數(shù)n是少？技法巧點(diǎn)(1)深刻理解等（數(shù)列的性質(zhì)熟悉它們的推導(dǎo)過(guò)程是解題的關(guān)鍵類(lèi)列性質(zhì)既有相似處，又有區(qū)別，要在應(yīng)用中加強(qiáng)記憶，同時(shí)，用好性質(zhì)也會(huì)降低解題的運(yùn)算量，從而減少差錯(cuò)．(2)在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，常要根據(jù)條件列方程（組）求解．在解方程（組）時(shí)，仔細(xì)體會(huì)兩種情形中解方程（組）的方法的不同之處．(3)數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函、方程、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無(wú)形中加大了綜合的力度，解決此類(lèi)題目，必須對(duì)蘊(yùn)藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有所了解，深刻領(lǐng)它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學(xué)思想方法有與方程合論換等．(4)在現(xiàn)實(shí)生活中，人口的增長(zhǎng)產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計(jì)算、分期付款問(wèn)題等，都可以利用數(shù)列來(lái)解決，因此要會(huì)在實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并用它解決實(shí)際問(wèn)題．失誤防范1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和式要分兩種情況：公比等于和比不等于1．最容易忽視公比等于1的情，要注意這方面的練習(xí)，2．決數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題必須準(zhǔn)計(jì)算項(xiàng)數(shù)，例如與“年數(shù)”有關(guān)的問(wèn)題，必須確定起算的年份，而且應(yīng)準(zhǔn)確定義

n

是表示“第n年還是“年后”，隨堂反饋1．等差數(shù)列

{}n

的前n項(xiàng)為

sssn9

等比數(shù)列

{}，b,b則b的值為n5().64B.64c.128D.1282．某工廠總產(chǎn)值月平均增長(zhǎng)率，則年平均增長(zhǎng)率(A.BP

c.(1P)

12

D.(1P)答案：3．州模擬）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開(kāi)始n個(gè)內(nèi)累積的需求量

s

n

（萬(wàn)件）近似地滿(mǎn)足關(guān)系式n

n90

ln

1,2,,12),

按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超1.5萬(wàn)件的月份是()A．5、月B．6、月．、月．、月答案：4．南模擬）已知數(shù){a}首項(xiàng)為4n1q等()D2C.1或.1.答案：

的等比數(shù)列，且

a,,1

3

成等差數(shù)列，則其公比

225．設(shè)x，為正數(shù)，且

x,2

成等差數(shù)列，

x,b,b,2

成等比數(shù)列，則

()112

2

的最小值是答案：高效作業(yè)

技能備考一、選擇題1．各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{a}n

中，

a,

12

aa1

成等差數(shù)列，則的為)A.

555c..或22答案：2．黃岡模擬）據(jù)科學(xué)計(jì)算，運(yùn)載“神舟”的“長(zhǎng)征”二號(hào)系列火箭在點(diǎn)火后第一秒鐘通的路程為2km，后每秒鐘通過(guò)的路程增加2，在到達(dá)離地面240km的度時(shí)，火箭與飛船分離，這一過(guò)程需要的時(shí)間是()A．10秒B．秒鐘．15鐘．20秒鐘答案：3．?dāng)?shù)列

{},l

中，

N*)數(shù)列n

{}n

滿(mǎn)足

b

13

,272,nn

且

*),

若logbnk

為常數(shù)，則滿(mǎn)足條件的k值()A．唯一存在，且為答案：

13

B．唯一存在，且為3C．在，且不唯一．不一定存在4．順模擬）已知數(shù)列

{}足n

n

n

n

點(diǎn)0是面上不在L上任意一L上有不重合的三點(diǎn)A、、，知

a

OB則s

2010

（

).1004.1005答案：5．拋物線

yn)x2n

與x軸交點(diǎn)分別為

,BN*),nn

以

A|nn

表示該兩點(diǎn)的距離，則

|A|AB|122

2010

|

的值是)A.

20092010

.

201020112012c..201120122013答案：6(2011．舟山一)已知數(shù)列

{},{}nn

滿(mǎn)足

a

且

an

n

是函數(shù)

(x)xxn

n

的兩個(gè)零點(diǎn)，

213nn則213nn

10

等于().24.32D答案：二、填空題7．已知等比數(shù)列

{}，an23

則使不等式

11(a)a)()aa131a)an答案：

成立的最大自然數(shù)n是8．已知函數(shù)

f()sintan,

項(xiàng)數(shù)為27的差數(shù)列

{}n

滿(mǎn)足

a(

,2

且公差

若f(a)f()f()0,則k答案：

時(shí)，

f)k9．(2011．銀川模擬)在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列

{}n

中，

s

n

為前n項(xiàng)和，

2nnn

n

且3答案：

,S三、解答題10.（．南高考）某企業(yè)第年初買(mǎi)一臺(tái)價(jià)值為120萬(wàn)的設(shè)備M，M的值在使用過(guò)中逐年減少，從第2年第6年，年M的值比上年初減少10萬(wàn)元；從第7年開(kāi)，每年初M的值為上年初的75℅(1)求第年初M的值n。的表式；(2)設(shè)

An

1

n

,若A大于80萬(wàn)，則續(xù)使用，否則在第n年初M更，證明：n須在第年對(duì)M更新。11.已知二次函數(shù)

f)2的像過(guò)點(diǎn)(,0),f/(0),(nN(1)求

f(x)

的解析式；(2)